Общие касательные к двум окружностям
Взаимное расположение двух окружностей |
Общие касательные к двум окружностям |
Формулы для длин общих касательных и общей хорды |
Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды |
- Взаимное расположение двух окружностей
- Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
- Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
- Касательная к окружности
- Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
- Свойства касательной к окружности
- Задача
- Задача 1
- Задача 2
- Задача 1
- Задача 2
- Задача 1
- Задача 2
- Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
- §3. Свойства касательных, хорд, секущих. Вписанные и описанные четырёхугольники
- 🎦 Видео
Видео:Вариант 77, № 7. Свойство касательной. Теорема о касательных, проведенных из одной точки. Задача 1Скачать
Взаимное расположение двух окружностей
Фигура | Рисунок | Свойства |
Две окружности на плоскости | ||
Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
Внешнее касание двух окружностей | ||
Внутреннее касание двух окружностей | ||
Окружности пересекаются в двух точках | ||
Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
Внешнее касание двух окружностей | ||
Внутреннее касание двух окружностей | ||
Окружности пересекаются в двух точках | ||
Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов | ||
Внешнее касание двух окружностей | ||
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов | ||
Внутреннее касание двух окружностей | ||
Окружности пересекаются в двух точках | ||
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов r1 – r2 лежит внутри другой | ||
Внутренняя касательная к двум окружностям | ||
Внутреннее касание двух окружностей | ||
Окружности пересекаются в двух точках | ||
Внешнее касание двух окружностей | ||
Внешняя касательная к двум окружностям | |
Внутренняя касательная к двум окружностям | |
Внутреннее касание двух окружностей | |
Окружности пересекаются в двух точках | |
Внешнее касание двух окружностей | |
Каждая из окружностей лежит вне другой | |
Внешняя касательная к двум окружностям | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Внутренняя касательная к двум окружностям | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Внутреннее касание двух окружностей | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружности пересекаются в двух точках | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Внешнее касание двух окружностей | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Каждая из окружностей лежит вне другой | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Фигура | Рисунок | Формула | ||||||||||||||||||||||||||||||||
Внешняя касательная к двум окружностям | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Внутренняя касательная к двум окружностям | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Общая хорда двух пересекающихся окружностей |
Внешняя касательная к двум окружностям | ||||||||||||||||||||||||
Внутренняя касательная к двум окружностям | ||||||||||||||||||||||||
Общая хорда двух пересекающихся окружностей | ||||||||||||||||||||||||
Внешняя касательная к двум окружностям | ||||||||||||||||||||
Внутренняя касательная к двум окружностям | ||||||||||||||||||||
Общая хорда двух пересекающихся окружностей | ||||||||||||||||||||
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле Видео:Свойство секущей и касательной, проведённых из одной точки.Скачать Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностейУтверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле что и требовалось доказать. Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле что и требовалось доказать. Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3, Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать Касательная к окружностиО чем эта статья: Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разницаВ самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Если из точки к окружности проведены две касательные, то длины отрезков от этой точки до точек касания равны и прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам (рис. 17). Используя это свойство, легко решить следующую задачу. На основании $$ AC$$ равнобедренного треугольника $$ ABC$$ расположена точка $$ D$$ так, что $$ AD=a,CD=b$$. Окружности, вписанные в треугольники $$ ABD$$ и $$ DBC$$, касаются прямой $$ BD$$ в точках $$ M$$ и $$ N$$ соответственно. Найти отрезок $$ MN$$.
$$ DE=y$$, $$ QD=x+y$$, $$ AQ=AP=a-(x+y)$$, $$ EC=CF=b-y$$, $$ PB=BM=z, BF=BN=z+x$$ (рис. 18а). Выразим боковые стороны: $$ AB=z+a-x-y$$, $$ BC=z+x+b-y$$. По условию $$ AB=BC$$; получим Четырёхугольник называется описанным около окружности, если окружность касается всех его сторон. В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противолежащих сторон равны.
Пусть четырёхугольник $$ ABCD$$ описан около окружности (рис. 19). По свойству касательных: $$ AM=AN$$, $$ NB=BP$$, $$ PC=CQ$$ и $$ QD=DM$$, поэтому $$ AM+MD+BP+PC=AN+NB+CQ+QD$$, что означает Докажем обратное утверждение. Пусть в выпуклом четырёхугольнике $$ ABCD$$ стороны удовлетворяют условию $$ AB+CD=BC+AD.$$ Положим $$ AD=a, AB=b, BC=c, CD=d.$$ По условию $$ a+c=b+d,$$ что равносильно $$ c-b=d-a.$$ Пусть $$ d>a.$$ Отложим на большей стороне $$ CD$$ меньшую сторону `DM=a` (рис. 20). Так как в этом случае $$ c>b$$, то также отложим $$ BN=b$$, получим три равнобедренных треугольника `ABN`, `ADM` и `MCN`.
В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой, отсюда следует, что если провести биссектрисы углов `B`, `C` и `D`, то они разделят пополам соответственно отрезки `AN`, `MN` и `AM` и будут им перпендикулярны. Это означает, что биссектрисы будут серединными перпендикулярами трёх сторон треугольника $$ ANM$$, а они по теореме пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку $$ O$$. Эта точка одинаково удалена от отрезков `AB` и `BC` (лежит на $$ OB$$), `BC` и `CD` (лежит на $$ OC$$) и `CD` и `AD` (лежит на $$ OD$$), следовательно, точка $$ O$$ одинакова удалена от всех четырёх сторон четырёхугольника $$ ABCD$$ и является центром вписанной окружности. Случай $$ d=a$$, как более простой, рассмотрите самостоятельно. Равнобокая трапеция описана около окружности. Найти радиус окружности, если длины оснований равны $$ a$$ и $$ b$$.
Пусть в равнобокой трапеции $$ ABCD$$ `BC=b`, `AD=a` (рис. 21). Эта трапеция равнобокая $$ (AB=CD)$$, она описана около окружности, следовательно, $$ AB+CD=AD+BC$$ Отсюда получаем: Проведём $$ BM$$ и $$ CN$$ перпендикулярно $$ AD$$. Трапеция равнобокая, углы при основании равны, следовательно, равны и треугольники $$ ABM$$ и $$ DCN$$ и $$ AM=ND$$. По построению $$ MBCN$$ — прямоугольник, $$ MN=BC=b$$ поэтому $$ AM=<displaystyle frac>(AD-BC)-<displaystyle frac>(a-b)$$. Из прямоугольного треугольника $$ ABM$$ находим высоту трапеции $$ ABCD$$: Очевидно, что высота трапеции равна диаметру окружности, поэтому радиус вписанной окружности равен $$ overline<)r=<displaystyle frac>sqrt>$$. Очень полезная задача. Заметим, что из решения также следует, что в равнобокой описанной трапеции $$ overline<)mathrmalpha =<displaystyle frac>>$$. Градусная мера угла, образованного хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами (рис. 22).
Рассматриваем угол $$ NAB$$ между касательной $$ NA$$ и хордой $$ AB$$. Если $$ O$$ — центр окружности, то $$ OAperp AN$$, `/_OAB=/_OBA=90^@alpha`. Сумма углов треугольника равна `180^@`, следовательно, $$ angle AOB=2alpha $$. Итак, $$ alpha =angle NAB=<displaystyle frac>angle AOB.$$ Обратим внимание, что угол $$ NAB$$ равен любому вписанному углу $$ AKB$$, опирающемуся на ту же дугу $$ AB$$. Случай `/_alpha>=90^@` рассматривается аналогично. Из этого свойства следует важная теорема «о касательной и секущей», которая часто используется при решении задач. Пусть к окружности проведены из одной точки касательная $$ MA$$ и секущая $$ MB$$, пересекающая окружность в точке $$ C$$ (рис. 23). Тогда справедливо равенство т. е. если из точки `M` к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки `M` до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки `M` до точек её пересечения с окружностью. Угол $$ MAC$$ образован хордой и касательной, $$ angle MAC=angle ABC$$. Так как в треугольниках $$ MAC$$ и $$ MBA$$ угол $$ M$$ общий, то по двум углам они подобны. Из подобия следует:
Если из точки $$ M$$ к окружности проведены две секущие: $$ MB$$, пересекающая окружность в точке $$ C$$ и $$ MK$$, пересекающая окружность в точке $$ L$$ (рис. 23), то справедливо равенство $$ MB·MC=MK·ML$$.
Окружность проходит через вершины $$ C u D$$ трапеции $$ ABCD,$$ касается боковой стороны $$ AB$$ в точке $$ B$$ и пересекает большее основание $$ AD$$ в точке $$ K$$ (рис. 24). Известно, что $$ AB=5sqrt$$, $$ BC=5$$ и $$ KD=10$$. Найти радиус окружности. 1. Пусть $$ AK=x$$ тогда $$ AD=10+x$$ю По теореме о касательной и секущей: $$ A^=AK·KD$$ т. е. $$ 75=x(x+10)$$, откуда $$ x=5$$. Итак $$ AD=15$$. 2. Заметим теперь, что угол $$ ABD$$ между касательной $$ AB$$ и хордой $$ BD$$ равен вписанному углу $$ BCD$$, а из параллельности прямых $$ AD$$ и $$ BC$$ следует равенство углов `1` и `2`. По первому признаку подобия $$ △ABDsim △DCB$$. Из подобия имеем $$ <displaystyle frac>=<displaystyle frac><displaystyle frac>$$. Из последнего равенства находим, что $$ B^=AD·BC$$, т. е. $$ BD=sqrt=5sqrt$$, а из первого равенства находим $$ CD=<displaystyle frac>=5$$. 3. Так как $$ KB=CD$$ ($$ KBCD$$ — вписанная трапеция, она равнобокая), и $$ K^+B^=K^,$$ то `/_ KBD=90^@` и $$ KD$$ — диаметр окружности. Значит, её радиус равен `5`. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов равна `180^@`. Из этой теоремы следует: a) из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность; б) около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобокая.
В треугольнике $$ ABC$$ биссектрисы $$ AD$$ и $$ BF$$ пересекаются в точке $$ O$$ (рис. 25). Известно, что точки $$ F, O, D$$, и `C` лежат на одной окружности и что $$ DF=sqrt.$$ Найти площадь треугольника $$ ODF$$. Четырёхугольник $$ DOFC$$ вписан в окружность, по теореме 9: $$ angle DOF=pi -angle C$$, т. е. $$ pi -<displaystyle frac>(angle A+angle B)=pi -angle C$$, откуда, учитывая, что $$ angle A+angle B+angle C=pi $$, находим $$ angle С=<displaystyle frac>$$. Теперь заметим, что $$ O$$ — точка точка пересечения биссектрис, $$ CO$$ — биссектриса угла $$ C,$$ следовательно, углы $$ OCD$$ и $$ OCF$$ равны друг другу. Это вписанные углы, поэтому вписанные углы $$ ODF$$ и $$ OFD$$ равны им и равны друг другу. Таким образом, Треугольник $$ DOF$$ равнобедренный с основанием $$ DF=sqrt$$ и углом при основании `30^@`. Находим его высоту, опущенную из вершины $$ O$$ и площадь треугольника $$ ODF: S=<displaystyle frac>h·DF=<displaystyle frac<sqrt>>$$. 🎦 Видео8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать Построение внешней касательной к двум дугам окружностей. Урок11.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точкиСкачать #59. Олимпиадная задача о касательной к окружности!Скачать Секущая и касательная. 9 класс.Скачать Построение касательной к окружностиСкачать Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки. ДоказательствоСкачать Свойства касательной к окружности - 1Скачать Видеоурок. Решения задач по геометрии. Касательная к окружности.Скачать Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИСкачать Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Геометрия. 8 классСкачать Свойства касательной к окружности - 2Скачать |