Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Окружность, описанная около треугольника

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Теорема о возможности описать окружность около треугольникаСерединный перпендикуляр к отрезку
Теорема о возможности описать окружность около треугольникаОкружность описанная около треугольника
Теорема о возможности описать окружность около треугольникаСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Теорема о возможности описать окружность около треугольникаДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Видео:8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Теорема о возможности описать окружность около треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиТеорема о возможности описать окружность около треугольникаЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиТеорема о возможности описать окружность около треугольникаЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовТеорема о возможности описать окружность около треугольника
Площадь треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольника
Радиус описанной окружностиТеорема о возможности описать окружность около треугольника
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиТеорема о возможности описать окружность около треугольника

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиТеорема о возможности описать окружность около треугольника

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиТеорема о возможности описать окружность около треугольника

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовТеорема о возможности описать окружность около треугольника

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Теорема о возможности описать окружность около треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиТеорема о возможности описать окружность около треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Теорема о возможности описать окружность около треугольника.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Теорема о возможности описать окружность около треугольникаАВС.

Доказать: около Теорема о возможности описать окружность около треугольникаАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Теорема о возможности описать окружность около треугольникаАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Точка О равноудалена от вершин Теорема о возможности описать окружность около треугольникаАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Теорема о возможности описать окружность около треугольникаАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВ = Теорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаАDС, Теорема о возможности описать окружность около треугольникаD = Теорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаАВС, откуда следует Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВ + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаD = Теорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаАDС + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаАВС = Теорема о возможности описать окружность около треугольника(Теорема о возможности описать окружность около треугольникаАDС + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Теорема о возможности описать окружность около треугольникаАDС + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаАВС = 360 0 , тогда Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВ + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаD = Теорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольника360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Теорема о возможности описать окружность около треугольникаBАD + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВСDвнешний угол Теорема о возможности описать окружность около треугольникаСFD, следовательно, Теорема о возможности описать окружность около треугольникаBСD = Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВFD + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВFD = Теорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаВАD и Теорема о возможности описать окружность около треугольникаFDE = Теорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Теорема о возможности описать окружность около треугольникаBСD = Теорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаВАD + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаЕF = Теорема о возможности описать окружность около треугольника(Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВАD + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаЕF), следовательно, Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВСDТеорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаВАD.

Теорема о возможности описать окружность около треугольникаBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Теорема о возможности описать окружность около треугольникаBАD = Теорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаВЕD, тогда Теорема о возможности описать окружность около треугольникаBАD + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаBСDТеорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольника(Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВЕD + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВЕD + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВАD = 360 0 , тогда Теорема о возможности описать окружность около треугольникаBАD + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаBСDТеорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольника360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Теорема о возможности описать окружность около треугольникаBАD + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаBСDТеорема о возможности описать окружность около треугольника180 0 . Но это противоречит условию Теорема о возможности описать окружность около треугольникаBАD + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Теорема о возможности описать окружность около треугольника

По теореме о сумме углов треугольника в Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВСF: Теорема о возможности описать окружность около треугольникаС + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВ + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаF = 180 0 , откуда Теорема о возможности описать окружность около треугольникаС = 180 0 — ( Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВ + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаF). (2)

Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВ = Теорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаЕF. (3)

Теорема о возможности описать окружность около треугольникаF и Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВFD смежные, поэтому Теорема о возможности описать окружность около треугольникаF + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВFD = 180 0 , откуда Теорема о возможности описать окружность около треугольникаF = 180 0 — Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВFD = 180 0 — Теорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Теорема о возможности описать окружность около треугольникаС = 180 0 — (Теорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаЕF + 180 0 — Теорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаВАD) = 180 0 — Теорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаЕF — 180 0 + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаВАD = Теорема о возможности описать окружность около треугольника(Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВАDТеорема о возможности описать окружность около треугольникаЕF), следовательно, Теорема о возможности описать окружность около треугольникаСТеорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаВАD.

Теорема о возможности описать окружность около треугольникаА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Теорема о возможности описать окружность около треугольникаА = Теорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольникаВЕD, тогда Теорема о возможности описать окружность около треугольникаА + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаСТеорема о возможности описать окружность около треугольникаТеорема о возможности описать окружность около треугольника(Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВЕD + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаВАD). Но это противоречит условию Теорема о возможности описать окружность около треугольникаА + Теорема о возможности описать окружность около треугольникаС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

🔍 Видео

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Радиус описанной около треугольника окружностиСкачать

Радиус описанной около треугольника окружности

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

Описанная окружность. Видеоурок 22. Геометрия 8 классСкачать

Описанная окружность. Видеоурок 22. Геометрия 8 класс
Поделиться или сохранить к себе: