Свойство параллельных прямых с доказательством одного

Геометрия. 7 класс
Конспект урока

Свойства параллельных прямых

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.
  • Доказательство свойств параллельных прямых и их применение при решении задач.
  • Формулирование теоремы об углах с соответственно параллельными сторонами.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Утверждение, обратное данной теореме– это утверждение, в котором условие является заключением теоремы, а заключение – условием теоремы.

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее мы узнали и научились применять признаки параллельности прямых.

Рассмотрим утверждения, обратные к теоремам, выражающим признаки параллельности двух прямых.

В любой теореме есть две части: условие (это то, что дано)и заключение (это то, что требуется доказать).

Утверждением, обратным данному, называется утверждение, в котором условием является заключение, а заключением – условие.

Итак, вспомним один из признаков параллельности прямых. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы, образованные этими прямыми и секущей, равны (это условие), то прямые параллельны (заключение).

Свойство параллельных прямых с доказательством одного

Сформулируем и докажем обратное утверждение.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы,образованные этими прямыми и секущей,равны.

∠1 и ∠2 – накрест лежащие.

Доказательство:( метод от противного):

Свойство параллельных прямых с доказательством одного

Отложим ∠PMN =∠2 (накрест лежащие) → МР║b→ через точку М проходит 2 параллельные прямые прямой b (МР║b– доказательство;a║b– условие).→∠1=∠2.

Это противоречит теореме о единственности прямой параллельной данной и проходящей через точку.

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Свойство параллельных прямых с доказательством одного

С пересекает а, значит, и пересекает параллельную ей прямую b(по следствию из аксиомы параллельных прямых).→ с – секущая к прямым а и b→∠1 = ∠2 = 90° (по только что доказанному свойству параллельных прямых).→ с ┴ b.

Что и требовалось доказать.

Вспомним ещё один признак параллельности двух прямых. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны(это условие), то прямые параллельны(заключение).

Свойство параллельных прямых с доказательством одного

Сформулируем и докажем обратное утверждение

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы, образованные этими прямыми и секущей, равны.

Свойство параллельных прямых с доказательством одного

Дано:

Доказать:

По условию a║b→∠1 = ∠3 (накрест лежащие углы). → ∠2 = ∠3 (вертикальные углы).

Значит, ∠1 = ∠2, что и требовалось доказать.

Вспомним ещё один признак параллельности двух прямых. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов, образованных этими прямыми и секущей, равна 180° (условие), то прямые параллельны (заключение).

Свойство параллельных прямых с доказательством одного

Сформулируем и докажем обратное утверждение.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов, образованных этими прямыми и секущей, равна 180°.

Свойство параллельных прямых с доказательством одного

Дано:a║b,

Доказать:

По условию a║b→∠1=∠2 ‑соответственные углы, (в силу предыдущей теоремы).

∠2+∠4=180° (по свойству смежных углов).

→ ∠1+∠4= 180°,что и требовалось доказать.

Материал для углубленного изучения темы.

Задача на доказательство.

Прямая m пересекает параллельные прямые а и b в точках А и В. Прямая р, проходящая через середину отрезка АВ, точку О, пересекает прямые а и b в точках С и D.

Докажем, что ОС=ОD.

По условию дано: а ║b, рՈа= А, рՈb = В, mՈа = D, mՈb = C.

Доказать: ОС = ОD.

Доказательство: рассмотрим, образовавшиеся при построении, треугольники AOD и BOC. Они равны по 2 признаку равенства треугольников, т.к. АО=ВО (О– середина отрезка АВ по условию); ∠1=∠2(накрест лежащие углы); ∠3=∠4 (вертикальные углы). →Все элементы равных треугольников соответственно равны → ОС=ОD. Что и требовалось доказать.

Свойство параллельных прямых с доказательством одного

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Три прямых а,р,с пересечены прямой k, при этом образуются соответственные углы: ∠1= 30°,∠2 = 40°,∠3= 30°,как показано на рисунке. Какие из прямых параллельны?

Свойство параллельных прямых с доказательством одного

На рисунке изображены прямые а, р, с, которые пересечены секущей k. При этом углы 1,2,3 соответственные. По условию: ∠3= ∠1= 30°,∠2 ≠ ∠1,∠2 ≠ ∠3.

Следовательно, прямые а и р параллельные, прямые а и с, р и с не параллельные(по свойствам параллельных прямых).

2. На рисунке прямые аb, при этомMO и ЕО – биссектрисы углов М и Е соответственно, пересекаются в точке О. Чему равна градусная мера угла МОЕ, если сумма углов в треугольнике равна 180°?

Свойство параллельных прямых с доказательством одного

По условию аb→∠М+∠Е=180° (по теореме о параллельных прямых об односторонних углах). Т.к. MO и ЕО – биссектрисы углов М и Е →∠М = 2∠ОМЕ,

∠М+∠Е =2∠ОМЕ +2∠МЕО =180°.

По условию сумма углов в треугольнике равна 180° → в ∆МОЕ.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Свойства параллельных прямых

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Свойство параллельных прямых с доказательством одного

С помощью данного видеоурока вы сможете самостоятельно изучить тему «Свойства параллельных прямых». В ходе него вам предстоит параллельные прямые, рассмотреть их свойства, а также сформулировать одну из самых важных аксиом геометрии.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Параллельность прямых

Свойство параллельных прямых с доказательством одного

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Определение параллельности прямых

Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.

Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.

Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.

Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.

На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Видео:7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых

Свойства и признаки параллельных прямых

Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.

Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.

Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:

    два внутренних односторонних угла образуют в сумме 180°:

∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.

Свойство параллельных прямых с доказательством одного
два внутренних накрест лежащих угла равны между собой:

Свойство параллельных прямых с доказательством одного
два соответственных угла равны между собой:

∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.

Свойство параллельных прямых с доказательством одного

Если секущая образует перпендикуляр с одной из параллельных прямых, то она будет перпендикулярна и другой.

Свойство параллельных прямых с доказательством одного

Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.

А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.

Задача 1

Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.

Решение

Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.

Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.

Свойство параллельных прямых с доказательством одного

Задача 2

Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.

Решение

Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.

Соответственно, ∠MKD = 180° — ∠KDN = 180° — 150° = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.

Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.

📺 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.Скачать

Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс: Аксиома параллельных прямых. Свойства параллельных прямых.Скачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс: Аксиома параллельных прямых. Свойства параллельных прямых.

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Свойства параллельных прямых - 7 класс геометрияСкачать

Свойства параллельных прямых - 7 класс геометрия

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

Урок 15 Свойства параллельных прямых (7 класс)Скачать

Урок 15  Свойства параллельных прямых (7 класс)

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. §15 геометрия 7 классСкачать

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. §15 геометрия 7 класс

МЕРЗЛЯК 7 ГЕОМЕТРИЯ. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. ПАРАГРАФ-15Скачать

МЕРЗЛЯК 7 ГЕОМЕТРИЯ. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. ПАРАГРАФ-15

Доказательство теорем методом «от противного». Параллельность прямых на плоскости. Геометрия 7 классСкачать

Доказательство теорем методом «от противного». Параллельность прямых на плоскости. Геометрия 7 класс

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия
Поделиться или сохранить к себе: