Свойства углов равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны между собой.

Равные стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .

Свойства углов равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника

1. Углы при основании равны

Свойства углов равнобедренного треугольника

2. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой

Свойства углов равнобедренного треугольника

3. Углы при основании равнобедренного треугольника вычисляются по следующей формуле:

Свойства углов равнобедренного треугольника,

где Свойства углов равнобедренного треугольника– угол напротив основания.

Свойства углов равнобедренного треугольника

4. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов при основании равны между собой

Свойства углов равнобедренного треугольника

5. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане=высоте=биссектрисе, проведенной к основанию

Свойства углов равнобедренного треугольника

Признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

2. Если в треугольнике медиана является и высотой (биссектрисой), то такой треугольник равнобедренный.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Свойства равнобедренного треугольника: теория и задача

В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства равнобедренного треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.

Определение равнобедренного треугольника

Равнобедренным называют треугольник, в котором две стороны имеют одинаковую длину (называются боковыми). Оставшаяся третья сторона является основанием фигуры.

Свойства углов равнобедренного треугольника

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника

Свойство 1

В равнобедренном треугольнике углы при основании (т.е. между боковыми сторонами и основанием) равны. Это значит, что α = β.

Свойства углов равнобедренного треугольника

Если углы при основании треугольника равны, значит он является равнобедренным.

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, одновременно является и биссектрисой угла и медианой, проведенной к основанию.

Свойства углов равнобедренного треугольника

BD – медиана и высота к основанию AC, а также биссектриса угла ABC.

Свойство 3

Центры вписанной и описанной вокруг равнобедренного треугольника окружностей лежат на одном отрезке, являющимся биссектрисой, медианой и высотой, проведенной к основанию.

Свойства углов равнобедренного треугольника

  • O1 и O2 – расположены на одном отрезке;
  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности.

Видео:Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать

Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.

Пример задачи

Дан равнобедренный треугольник, в котором длина основания в полтора раза больше боковой стороны. Периметр фигуры равняется 14 см. Найдите длины всех сторон.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи, приняв боковую сторону за a.

Свойства углов равнобедренного треугольника

В таком случае, основание AC равняется 1,5a.
Периметр треугольника – это сумма всех его сторон:
AB + BC + AC = a + a + 1,5a = 3,5a = 14.
Т.е. a = 4.

Следовательно, боковая сторона равна 4 см, а основание – 6 см (4 см ⋅1,5).

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Свойства углов равнобедренного треугольника

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник. 7 класс.

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

Свойства углов равнобедренного треугольника

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Свойства углов равнобедренного треугольника

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Свойства углов равнобедренного треугольника

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

  1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
  2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
  3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
  4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Видео:Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Свойства углов равнобедренного треугольника

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Свойства углов равнобедренного треугольника

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Свойства углов равнобедренного треугольника

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№32 - Повторение. Равнобедренный треугольник и его свойства.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№32 - Повторение. Равнобедренный треугольник и его свойства.)

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Свойства углов равнобедренного треугольника

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

📺 Видео

Свойства равнобедренного треугольника | Геометрия 7-9 класс #19 | ИнфоурокСкачать

Свойства равнобедренного треугольника  | Геометрия 7-9 класс #19 | Инфоурок

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Свойства и признаки равнобедренного треугольникаСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Второй признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Второй признак равенства треугольников. 7 класс.

💥АРЕСТОВИЧ. ГУР и СБУ АТАКОВАЛИ РОССИЮ. Удар на 800 км! РФ зашла в Авдеевку. Фронт горит @arestovychСкачать

💥АРЕСТОВИЧ. ГУР и СБУ АТАКОВАЛИ РОССИЮ. Удар на 800 км! РФ зашла в Авдеевку. Фронт горит @arestovych

✓ Свойства и признаки равнобедренного треугольника | Ботай со мной #008 | Борис ТрушинСкачать

✓ Свойства и признаки равнобедренного треугольника | Ботай со мной #008 | Борис Трушин

№228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°Скачать

№228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°

Геометрия 7 класс - равнобедренный треугольник и его свойстваСкачать

Геометрия 7 класс - равнобедренный треугольник и его свойства

Свойства прямоугольного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. Практическая часть.  7 класс.

Свойства равнобедренного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. Практическая часть. 7 класс.

№254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.Скачать

№254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

Геометрия 7 класс. Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

Геометрия 7 класс. Свойства равнобедренного треугольника
Поделиться или сохранить к себе: