Теорема биссектриса угла окружность

Свойство биссектрисы угла

Теорема

Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Доказательство

1) Дано: Теорема биссектриса угла окружностьВАС, АМ — биссектриса, МК Теорема биссектриса угла окружностьАВ, MLТеорема биссектриса угла окружностьАС.

Доказать: MK = ML

Доказательство:

Теорема биссектриса угла окружность

Рассмотрим Теорема биссектриса угла окружностьАМК и Теорема биссектриса угла окружностьAML: МКТеорема биссектриса угла окружностьАВ, MLТеорема биссектриса угла окружностьАС, поэтому рассматриваемые треугольники прямоугольные. АМ — общая гипотенуза, Теорема биссектриса угла окружность1 = Теорема биссектриса угла окружность2, т.к. луч АМ — биссектриса, следовательно, Теорема биссектриса угла окружностьАМК = Теорема биссектриса угла окружностьAML, по гипотенузе и острому углу, а в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, поэтому MK = ML.

2) Дано: Теорема биссектриса угла окружностьВАС, MK = ML, МК Теорема биссектриса угла окружностьАВ, MLТеорема биссектриса угла окружностьАС.

Доказать: АМ — биссектриса Теорема биссектриса угла окружностьВАС

Доказательство:

Теорема биссектриса угла окружность

Рассмотрим Теорема биссектриса угла окружностьАМК и Теорема биссектриса угла окружностьAML: МКТеорема биссектриса угла окружностьАВ, MLТеорема биссектриса угла окружностьАС, поэтому рассматриваемые треугольники прямоугольные. АМ — общая гипотенуза, MK = ML по условию, следовательно, Теорема биссектриса угла окружностьАМК = Теорема биссектриса угла окружностьAML, по гипотенузе и катету, а в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, поэтому Теорема биссектриса угла окружность1 = Теорема биссектриса угла окружность2 , а это означает, что луч АМ — биссектриса Теорема биссектриса угла окружностьВАС. Теорема доказана.

Следствие 1

Геометрическим местом точек плоскости, лежащих внутри неразвёрнутого угла и равноудалённых от сторон угла, является биссектриса этого угла.

Следствие 2

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

В самом деле, обозначим буквой О точку пересечения биссектрис АА1 и ВВ1 треугольника АВС и проведем перпендикуляры ОК, OL и ОМ соответственно к прямым АВ, ВС и СА.

Теорема биссектриса угла окружность

По доказанной теореме ОК = ОМ и ОК = OL. Поэтому ОМ = OL, т.е. точка О равноудалена от сторон угла АСВ и, значит, лежит на биссектрисе СС1 этого угла. Следовательно, все три биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О, что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Теорема биссектриса угла окружностьСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Теорема биссектриса угла окружностьФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Теорема биссектриса угла окружностьВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать

Построение биссектрисы угла. 7 класс.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Теорема биссектриса угла окружность

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Теорема биссектриса угла окружность

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Теорема биссектриса угла окружность

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Теорема биссектриса угла окружность

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Теорема биссектриса угла окружность

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Теорема биссектриса угла окружность

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы углаСкачать

8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы угла

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Теорема биссектриса угла окружность

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Теорема биссектриса угла окружность.

Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Теорема биссектриса угла окружность

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникТеорема биссектриса угла окружность
Равнобедренный треугольникТеорема биссектриса угла окружность
Равносторонний треугольникТеорема биссектриса угла окружность
Прямоугольный треугольникТеорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Теорема биссектриса угла окружность.

Теорема биссектриса угла окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Теорема биссектриса угла окружность.

Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Теорема биссектриса угла окружность

Произвольный треугольник
Теорема биссектриса угла окружность
Равнобедренный треугольник
Теорема биссектриса угла окружность
Равносторонний треугольник
Теорема биссектриса угла окружность
Прямоугольный треугольник
Теорема биссектриса угла окружность
Произвольный треугольник
Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Теорема биссектриса угла окружность.

Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Теорема биссектриса угла окружность.

Равнобедренный треугольникТеорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

Равносторонний треугольникТеорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникТеорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Теорема биссектриса угла окружность

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Теорема биссектриса угла окружность– полупериметр (рис. 6).

Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

с помощью формулы Герона получаем:

Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Теорема биссектриса угла окружность

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Теорема биссектриса угла окружность

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Теорема биссектриса угла окружность

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Теорема биссектриса угла окружность

Теорема биссектриса угла окружность

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Построение биссектрисы углаСкачать

Построение биссектрисы угла

Как связаны биссектриса и окружность

В геометрии могут объединиться даже очень различные на первый взгляд фигуры, такие как окружность и треугольник. У каждой есть свои особенности, которые позволяют отличать их от прочих фигур, даже если они очень похожи: например, круг и окружность – это совсем не одно и тоже.

Теорема биссектриса угла окружностьРазница между кругом и окружностью состоит в отношении к плоскости. Если упрощенно, то под плоскостью понимают поверхность, на которой и строятся фигуры. Саму плоскость тоже можно считать фигурой. Окружность – это совокупность всех точек на плоскости, которые образуют фигуру, а круг – это часть плоскости, которую ограничивает окружность. Поэтому может быть сектор или сегмент круга – но понятие дуги относится только к окружности.

Одним из важнейших понятий, связанных с окружностью, является радиус – расстояние от центра окружности до любой её точки. Чтобы произвести вычисление радиуса, нужно знать длину окружности, её площадь или диаметр. Проще всего посчитать радиус через диаметр – просто разделить длину диаметра на два.

Зная длину, тоже можно вычислить радиус – если формула длины – это L=2πR, то радиус вычисляется по формуле R= L/2π.

Окружность можно как вписать в любой треугольник, так и начертить вокруг любого треугольника так, чтобы все вершины треугольника касались окружности. Чтобы описать окружность вокруг треугольника, надо найти точку пересечения всех углов треугольника – она будет центром описываемой окружности. Чтобы, напротив, вписать круг в треугольник, надо к середине каждой стороны провести перпендикулярную прямую. Точка их пересечения и будет центром вписанного круга.

Теорема биссектриса угла окружностьОсновное свойство вписанного в окружность треугольника состоит в том, что вычислить его площадь очень просто – для этого надо знать радиус окружности и длины сторон треугольника. Для этого используется формула: P/2*R, где P – периметр, а R – радиус окружности.

Значение биссектрисы – луча, исходящего из вершины угла и делящего его напополам, – не ограничивается тем, что с её помощью можно вписать круг в треугольник. Назовем основные свойства биссектрисы треугольника, которые существенно облегчают процесс решения геометрических задач.

Во-первых, биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам. Во-вторых, в правильном треугольнике биссектриса является медианой и высотой, а в равнобедренном треугольнике совпадает с медианой и с высотой только в том случае, если проведена от вершины к основанию. В-третьих, как уже упоминалось, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

При решении задач, связанных с треугольниками или окружностями, важно отличать биссектрису от медианы или высоты, а радиус или диаметр – от хорды.

💡 Видео

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Геометрия 8 класс (Урок№29 - Свойство биссектрисы угла.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№29 - Свойство биссектрисы угла.)

Теорема о биссектрисе угла треугольника | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |Скачать

Теорема о биссектрисе угла треугольника | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |

Урок по теме СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ УГЛА 8 КЛАСС ГЕОМЕТРИЯСкачать

Урок по теме СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ УГЛА 8 КЛАСС ГЕОМЕТРИЯ

Биссектриса угла треугольникаСкачать

Биссектриса угла треугольника

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Построение биссектрисы углаСкачать

Построение биссектрисы угла

Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

Свойство биссектрисы углаСкачать

Свойство биссектрисы угла

БИССЕКТРИСА УГЛА треугольника 8 класс АтанасянСкачать

БИССЕКТРИСА УГЛА треугольника 8 класс Атанасян

3 свойства биссектрисы #shortsСкачать

3 свойства биссектрисы #shorts

74. Свойства биссектрисы углаСкачать

74. Свойства биссектрисы угла

Геометрическое место точек (окружность, биссектриса угла и серединный перпендикуляр отрезка)Скачать

Геометрическое место точек (окружность, биссектриса угла и серединный перпендикуляр отрезка)

Биссектриса угла. Геометрия 7 класс.Скачать

Биссектриса угла. Геометрия 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: