Тангенс 45 на окружности

Поскольку угол в 45º в геометрических задачах встречается часто, важно помнить, чему равен тангенс 45 градусов.

Найдем тангенс 45 градусов с помощью прямоугольного треугольника, основываясь на определении тангенса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с острым углом 45º:

Так два угла треугольника равны: ∠ A= ∠ B=45º , то треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB (по признаку равнобедренного треугольника). Значит, его боковые стороны равны: AC=BC.

По определению, тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Отсюда,

Так как AC=BC, то отношение BC/AC равно единице, следовательно,

Что и требовалось доказать.

Переведем 45º в радианы:

Отсюда получаем значение тангенса пи на четыре:

Синус, косинус, тангенс угла 45 градусов (sin 45, cos 45, tg 45)

Табличные значения синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов указаны ниже. Далее по тексту следует пояснение метода и правильности вычисления этих значений для произвольного прямоугольного треугольника.

45 градусов — это π/4 радиан. Формулы для значений косинуса, синуса и тангенса пи/4 радиан указаны ниже (хотя они и тождественны).
То есть, например, tg π/4 = tg 45 градусов

ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПРИ α=45°

Как самостоятельно вычислить значения sin cos tg 45 градусов?

Построим и рассмотрим прямоугольный треугольник АВС у которого угол ∠В = 45°. На основании соотношения его сторон, вычислим значения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике для угла 45 градусов. Поскольку треугольник прямоугольный, то значения функций синуса, косинуса и тангенса будут равны соотношению его соответствующих сторон.

Поскольку значение функций синуса, косинуса и тангенса зависят исключительно от градусной меры угла (или значения, выраженного в радианах), то найденные нами соотношения и будут значениями функции синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов.

Согласно свойствам прямоугольного треугольника, угол С — прямой и равен 90 градусам. Угол B мы изначально построили с градусной мерой 45 градусов. Найдем значение угла А. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то

∠А + ∠В + ∠С = 180°
Угол C прямой и равен 90 градусам, угол B мы изначально определили как 45 градусов, таким образом:
∠А = 180° —∠С — ∠В = 180° — 90° — 45° = 45°

Поскольку у данного треугольника два угла равны между собой, то треугольник АВС – прямоугольный, и, одновременно, равнобедренный, в котором оба катета равны между собой: AC = BC.

Допустим, что длина сторон равна некому числу АС = ВС = а. Зная длины катетов, вычислим длину гипотенузы.

По теореме Пифагора: АВ 2 =АС 2 +ВС 2
Заменим длины AC и BC на переменную а, тогда получим:

АВ 2 = а 2 + а 2 = 2а 2 ,

В результате мы выразили длины всех сторон прямоугольного треугольника с углом 45 градусов через переменную а.

Согласно свойств тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике соотношение соответствующих сторон треугольника будет равным значению соответствующих функций. Таким образом для угла α = 45 градусов:

sin α = BC / AB (согласно определению синуса для прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, BC — катет, AB — гипотенуза)

cos α = AC / AB (согласно определению косинуса — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, AC — катет, AB — гипотенуза)

tg α = BC / AC (аналогично, тангенс для угла α будет равен отношению противолежащего катета к прилежащему)

Вместо обозначений сторон подставим значения их длин через переменную а.

Исходя из этого (см. таблицу значений sin 45, cos 45, tg 45) получаем:

Табличные значения sin 45, cos 45, tg 45 (то есть значение синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов можно вычислить как соотношение соответствующих сторон данного треугольника), подставим вычисленные выше значения длин сторон в формулы и получим результат на картинке ниже.

Табличные значения: синус 45, косинус 45 и тангенс 45 градусов

Таким образом:

• тангенс 45 градусов равен единице
• синус 45 градусов равен косинусу 45 градусов и равен корню из двух пополам (то же самое, что и единица, деленная на корень из двух)

Синус, косинус и тангенс угла π/4 радиан

• тангенс π/4 ( пи на четыре) равен единице
• синус π/4 ( пи на четыре) градусов равен косинусу π/4 градусов и равен корню из двух пополам

Примечание. В поисковых запросах часто встречается нечто типа «тангенс р/4 или p/4». Это неграмотно. Используйте запрос, например «тангенс пи/4».

Таблица ТАНГЕНСОВ для углов от 0° до 360° градусов

ТАНГЕНС (Tg α) острого угла в прямоугольном треугольнике равняется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)

α (радианы)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	√3π/2	2π
α (градусы)	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
tg α (Тангенс)	0	1/√3	1	√3	—	0	—	0

Полная таблица тангенсов для углов от 0° до 360°

Угол в градусах	tg (Тангенс)
0°	0
1°	0.0175
2°	0.0349
3°	0.0524
4°	0.0699
5°	0.0875
6°	0.1051
7°	0.1228
8°	0.1405
9°	0.1584
10°	0.1763
11°	0.1944
12°	0.2126
13°	0.2309
14°	0.2493
15°	0.2679
16°	0.2867
17°	0.3057
18°	0.3249
19°	0.3443
20°	0.364
21°	0.3839
22°	0.404
23°	0.4245
24°	0.4452
25°	0.4663
26°	0.4877
27°	0.5095
28°	0.5317
29°	0.5543
30°	0.5774
31°	0.6009
32°	0.6249
33°	0.6494
34°	0.6745
35°	0.7002
36°	0.7265
37°	0.7536
38°	0.7813
39°	0.8098
40°	0.8391
41°	0.8693
42°	0.9004
43°	0.9325
44°	0.9657
45°	1
46°	1.0355
47°	1.0724
48°	1.1106
49°	1.1504
50°	1.1918
51°	1.2349
52°	1.2799
53°	1.327
54°	1.3764
55°	1.4281
56°	1.4826
57°	1.5399
58°	1.6003
59°	1.6643
60°	1.7321
61°	1.804
62°	1.8807
63°	1.9626
64°	2.0503
65°	2.1445
66°	2.246
67°	2.3559
68°	2.4751
69°	2.6051
70°	2.7475
71°	2.9042
72°	3.0777
73°	3.2709
74°	3.4874
75°	3.7321
76°	4.0108
77°	4.3315
78°	4.7046
79°	5.1446
80°	5.6713
81°	6.3138
82°	7.1154
83°	8.1443
84°	9.5144
85°	11.4301
86°	14.3007
87°	19.0811
88°	28.6363
89°	57.29
90°	∞

Таблица тангенсов для углов от 91° до 180°

Угол	tg (Тангенс)
91°	-57.29
92°	-28.6363
93°	-19.0811
94°	-14.3007
95°	-11.4301
96°	-9.5144
97°	-8.1443
98°	-7.1154
99°	-6.3138
100°	-5.6713
101°	-5.1446
102°	-4.7046
103°	-4.3315
104°	-4.0108
105°	-3.7321
106°	-3.4874
107°	-3.2709
108°	-3.0777
109°	-2.9042
110°	-2.7475
111°	-2.6051
112°	-2.4751
113°	-2.3559
114°	-2.246
115°	-2.1445
116°	-2.0503
117°	-1.9626
118°	-1.8807
119°	-1.804
120°	-1.7321
121°	-1.6643
122°	-1.6003
123°	-1.5399
124°	-1.4826
125°	-1.4281
126°	-1.3764
127°	-1.327
128°	-1.2799
129°	-1.2349
130°	-1.1918
131°	-1.1504
132°	-1.1106
133°	-1.0724
134°	-1.0355
135°	-1
136°	-0.9657
137°	-0.9325
138°	-0.9004
139°	-0.8693
140°	-0.8391
141°	-0.8098
142°	-0.7813
143°	-0.7536
144°	-0.7265
145°	-0.7002
146°	-0.6745
147°	-0.6494
148°	-0.6249
149°	-0.6009
150°	-0.5774
151°	-0.5543
152°	-0.5317
153°	-0.5095
154°	-0.4877
155°	-0.4663
156°	-0.4452
157°	-0.4245
158°	-0.404
159°	-0.3839
160°	-0.364
161°	-0.3443
162°	-0.3249
163°	-0.3057
164°	-0.2867
165°	-0.2679
166°	-0.2493
167°	-0.2309
168°	-0.2126
169°	-0.1944
170°	-0.1763
171°	-0.1584
172°	-0.1405
173°	-0.1228
174°	-0.1051
175°	-0.0875
176°	-0.0699
177°	-0.0524
178°	-0.0349
179°	-0.0175
180°	0

Таблица тангенсов для углов от 181° до 270°

Угол	tg (Тангенс)
181°	0.0175
182°	0.0349
183°	0.0524
184°	0.0699
185°	0.0875
186°	0.1051
187°	0.1228
188°	0.1405
189°	0.1584
190°	0.1763
191°	0.1944
192°	0.2126
193°	0.2309
194°	0.2493
195°	0.2679
196°	0.2867
197°	0.3057
198°	0.3249
199°	0.3443
200°	0.364
201°	0.3839
202°	0.404
203°	0.4245
204°	0.4452
205°	0.4663
206°	0.4877
207°	0.5095
208°	0.5317
209°	0.5543
210°	0.5774
211°	0.6009
212°	0.6249
213°	0.6494
214°	0.6745
215°	0.7002
216°	0.7265
217°	0.7536
218°	0.7813
219°	0.8098
220°	0.8391
221°	0.8693
222°	0.9004
223°	0.9325
224°	0.9657
225°	1
226°	1.0355
227°	1.0724
228°	1.1106
229°	1.1504
230°	1.1918
231°	1.2349
232°	1.2799
233°	1.327
234°	1.3764
235°	1.4281
236°	1.4826
237°	1.5399
238°	1.6003
239°	1.6643
240°	1.7321
241°	1.804
242°	1.8807
243°	1.9626
244°	2.0503
245°	2.1445
246°	2.246
247°	2.3559
248°	2.4751
249°	2.6051
250°	2.7475
251°	2.9042
252°	3.0777
253°	3.2709
254°	3.4874
255°	3.7321
256°	4.0108
257°	4.3315
258°	4.7046
259°	5.1446
260°	5.6713
261°	6.3138
262°	7.1154
263°	8.1443
264°	9.5144
265°	11.4301
266°	14.3007
267°	19.0811
268°	28.6363
269°	57.29
270°	∞

Таблица тангенсов для углов от 271° до 360°

Угол	tg (Тангенс)
271°	-57.29
272°	-28.6363
273°	-19.0811
274°	-14.3007
275°	-11.4301
276°	-9.5144
277°	-8.1443
278°	-7.1154
279°	-6.3138
280°	-5.6713
281°	-5.1446
282°	-4.7046
283°	-4.3315
284°	-4.0108
285°	-3.7321
286°	-3.4874
287°	-3.2709
288°	-3.0777
289°	-2.9042
290°	-2.7475
291°	-2.6051
292°	-2.4751
293°	-2.3559
294°	-2.246
295°	-2.1445
296°	-2.0503
297°	-1.9626
298°	-1.8807
299°	-1.804
300°	-1.7321
301°	-1.6643
302°	-1.6003
303°	-1.5399
304°	-1.4826
305°	-1.4281
306°	-1.3764
307°	-1.327
308°	-1.2799
309°	-1.2349
310°	-1.1918
311°	-1.1504
312°	-1.1106
313°	-1.0724
314°	-1.0355
315°	-1
316°	-0.9657
317°	-0.9325
318°	-0.9004
319°	-0.8693
320°	-0.8391
321°	-0.8098
322°	-0.7813
323°	-0.7536
324°	-0.7265
325°	-0.7002
326°	-0.6745
327°	-0.6494
328°	-0.6249
329°	-0.6009
330°	-0.5774
331°	-0.5543
332°	-0.5317
333°	-0.5095
334°	-0.4877
335°	-0.4663
336°	-0.4452
337°	-0.4245
338°	-0.404
339°	-0.3839
340°	-0.364
341°	-0.3443
342°	-0.3249
343°	-0.3057
344°	-0.2867
345°	-0.2679
346°	-0.2493
347°	-0.2309
348°	-0.2126
349°	-0.1944
350°	-0.1763
351°	-0.1584
352°	-0.1405
353°	-0.1228
354°	-0.1051
355°	-0.0875
356°	-0.0699
357°	-0.0524
358°	-0.0349
359°	-0.0175
360°	0

Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите нужную часть таблицы, на выделенном фоне нажмите правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

Чему равен тангенс 30? …

— Ищем в таблице соответствующее значение. Правильный ответ: 0.5774

🎥 Видео