Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Признак принадлежности четырёх точек одной окружности

Признак принадлежности четырёх точек одной окружности

Если точки B и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD, и точки B и C видны из отрезка AD под одним углом (то есть ∠ABD=∠ACD), то точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Дано: точки B и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD,

Доказать: точки A, B, C, D лежат на одной окружности

Теорема о четырех точках лежащих на окружностиОбозначим ∠ABD=∠ACD=α.

Опишем около треугольника ABD окружность.

Отметим на этой окружности произвольную точку F, лежащую относительно прямой AD в другой полуплоскости, чем точки B и C.

Четырёхугольник ABDF — вписанный в окружность. Следовательно, сумма его противолежащих углов равна 180°:

Рассмотрим четырехугольник ACDF.

Отсюда следует, что четырёхугольник ABDF — вписанный.

Поскольку около треугольника ABD можно описать только одну окружность, то точка C лежит на той же окружности, что и точки A, B и D.

Содержание
  1. Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности
  2. Презентация на тему «Признак принадлежности четырёх точек одной окружности»
  3. «Снятие эмоционального напряжения у детей и подростков с помощью арт-практик и психологических упражнений»
  4. Описание презентации по отдельным слайдам:
  5. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  6. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  7. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  8. Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
  9. Материал подходит для УМК
  10. Дистанционные курсы для педагогов
  11. Другие материалы
  12. Вам будут интересны эти курсы:
  13. Оставьте свой комментарий
  14. Автор материала
  15. Дистанционные курсы для педагогов
  16. Подарочные сертификаты
  17. 🎦 Видео

Видео:#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности

Условимся обозначать символом положительно ориентированный угол, на который надо повернуть вектор , чтобы он стал сонаправлен с вектором. Если и, то точкам Р и Q соответствуют комплексные числа b-а и d-c (рис.7) и:

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Эта формула в применении к положительно ориентированному треугольнику АВС дает:

Теорема о четырех точках лежащих на окружностиТеорема о четырех точках лежащих на окружности

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Если z=r( ,то Отсюда:

Теорема о четырех точках лежащих на окружностиТеорема о четырех точках лежащих на окружности

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Выведем формулу для площади S положительно ориентированного треугольника АВС:

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Теорема о четырех точках лежащих на окружностиТеорема о четырех точках лежащих на окружности

что можно записать в виде определителя третьего порядка:

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Если треугольник АВС вписан в окружность , то формула (29) преобразуется к виду:

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Для площади S положительно ориентированного четырехугольника ABCD имеем:

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Если четырехугольник ABCD вписан в окружность zz=l, то (32) принимает вид:

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Три произвольно взятые точки всегда принадлежат либо одной окружности, либо одной прямой. Критерии принадлежности трех точек одной прямой рассмотрены выше.

Докажем КРИТЕРИЙ принадлежности четырех точек одной окружности или прямой.

Возьмем четыре произвольные точки A, В, С, D соответственно с комплексными координатами а, b,c,d. Комплексное число:

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

называется двойным отношением точек A, В, С, D и обозначается (AB, CD). Порядок точек существен.

Теорема. Для того чтобы, четыре точки лежали на одной прямой или на одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы их двойное отношение было действительным числом.

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Доказательство. Если точки А, В, С, D коллинеарны, то отношения и действительные числа (см. условие (10)). Следовательно, в этом случае будет действительным и двойное отношение (34). Если точки А, В, С, D лежат на окружности, то рассмотрим два возможных случая:

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

точки С и D находятся в одной полуплоскости от прямой АВ;

точки С и D находятся в различных полуплоскостях от прямой АВ.

В первом случае ориентированные углы ВСА и BDA равны, во втором случае ВСА+АDВ= ±, т. е. ВСА-ВСА= ±. В обоих случаях разность равна нулю или ±. Но поскольку согласно (24) эта разность равна:

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

то — действительное число.

Теорема о четырех точках лежащих на окружностиТеорема о четырех точках лежащих на окружностиТеорема о четырех точках лежащих на окружностиТеорема о четырех точках лежащих на окружности

Обратно: если двойное отношение четырех точек действительно, то эти точки или коллинеарны, или принадлежат одной окружности. В самом деле, тогда если действительное число, то и действительное число. Поэтому точки А, В, С коллинеарны и точки А, В, D коллинеарны, и, значит, все четыре точки коллинеарны. Если же число комплексное, то и число также комплексное, отличное от действительного. Поэтому точки A, B, С неколлинеарны и точки А, В, D также неколлинеарны. Так как по условию двойное отношение вещественно, то:

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Следовательно, либо BCA=BDA, либо ВСАВDА=±, т.е. ВСА+ADB=±. В первом случае отрезок АВ из точек С и D виден под равными углами, и, стало быть, они принадлежат одной дуге окружности, стягиваемой хордой АВ. Во втором случае сумма противоположных углов четырехугольника ACBD равна ±, и поэтому он будет вписанным в окружность. Доказательство закончено.

Задача 1. В окружности проведены три параллельные хорды Доказать, что для произвольной точки М окружности прямые образуют равные углы соответственно с прямыми ВС, СА, АВ.

Решение. Принимая окружность за единичную, отнесем точкам А, В, С, A1, B1, C1 комплексные числа Тогда по условию (9) параллельности хорд имеем Следует доказать, что (рис.8).

Первое равенство эквивалентно такому:

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

т.е. эта дробь должна быть числом действительным. А это имеет место, поскольку сопряженное ей число:

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

равно этой же дроби. Аналогично доказывается и второе равенство углов.

Задача 2. На плоскости даны четыре окружности так, что окружности и пересекаются в точках и ; окружности и пересекаются в точках и , окружности и — в точках и и окружности и — в точках и . Доказать, что если точки лежат на одной окружности или прямой, то и точки также лежат на одной окружности или прямой (рис.9).

Теорема о четырех точках лежащих на окружностиТеорема о четырех точках лежащих на окружности

Решение. Согласно теореме этого параграфа и условию задачи будут действительными двойные отношения:

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Поэтому будет действительным и число:

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Следовательно, из вещественности двойного отношения вытекает вещественность и двойного отношения .

Видео:Доказать, что точки лежат на одной окружностиСкачать

Доказать, что точки лежат на одной окружности

Презентация на тему «Признак принадлежности четырёх точек одной окружности»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Четыре точки на окружности | ЕГЭ-2017. Задание 16. Математика. Профильный уровень| Борис ТрушинСкачать

Четыре точки на окружности | ЕГЭ-2017. Задание 16. Математика. Профильный уровень| Борис Трушин

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Описание презентации по отдельным слайдам:

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Описанная и вписанная окружности четырёхугольника Автор: учитель математики Румянцева Р.Г.

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Признак принадлежности четырёх точек окружности

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Признак принадлежности четырёх точек окружности Если точки А, М, N, В таковы что угол АМВ равен углу АNВ, причём точки M и N лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ, то точки А, М, N, В лежат на одной окружности.

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 937 человек из 80 регионов

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 305 человек из 67 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 496 839 материалов в базе

Материал подходит для УМК

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

«Геометрия», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.

§ 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника

Видео:Условие принадлежности четырёх точек одной окружностиСкачать

Условие принадлежности четырёх точек одной окружности

Дистанционные курсы для педагогов

Другие материалы

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

  • 25.11.2020
  • 54

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

  • 24.11.2020
  • 140
  • 24.11.2020
  • 160

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

  • 24.11.2020
  • 158

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

  • 24.11.2020
  • 143

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

  • 24.11.2020
  • 270

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

  • 24.11.2020
  • 156

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

  • 24.11.2020
  • 88

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 25.11.2020 1058 —> —> —> —>
  • PPTX 79.6 кбайт —> —>
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Румянцева Рита Геннадьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

  • На сайте: 5 лет и 2 месяца
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 2977
  • Всего материалов: 7

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020Скачать

Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

В школьном курсе мировой истории планируют уделить больше внимания Азии и Африке

Время чтения: 1 минута

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Минпросвещения России запускает конкурс для учителей физкультуры

Время чтения: 2 минуты

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Каждый второй российский студент недоволен своим вузом

Время чтения: 1 минута

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Школы Сургута переведут на дистанционное обучение с 24 января

Время чтения: 1 минута

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

Свободное движение повышает креативность

Время чтения: 1 минута

Теорема о четырех точках лежащих на окружности

В Сыктывкаре школьников переведут на дистанционное обучение

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

🎦 Видео

Первое условие принадлежности четырех точек одной окружностиСкачать

Первое условие принадлежности четырех точек одной окружности

ЕГЭ Задание 16 Условие принадлежности четырех точек окружностиСкачать

ЕГЭ Задание 16 Условие принадлежности четырех точек окружности

"Парадоксальное" среднее расстояние между точками на окружностиСкачать

"Парадоксальное" среднее расстояние между точками на окружности

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые.Скачать

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

✓ Степень точки в ЕГЭ | Резерв досрока ЕГЭ-2022. Задание 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Степень точки в ЕГЭ | Резерв досрока ЕГЭ-2022. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин

Секретная теорема для ЕГЭ! 🤫 #егэ2024 #математикапрофиль2024 #математика #егэСкачать

Секретная теорема для ЕГЭ! 🤫 #егэ2024 #математикапрофиль2024 #математика #егэ

Теоремы XX века!Скачать

Теоремы XX века!

#224. Теоремы Менелая, Чевы, Ван-Обеля. Точки Жергонна и НагеляСкачать

#224. Теоремы Менелая, Чевы, Ван-Обеля. Точки Жергонна и Нагеля

Теорема о четырёх точках трапецииСкачать

Теорема о четырёх точках трапеции

Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать

Теорема о числе точек пересечения двух окружностей

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи
Поделиться или сохранить к себе: