Свойство длин перпендикуляров расположенных между двумя параллельными прямыми

Вы будете перенаправлены на Автор24

Для наиболее полного понимания темы следует ознакомиться с основными определениями, поэтому давайте узнаем, что же такое параллельные прямые и с чем их едят, а также некоторую другую основную терминологию и теоремы, которые касаются данной темы.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Используемые термины и понятия

Расстояние — это мера удалённости, используемая для характеристики местоположения двух объектов относительно друг друга.

Иногда расстояние можно измерить с помощью измерительных приборов, например, линейки или штангенциркуля, в случае поездки на автомобиле расстояние можно вычислить через измеритель скорости. Но чаще всего приходится прибегать к каким-либо вычислениям.

Параллельные прямые в пространстве — это такие прямые, которые не имеют каких-либо совместных точек и при этом лежат в одной плоскости. То есть по сути выходит, что есть два необходимых критерия для того чтобы назвать пару прямых параллельными друг другу:

1) обе такие прямые можно поместить в некую одиночную плоскость 2) 2 параллели никогда не встретятся

Не стоит путать такие прямые со скрещивающимися. Эти прямые также никогда не встречаются между собой, но рассматривая их, становится очевидно, что их нельзя расположить в одной плоскости.

Параллельные прямые можно встретить много где в окружающем нас мире: это и линии пола и потолка, и противопложные стороны поверхности стола, и стороны двери.

Расстояние между такими прямыми есть не что иное, как длина перпендикуляра, опущенного из одной точки любой из двух изучаемых прямых, на другую. Эта длина всегда будет одинаковой вне зависимости от того, из какой точки проведёна линия под прямым углом.

Докажем теорему, приведённую выше.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№26 - Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.)Скачать

Доказательство теоремы о расстоянии между параллельными прямыми

Рисунок 1. Расстояние между параллельными прямыми

Готовые работы на аналогичную тему

Рассмотрим наши прямые, про которые заранее известно, что они параллельны, назовём их $l$ и $k$.

Выберем пару рандомных точек $X$ и $Y$, возлежащих на $l$, и опустим из них под прямым углом линии на $k$.

Здесь совсем неважно, где именно вы выберете точки, главное правило — они не должны совпадать друг с другом.

Точки пересечения построенных линий с прямой $k$ назовём $A$ и $B$.

Так как наши прямые параллельны, то по условию параллельности накрест лежащие углы $XBA$ и $BXY$ при гипотенузе $XB$ получившегося прямоугольника равны между собой. Гипотенуза в данном случае является секущей к исследуемым прямым.

Собираем всё вместе о треугольниках $XBA$ и $BXY$:

1. У них есть общая сторона $XB$.
2. Стороны этих треугольников $XY$ и $AB$ равны между собой.
3. Значения углов $XBA$ $BXY$ тоже одинаковы, а сами по себе эти углы образованы сторонами, которые также равны между собой.

Из всего вышеперечисленного следует, что $XBA$ и $BXY$ являются равными по первому признаку равенства треугольников, и следовательно, длины перпендикуляров $XA$ и $YB$ равны.

Данное соотношение будет соблюдаться для любых произвольно выбранных точек $X$ и $Y$ — то есть длины перпендикуляров, опущенных с одной параллельной прямой на другую, всегда будут равны, что и требовалось доказать.

Доказанное утверждение справедливо как для параллельных прямых, рассматриваемых в планиметрии, так и для прямых, рассматриваемых в объёмном мире, так как 2 параллельные между собой прямые всегда образуют плоскость.

Видео:7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Задачи на определение расстояния между параллельными прямыми в объёмном мире

Мы с вами уже немного разобрались в теме, а это значит, что пришло время для задач с нахождением расстояния между параллельными прямыми в пространстве.

Найти расстояние между параллельными прямыми $l$ и $k$.

Рисунок 2. Параллельные прямые, образующие плоскость

Рассмотрим рисунок 2. По теореме, изложенной выше, кратчайшим расстоянием между двумя этими прямыми будет длина перпендикуляра, опущенного с одной прямой на другую, поэтому опустим из точки $X$ на прямую $k$ перпендикуляр, назовём его $h$. Длина этого перпендикуляра и будет решением нашей задачи.

На практике чаще всего нет возможности использования подручных методов типа линейки из-за невозможности исполнения чертежа в масштабе 1:1, поэтому обычно нужно найти расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве имея на руках функции, описывающие данные прямые.

Выше мы показали, что совсем неважно, где именно выбрать точку на одной из двух параллельных прямых, из которой нужно опустить перпендикуляр.

Поэтому в случае параллельности прямых эта задача фактически есть не что иное, как поиск расстояния между точкой, лежащей на одной из этих прямых, и другой прямой.

Формула для нахождения расстояния между параллельными прямыми $d$ и $k$ в один этап в пространстве следующая:

$ρ(d, k) = frac<sqrt<begin y_2 – y_1 & z_2 — z_1\ m_1 & n_1 \ end^2 + begin x_2 – x_1 & z_2 — z_1\ l_1 & n_1 \ end^2 + begin x_2 – x_1 & y_2 – y_1\ l_1 & m_1 \ end^2>><sqrt>$

В этой формуле $x_1, y_1, z_1$ — координаты нормального вектора прямой $d$, а $l, m, n$ — направляющий вектор этой прямой, его координаты — это знаменатели из канонических уравнений прямой в пространстве; $x_2, y_2, z_2$ — это координаты нормального вектора второй прямой.

Даны уравнения двух параллельных несовпадающих прямых:

Прямая $d$ задана уравнением $frac=frac=frac$,

а её параллель $k$ уравнением $frac=frac=frac$.

Найдите длину перпендикуляра, опущенного с одной прямой на другую.

Координаты нормального вектора для прямой $k$ $$, а для прямой $d$ $$. Координаты направляющего вектора для первой прямой $$.

Подставим данные числа в обозначенную выше формулу:

Решение примера, приведённого выше, реализовано по формуле, полученной через векторное произведение, кому-то такой способ может показаться более просты, а кому-то наоборот — сложным.

Но в любом случае воспользовавшись обоими вариантами решения оба алгоритма легко можно проверить.

Алгоритм с векторным произведением рассмотрен нами ниже для этой же задачи, из него становится понятно, каким образом получена используемая выше формула.

Найдите расстояние между параллельными прямыми из задачи, изложенной выше, через векторное произведение.

В этом случае вычисление расстояния между прямыми осуществляется по формуле:

где $M_0M_1$ — вектор, соединяющий 2 произвольных точки на двух параллельных прямых

Нормальные вектора для первой и второй прямых соответственно будут $$ и $$.

Направляющий вектор для обеих прямых совпадает, его координаты $s=$

Найдём векторную разность между нормальными векторами, которая будет координатами вектора $M_0M_1$

Теперь необходимо высчитать векторное произведение вектора $overline$ на вектор $overline$:

$overline ×overline = begin i & j & k \ 4 & -3 & 6 \ 1 & 3 & 5 \ end = i begin -3 & 6\ 3 & 5 \ end + j begin 4 & 6\ 1 & 5 \ end + k begin 4 & -3\ 1 & 3 \ end = -33i + 14j + 15k = $

А сейчас пришла очередь определить длину направляющего вектора $s$:

В результате конечный ответ составит:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 20 01 2021

Видео:Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение и примеры нахождения

В материале этой статьи разберем вопрос нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, в частности, при помощи метода координат. Разбор типовых примеров поможет закрепить полученные теоретические знания.

Видео:Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от некоторой произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Приведем иллюстрацию для наглядности:

На чертеже изображены две параллельные прямые a и b . Точка М 1 принадлежит прямой a , из нее опущен перпендикуляр на прямую b . Полученный отрезок М 1 Н 1 и есть расстояние между двумя параллельными прямыми a и b .

Указанное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Кроме того, данное определение взаимосвязано со следующей теоремой.

Когда две прямые параллельны, все точки одной из них равноудалены от другой прямой.

Пусть нам заданы две параллельные прямые a и b . Зададим на прямой а точки М 1 и М 2 , опустим из них перпендикуляры на прямую b , обозначив их основания соответственно как Н 1 и Н 2 . М 1 Н 1 – это расстояние между двумя параллельными прямыми по определению, и нам необходимо доказать, что | М 1 Н 1 | = | М 2 Н 2 | .

Пусть будет также существовать некоторая секущая, которая пересекает две заданные параллельные прямые. Условие параллельности прямых, рассмотренное в соответствующей статье, дает нам право утверждать, что в данном случае внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении секущей заданных прямых, являются равными: ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Прямая М 2 Н 2 перпендикулярна прямой b по построению, и, конечно, перпендикулярна прямой a . Получившиеся треугольники М 1 Н 1 Н 2 и М 2 М 1 Н 2 являются прямоугольными и равными друг другу по гипотенузе и острому углу: М 1 Н 2 – общая гипотенуза, ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Опираясь на равенство треугольников, мы можем говорить о равенстве их сторон, т.е.: | М 1 Н 1 | = | М 2 Н 2 | . Теорема доказана.

Отметим, что расстояние между двумя параллельными прямыми – наименьшее из расстояний от точек одной прямой до точек другой.

Видео:19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

Нахождение расстояния между параллельными прямыми

Мы уже выяснили, что, по сути, чтобы найти расстояние между двумя параллельными прямыми, необходимо определить длину перпендикуляра, опущенного из некой точки одной прямой на другую. Способов, как это сделать, несколько. В каких-то задачах удобно воспользоваться теоремой Пифагора; другие предполагают использование признаков равенства или подобия треугольников и т.п. В случаях, когда прямые заданы в прямоугольной системе координат, возможно вычислить расстояние между двумя параллельными прямыми, используя метод координат. Рассмотрим его подробнее.

Зададим условия. Допустим, зафиксирована прямоугольная система координат, в которой заданы две параллельные прямые a и b . Необходимо определить расстояние между заданными прямыми.

Решение задачи построим на определении расстояния между параллельными прямыми: для нахождения расстояния между двумя заданными параллельными прямыми необходимо:

— найти координаты некоторой точки М 1 , принадлежащей одной из заданных прямых;

— произвести вычисление расстояния от точки М 1 до заданной прямой, которой эта точка не принадлежит.

Опираясь на навыки работы с уравнениями прямой на плоскости или в пространстве, определить координаты точки М 1 просто. При нахождении расстояния от точки М 1 до прямой пригодится материал статьи о нахождении расстояния от точки до прямой.

Вернемся к примеру. Пусть прямая a описывается общим уравнением A x + B y + C 1 = 0 , а прямая b – уравнением A x + B y + C 2 = 0 . Тогда расстояние между двумя заданными параллельными прямыми возможно вычислить, используя формулу:

M 1 H 1 = C 2 — C 1 A 2 + B 2

Выведем эту формулу.

Используем некоторую точку М 1 ( x 1 , y 1 ) , принадлежащую прямой a . В таком случае координаты точки М 1 будут удовлетворять уравнению A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 . Таким образом, справедливым является равенство: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 ; из него получим: A x 1 + B y 1 = — C 1 .

Когда С 2 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0

При С 2 ≥ 0 нормальное уравнение прямой b будет выглядеть так:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y — C 2 A 2 + B 2 = 0

И тогда для случаев, когда С 2 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .

А для С 2 ≥ 0 искомое расстояние определяется по формуле M 1 H 1 = — A A 2 + B 2 x 1 — B A 2 + B 2 y 1 — C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Таким образом, при любом значении числа С 2 длина отрезка | М 1 Н 1 | (от точки М 1 до прямой b ) вычисляется по формуле: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Выше мы получили: A x 1 + B y 1 = — C 1 , тогда можем преобразовать формулу: M 1 H 1 = — C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 = C 2 — C 1 A 2 + B 2 . Так мы, собственно, получили формулу, указанную в алгоритме метода координат.

Разберем теорию на примерах.

Заданы две параллельные прямые y = 2 3 x — 1 и x = 4 + 3 · λ y = — 5 + 2 · λ . Необходимо определить расстояние между ними.

Решение

Исходные параметрические уравнения дают возможность задать координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая параметрическими уравнениями. Таким образом, получаем точку М 1 ( 4 , — 5 ) . Требуемое расстояние – это расстояние между точкой М 1 ( 4 , — 5 ) до прямой y = 2 3 x — 1 , произведем его вычисление.

Заданное уравнение прямой с угловым коэффициентом y = 2 3 x — 1 преобразуем в нормальное уравнение прямой. С этой целью сначала осуществим переход к общему уравнению прямой:

y = 2 3 x — 1 ⇔ 2 3 x — y — 1 = 0 ⇔ 2 x — 3 y — 3 = 0

Вычислим нормирующий множитель: 1 2 2 + ( — 3 ) 2 = 1 13 . Умножим на него обе части последнего уравнения и, наконец, получим возможность записать нормальное уравнение прямой: 1 13 · 2 x — 3 y — 3 = 1 13 · 0 ⇔ 2 13 x — 3 13 y — 3 13 = 0 .

При x = 4 , а y = — 5 вычислим искомое расстояние как модуль значения крайнего равенства:

2 13 · 4 — 3 13 · — 5 — 3 13 = 20 13

Ответ: 20 13 .

В фиксированной прямоугольной системе координат O x y заданы две параллельные прямые, определяемые уравнениями x — 3 = 0 и x + 5 0 = y — 1 1 . Необходимо найти расстояние между заданными параллельными прямыми.

Решение

Условиями задачи определено одно общее уравнение, задаваемое одну из исходных прямых: x-3=0. Преобразуем исходное каноническое уравнение в общее: x + 5 0 = y — 1 1 ⇔ x + 5 = 0 . При переменной x коэффициенты в обоих уравнениях равны (также равны и при y – нулю), а потому имеем возможность применить формулу для нахождения расстояния между параллельными прямыми:

M 1 H 1 = C 2 — C 1 A 2 + B 2 = 5 — ( — 3 ) 1 2 + 0 2 = 8

Ответ: 8 .

Напоследок рассмотрим задачу на нахождение расстояния между двумя параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

В прямоугольной системе координат O x y z заданы две параллельные прямые, описываемые каноническими уравнениями прямой в пространстве: x — 3 1 = y — 1 = z + 2 4 и x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 . Необходимо найти расстояние между этими прямыми.

Решение

Из уравнения x — 3 1 = y — 1 = z + 2 4 легко определются координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая этим уравнением: М 1 ( 3 , 0 , — 2 ) . Произведем вычисление расстояния | М 1 Н 1 | от точки М 1 до прямой x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 .

Прямая x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 проходит через точку М 2 ( — 5 , 1 , 2 ) . Запишем направляющий вектор прямой x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 как b → с координатами ( 1 , — 1 , 4 ) . Определим координаты вектора M 2 M → :

M 2 M 1 → = 3 — ( — 5 , 0 — 1 , — 2 — 2 ) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , — 1 , — 4

Вычислим векторное произведение векторов :

b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 — 1 4 8 — 1 — 4 = 8 · i → + 36 · j → + 7 · k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = ( 8 , 36 , 7 )

Применим формулу расчета расстояния от точки до прямой в пространстве:

M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + ( — 1 ) 2 + 4 2 = 1409 3 2

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

Перпендикулярные прямые

Перпендикулярные прямые — это две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим прямым, лежащим в одной плоскости и перпендикулярным в ней.

Содержание:

Понятие перпендикулярных прямых

При пересечении двух прямых есть очень важный случай, когда, пересекаясь, прямые образуют прямые углы (рис. 2.296).

Определение. Две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунках перпендикулярность прямых обозначается специальным знаком — (рис. 2.296).

При записи перпендикулярность прямых обозначается так: .

Запись читается: «прямая а перпендикулярна прямой Ь».

Кроме понятия перпендикулярности прямых в геометрии используется понятие перпендикуляра к прямой. Говорят: провести перпендикуляр к прямой, проходящий через данную точку, опустить перпендикуляр из точки на прямую.

Определение. Перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, называют отрезок прямой, перпендикулярной к прямой , с концами в точках А и В, где А — точка, из которой проводится перпендикуляр, а В — точка пересечения прямой с пердпендикулярной ей прямой АВ.

На рисунке 2.297 прямая АВ перпендикулярна к прямой , отрезок АВ является перпендикуляром к прямой , точку В называют основанием перпендикуляра АВ.

Определение. Длину перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называют расстоянием от точки до прямой.

Построение перпендикулярных прямых связано с вычерчиванием прямых углов.

Для вычерчивания прямых углов используется угольник или чертежный треугольник (рис. 2.298). Прямой угол может быть изображен в любом положении (рис. 2.299).

На рисунке 2.300 показано, как с помощью угольника и линейки можно провести перпендикуляр через точку О, лежащую на прямой АВ. На рисунке 2.301 показано, как можно провести перпендикуляр с помощью угольника и линейки через точку О к прямой АВ при условии, что О не лежит на АВ.

Теорема 2. К данной прямой через данную точку можно провести только один перпендикуляр.

Серединный перпендикуляр отрезка

Определение. Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно ему, называют серединным перпендикуляром (рис. 2.302).

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку:

— если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка;

— если точка принадлежит серединному перпендикуляру отрезка, то она равноудалена от его концов.

Можно доказать такую теорему.

Теорема 3. Множество точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Перпендикуляр и наклонная

Если есть точка и прямая, то по теореме 1 есть и плоскость, в которой они лежат, а значит, все рассуждения в данном случае будут связаны с той плоскостью, в которой лежат данные точка и прямая.

Пусть даны прямая и точка В, не лежащая на этой прямой. ВА — перпендикуляр, опущенный из точки В на прямую , и С — любая точка прямой а, отличная от А. Отрезок ВС называется наклонной, проведенной из точки В к прямой (рис. 2.303). Точку С называют основанием наклонной.

В отличие от перпендикуляра наклонная образует с прямой, к которой она проведена, угол, отличный от 90°.

Можно доказать теорему.

Теорема 4. Расстояние от точки А до основания перпендикуляра, проведенного через нее к прямой , меньше, чем расстояние от А до любой другой точки прямой .

Иначе говоря, перпендикуляр ВА короче, чем отрезок ВС любой наклонной.

Есть еще одно понятие, которым часто пользуются в данной ситуации, — это проекция точки на прямую. Даны прямая и точка А вне ее. Опустив перпендикуляр из точки А на прямую , мы получим точку — основание перпендикуляра. Точка имеет еще одно название, ее называют проекцией точки А на прямую .

Можно, пользуясь понятием проекции точки на прямую, определить и проекцию фигуры на данную прямую. Например, на рисунке 2.304 изображена проекция отрезка на прямую .

Проекция отрезка есть тоже отрезок , который состоитиз всех проекций точек отрезка МК. Именно такие проекции нам в дальнейшем придется рассматривать.

Пример:

Равные отрезки AD и СВ, заключенные между параллельными прямыми АС и BD, пересекаются в точке О. Докажите, что АО = СО и ВО = DO.

Решение:

Из условия задачи имеем:

3. AD и СВ пересекаются в точке О.

4. АО = СО и ВО = DO (требуется доказать).

Чтобы доказать п. 4, нужно доказать, что и — равнобедренные. Как это доказать?

5. Проведем из точек А и С перпендикуляры к прямой BD (построение) (рис. 2.305).

6. АК = СМ (5, свойство расстояний между параллельными прямыми).

7. (5, теорема 21, см. п. 23).

8. (7).

9. — равнобедренный (8, признак равнобедренного треугольника).

Аналогично можно доказать, что АО = СО.

Геометрическое место точек

В геометрии для описания некоторых геометрических фигур есть свое название — геометрическое место точек.

Определение. Геометрическим местом точек называют фигуру, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.

Например, окружность можно определить как геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Серединный перпендикуляр отрезка можно также определить как геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов этого отрезка.

В этих примерах говорится о геометрическом месте точек плоскости.

Геометрические места точек широко используются при решении геометрических задач на построение. Сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач на построение, состоит в следующем.

Пусть для решения задачи на построение надо найти точку X, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура , а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура . Искомая точка X принадлежит и , т. е. является их точкой пересечения. Покажем работу этого метода на примере решения задачи.

Пример 1.

Даны три точки: А, В, С. Постройте точку X, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С.

1. Нам даны три точки А, В, С (рис. 2.306).

2. Искомая точка X удовлетворяет двум условиям: 1) она одинаково удалена от точек А и В; 2) она находится на данном расстоянии от точки С. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть серединный перпендикуляр отрезка АВ (рис. 2.307).

3. Геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть окружность данного радиуса с центром в точке С (рис. 2.308). Искомая точка X лежит на пересечении этих геометрических мест. В данном случае искомых точек две: и .

Биссектриса угла также является очень важным и широко используемым геометрическим местом точек.

Пример 2.

Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла и находящихся в его внутренней области.

Решение:

А) Пусть точка принадлежит внутренней области угла и равноудалена от его сторон. Докажем, что эта точка принадлежит биссектрисе данного угла.

1. Точка М принадлежит внутренней области угла АОВ (рис. 2.309).

2. Проведем МК OA, МС OB, МК = МС (рис. 2.310).

3. ОМ — биссектриса угла АОВ (требуется доказать).

У нас на чертеже нет луча ОМ, проведем его.

4. Соединим точки О и М (построение) (рис. 2.311).

Нам нужно доказать, что ОМ — биссектриса угла О или, что . Для этого рассмотрим .

5. (2, теорема 21, см. п. 23).

6. (4).

7. ОМ — биссектриса угла АОВ.

Б) Пусть точка принадлежит биссектрисе данного угла. Докажем, что эта точка равноудалена от сторон данного угла.

1. Пусть М — произвольная точка биссектрисы ОМ угла АОВ (рис. 2.312) (дано).

2. (1).

3. Проведем МК и МС — перпендикуляры к сторонам угла АОВ (рис. 2.313) (построение).

4. (1, 2, теорема 19, см. п. 23).

5. МК = МС. Точка М равноудалена от сторон угла (4).

Итак, геометрическим местом точек угла, равноудаленных от его сторон, является биссектриса этого угла.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

💡 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия. Свойства параллельных прямых. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми, 7 классСкачать

38. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

№277. Расстояние между параллельными прямыми а и b равно 3 см, а между параллельными прямымиСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей Задачи на признаки параллельностСкачать

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать