Свойства угла между секущими к окружности

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордойСкачать

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Угол между касательной и хордойСкачать

Угол между секущими

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

Проведём хорду AN.

Для треугольника APN ∠ANC — внешний угол при вершине N.

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним,

∠ANC — вписанный угол, опирающийся на дугу AC,

∠PAN — вписанный угол, опирающийся на дугу MN.

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то

Видео:❓ Угол между двумя секущими (внутри окружности)Скачать

Касательная, секущая, хорда

Видео:Угол между секущими к окружностиСкачать

Касательная к окружности

Прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности .

• Касательная перпендикулярна радиусу окружности, проведенному к точке касания;
• Через любую точку вне окружности можно провести ровно две касательные к окружности;
• Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, от общей точки до точек касания равны друг другу.

Видео:Угол между хордой и касательной. 9 класс.Скачать

Секущая

Секущая — это прямая, пересекающая окружность в двух точках.

Две секущие образуют угол, в который попадают две дуги окружности. В этом случае говорят, что секущие высекают эти дуги.

Видео:Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Хорда

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности .

• Самая длинная хорда окружности — это диаметр ;
• Равные хорды стягивают дуги одинаковой градусной меры ;
• Если хорда стягивает дугу с градусной мерой α alpha α , то ее длина l = 2 R sin α 2 l=2Rsin<frac> l = 2 R sin 2 α ​ .

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Угол между касательной и хордой

Угол между хордой окружности и касательной , проведенной в одном из концов хорды , равен половине дуги, которую стягивает эта хорда .

Угол между касательной и хордой является вырожденным случаем вписанного угла, в котором вершина угла совпадает с одним из концов дуги.

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Угол между секущими

Если точка пересечения двух секущих к окружности находится внутри окружности, то угол между секущими равен полусумме дуг, которые они высекают.

Если точка пересечения двух секущих к окружности находится вне окружности, то угол между секущими равен половине разности дуг, которые они высекают.

Теорема выполняется, если заменить секущую на касательную к окружности.

💥 Видео

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Теорема о касательной и секущейСкачать

Углы, связанные с окружностьюСкачать

Углы между хордами, касательными и секущими | Геометрия 8-9 классыСкачать

Найти угол между двумя секущими к окружности. Без специальной формулы.Скачать

Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1Скачать

Угол между хордой и касательнойСкачать

Угол между хордой и касательнойСкачать

8 класс. Геометрия. Углы, образованные хордами, секущими и касательнымиСкачать