Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностямВзаимное расположение двух окружностей
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностямОбщие касательные к двум окружностям
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностямФормулы для длин общих касательных и общей хорды
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностямДоказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Видео:Вариант 77, № 7. Свойство касательной. Теорема о касательных, проведенных из одной точки. Задача 1Скачать

Вариант 77, № 7. Свойство касательной. Теорема о касательных, проведенных из одной точки. Задача 1

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

ФигураРисунокСвойства
Две окружности на плоскостиСвойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другойСвойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Внешнее касание двух окружностейСвойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностейСвойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Окружности пересекаются в двух точкахСвойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностямСвойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Внешнее касание двух окружностей
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Окружности пересекаются в двух точках
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Внутренняя касательная к двум окружностямСвойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностейСвойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Окружности пересекаются в двух точкахСвойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Внешнее касание двух окружностейСвойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Окружности пересекаются в двух точках
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Внешнее касание двух окружностей
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Видео:Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей
Каждая из окружностей лежит вне другой

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

ФигураРисунокФормула
Внешняя касательная к двум окружностямСвойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностямСвойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностейСвойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Внешняя касательная к двум окружностям
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Видео:Свойство секущей и касательной, проведённых из одной точки.Скачать

Свойство секущей и касательной, проведённых из одной точки.

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Касательная к окружности

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

О чем эта статья:

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Свойства касательныхСкачать

Свойства касательных

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:Касательные к окружностиСкачать

Касательные к окружности

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

  • Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям

§3. Свойства касательных, хорд, секущих. Вписанные и описанные четырёхугольники

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Рис. 17

Если из точки к окружности проведены две касательные, то длины отрезков от этой точки до точек касания равны и прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам (рис. 17).

Используя это свойство, легко решить следующую задачу.

На основании $$ AC$$ равнобедренного треугольника $$ ABC$$ расположена точка $$ D$$ так, что $$ AD=a,CD=b$$. Окружности, вписанные в треугольники $$ ABD$$ и $$ DBC$$, касаются прямой $$ BD$$ в точках $$ M$$ и $$ N$$ соответственно. Найти отрезок $$ MN$$.

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностямСвойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Рис. 18Рис. 18a

$$ DE=y$$, $$ QD=x+y$$, $$ AQ=AP=a-(x+y)$$, $$ EC=CF=b-y$$, $$ PB=BM=z, BF=BN=z+x$$ (рис. 18а). Выразим боковые стороны:

$$ AB=z+a-x-y$$, $$ BC=z+x+b-y$$. По условию $$ AB=BC$$; получим

Четырёхугольник называется описанным около окружности, если окружность касается всех его сторон.

В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противолежащих сторон равны.

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Рис. 19

Пусть четырёхугольник $$ ABCD$$ описан около окружности (рис. 19).

По свойству касательных: $$ AM=AN$$, $$ NB=BP$$, $$ PC=CQ$$ и $$ QD=DM$$, поэтому

$$ AM+MD+BP+PC=AN+NB+CQ+QD$$, что означает

Докажем обратное утверждение. Пусть в выпуклом четырёхугольнике $$ ABCD$$ стороны удовлетворяют условию $$ AB+CD=BC+AD.$$ Положим $$ AD=a, AB=b, BC=c, CD=d.$$

По условию $$ a+c=b+d,$$ что равносильно $$ c-b=d-a.$$

Пусть $$ d>a.$$ Отложим на большей стороне $$ CD$$ меньшую сторону `DM=a` (рис. 20). Так как в этом случае $$ c>b$$, то также отложим $$ BN=b$$, получим три равнобедренных треугольника `ABN`, `ADM` и `MCN`.

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Рис. 20

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой, отсюда следует, что если провести биссектрисы углов `B`, `C` и `D`, то они разделят пополам соответственно отрезки `AN`, `MN` и `AM` и будут им перпендикулярны. Это означает, что биссектрисы будут серединными перпендикулярами трёх сторон треугольника $$ ANM$$, а они по теореме пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку $$ O$$. Эта точка одинаково удалена от отрезков `AB` и `BC` (лежит на $$ OB$$), `BC` и `CD` (лежит на $$ OC$$) и `CD` и `AD` (лежит на $$ OD$$), следовательно, точка $$ O$$ одинакова удалена от всех четырёх сторон четырёхугольника $$ ABCD$$ и является центром вписанной окружности. Случай $$ d=a$$, как более простой, рассмотрите самостоятельно.

Равнобокая трапеция описана около окружности. Найти радиус окружности, если длины оснований равны $$ a$$ и $$ b$$.

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Рис. 21

Пусть в равнобокой трапеции $$ ABCD$$ `BC=b`, `AD=a` (рис. 21). Эта трапеция равнобокая $$ (AB=CD)$$, она описана около окружности, следовательно, $$ AB+CD=AD+BC$$ Отсюда получаем:

Проведём $$ BM$$ и $$ CN$$ перпендикулярно $$ AD$$. Трапеция равнобокая, углы при основании равны, следовательно, равны и треугольники $$ ABM$$ и $$ DCN$$ и $$ AM=ND$$. По построению $$ MBCN$$ — прямоугольник, $$ MN=BC=b$$ поэтому $$ AM=<displaystyle frac>(AD-BC)-<displaystyle frac>(a-b)$$. Из прямоугольного треугольника $$ ABM$$ находим высоту трапеции $$ ABCD$$:

Очевидно, что высота трапеции равна диаметру окружности, поэтому

радиус вписанной окружности равен $$ overline<)r=<displaystyle frac>sqrt>$$.

Очень полезная задача. Заметим, что из решения также следует, что в равнобокой описанной трапеции $$ overline<)mathrmalpha =<displaystyle frac>>$$.

Градусная мера угла, образованного хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами (рис. 22).

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Рис. 22

Рассматриваем угол $$ NAB$$ между касательной $$ NA$$ и хордой $$ AB$$. Если $$ O$$ — центр окружности, то $$ OAperp AN$$, `/_OAB=/_OBA=90^@alpha`. Сумма углов треугольника равна `180^@`, следовательно, $$ angle AOB=2alpha $$. Итак, $$ alpha =angle NAB=<displaystyle frac>angle AOB.$$

Обратим внимание, что угол $$ NAB$$ равен любому вписанному углу $$ AKB$$, опирающемуся на ту же дугу $$ AB$$.

Случай `/_alpha>=90^@` рассматривается аналогично.

Из этого свойства следует важная теорема «о касательной и секущей», которая часто используется при решении задач.

Пусть к окружности проведены из одной точки касательная $$ MA$$ и секущая $$ MB$$, пересекающая окружность в точке $$ C$$ (рис. 23). Тогда справедливо равенство

т. е. если из точки `M` к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки `M` до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки `M` до точек её пересечения с окружностью.

Угол $$ MAC$$ образован хордой и касательной, $$ angle MAC=angle ABC$$. Так как в треугольниках $$ MAC$$ и $$ MBA$$ угол $$ M$$ общий, то по двум углам они подобны. Из подобия следует:

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Рис. 23

Если из точки $$ M$$ к окружности проведены две секущие: $$ MB$$, пересекающая окружность в точке $$ C$$ и $$ MK$$, пересекающая окружность в точке $$ L$$ (рис. 23), то справедливо равенство $$ MB·MC=MK·ML$$.

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Рис. 24

Окружность проходит через вершины $$ C u D$$ трапеции $$ ABCD,$$ касается боковой стороны $$ AB$$ в точке $$ B$$ и пересекает большее основание $$ AD$$ в точке $$ K$$ (рис. 24). Известно, что $$ AB=5sqrt$$, $$ BC=5$$ и $$ KD=10$$.

Найти радиус окружности.

1. Пусть $$ AK=x$$ тогда $$ AD=10+x$$ю

По теореме о касательной и секущей:

$$ A^=AK·KD$$ т. е. $$ 75=x(x+10)$$, откуда $$ x=5$$. Итак $$ AD=15$$.

2. Заметим теперь, что угол $$ ABD$$ между касательной $$ AB$$ и хордой $$ BD$$ равен вписанному углу $$ BCD$$, а из параллельности прямых $$ AD$$ и $$ BC$$ следует равенство углов `1` и `2`. По первому признаку подобия $$ △ABDsim △DCB$$. Из подобия имеем $$ <displaystyle frac>=<displaystyle frac><displaystyle frac>$$. Из последнего равенства находим, что $$ B^=AD·BC$$, т. е. $$ BD=sqrt=5sqrt$$, а из первого равенства находим $$ CD=<displaystyle frac>=5$$.

3. Так как $$ KB=CD$$ ($$ KBCD$$ — вписанная трапеция, она равнобокая), и $$ K^+B^=K^,$$ то `/_ KBD=90^@` и $$ KD$$ — диаметр окружности.

Значит, её радиус равен `5`.

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов равна `180^@`.

Из этой теоремы следует:

a) из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность;

б) около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобокая.

Свойство касательных проведенных из одной точки к двум окружностям
Рис. 25

В треугольнике $$ ABC$$ биссектрисы $$ AD$$ и $$ BF$$ пересекаются в точке $$ O$$ (рис. 25). Известно, что точки $$ F, O, D$$, и `C` лежат на одной окружности и что $$ DF=sqrt.$$ Найти площадь треугольника $$ ODF$$.

Четырёхугольник $$ DOFC$$ вписан в окружность, по теореме 9:

$$ angle DOF=pi -angle C$$, т. е. $$ pi -<displaystyle frac>(angle A+angle B)=pi -angle C$$, откуда, учитывая, что $$ angle A+angle B+angle C=pi $$, находим $$ angle С=<displaystyle frac>$$.

Теперь заметим, что $$ O$$ — точка точка пересечения биссектрис, $$ CO$$ — биссектриса угла $$ C,$$ следовательно, углы $$ OCD$$ и $$ OCF$$ равны друг другу. Это вписанные углы, поэтому вписанные углы $$ ODF$$ и $$ OFD$$ равны им и равны друг другу. Таким образом,

Треугольник $$ DOF$$ равнобедренный с основанием $$ DF=sqrt$$ и углом при основании `30^@`. Находим его высоту, опущенную из вершины $$ O$$ и площадь треугольника $$ ODF: S=<displaystyle frac>h·DF=<displaystyle frac<sqrt>>$$.

🎦 Видео

Построение внешней касательной к двум дугам окружностей. Урок11.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Построение внешней касательной к двум дугам окружностей. Урок11.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точкиСкачать

Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки

#59. Олимпиадная задача о касательной к окружности!Скачать

#59. Олимпиадная задача о касательной к окружности!

Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

Секущая и касательная. 9 класс.

Построение касательной к окружностиСкачать

Построение касательной к окружности

Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки. ДоказательствоСкачать

Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки. Доказательство

Свойства касательной к окружности - 1Скачать

Свойства касательной к окружности - 1

Видеоурок. Решения задач по геометрии. Касательная к окружности.Скачать

Видеоурок. Решения задач по геометрии. Касательная к окружности.

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИСкачать

Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Геометрия. 8 классСкачать

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Геометрия. 8 класс

Свойства касательной к окружности - 2Скачать

Свойства касательной к окружности - 2
Поделиться или сохранить к себе: