Прямая и окружность имеют две точки если расстояние

Взаимное расположение прямой и окружности

Выясним количество общих точек прямой и окружности в зависимости от их взаимного расположения. Если прямая l проходит через центр O окружности (Рис.1), то она пересекает окружность в двух точках, которые являются концами диаметра окружности.

Пусть прямая не проходит через центр окружности. Проведем перпендикуляр OH к прямой l (Рис.2, Рис.3, Рис.4). Обозначим расстояние от центра окружности до прямой l буквой d. Рассмотрим сколько общих точек будут иметь прямая и окружность в зависимости от соотношения d и r.

Прямая и окружность имеют две точки если расстояниеПрямая и окружность имеют две точки если расстояние

Теорема 1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.

В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности: d Теорема 2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют одну общую точку.

Прямая и окружность имеют две точки если расстояние

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности: d=r (Рис.3). В этом случае OH=r, т.е. точка H лежит на окружности и является общей точкой прямой l и окружности. Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда расстояние от OM больше расстояния OH=r, поскольку наклонная OM больше перпендикуляра OH к прямой l. Следовательно точка M не лежит на окружности. Получили, что точка H единственная общая точка прямой l и окружности.Прямая и окружность имеют две точки если расстояние

Теорема 3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.

Прямая и окружность имеют две точки если расстояние

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности:d>r (Рис.4). Тогда ( small OH > r). Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда ( small OM > OH>r). Следовательно точка M не лежит на окружности. Таким образом, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.Прямая и окружность имеют две точки если расстояние

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность и круг, 6 класс

Окружность и прямая имеют 2 точки если

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Взаимное расположение прямой и окружности

Выясним количество общих точек прямой и окружности в зависимости от их взаимного расположения. Если прямая l проходит через центр O окружности (Рис.1), то она пересекает окружность в двух точках, которые являются концами диаметра окружности.

Пусть прямая не проходит через центр окружности. Проведем перпендикуляр OH к прямой l (Рис.2, Рис.3, Рис.4). Обозначим расстояние от центра окружности до прямой l буквой d. Рассмотрим сколько общих точек будут иметь прямая и окружность в зависимости от соотношения d и r.

Прямая и окружность имеют две точки если расстояниеПрямая и окружность имеют две точки если расстояние

Теорема 1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.

В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности: d Теорема 2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют одну общую точку.

Прямая и окружность имеют две точки если расстояние

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности: d=r (Рис.3). В этом случае OH=r, т.е. точка H лежит на окружности и является общей точкой прямой l и окружности. Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда расстояние от OM больше расстояния OH=r, поскольку наклонная OM больше перпендикуляра OH к прямой l. Следовательно точка M не лежит на окружности. Получили, что точка H единственная общая точка прямой l и окружности.Прямая и окружность имеют две точки если расстояние

Теорема 3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.

Прямая и окружность имеют две точки если расстояние

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности:d>r (Рис.4). Тогда ( small OH > r). Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда ( small OM > OH>r). Следовательно точка M не лежит на окружности. Таким образом, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.Прямая и окружность имеют две точки если расстояние

Видео:Прямая и окружность. Математика. 6 класс.Скачать

Прямая и  окружность. Математика. 6 класс.

Взаимное расположение прямой и окружности

Существует 3 случая взаимного расположения прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом r окружности и расстоянием d прямой от центра окружности.

1. d r. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

Теоремы о касательных и секущих

  1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Прямая и окружность имеют две точки если расстояние

  1. Если из данной точки проведены к окружности две касательные, то отрезки касательных равны между собой и центр окружности лежит на биссектрисе угла с вершиной в этой точке: (AB=AC) .

Прямая и окружность имеют две точки если расстояние

  1. Если из данной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть: (AC^2=CDcdot BC) .

Прямая и окружность имеют две точки если расстояние

  1. Произведение всего отрезка одной секущей на его внешнюю часть равно произведению всего отрезка другой секущей на его внешнюю часть: (ACcdot BC=ECcdot DC) .

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO1).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O1 имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO1.

Опустим из A на прямую OO1 перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA1, равное AB. Докажем теперь, что точка A1 принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O1 лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA1 через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A1. То же можно сказать и о точке O1. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A1.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A1 (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA1) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O1, радиусами R и R1 и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

Прямая и окружность имеют две точки если расстояние

1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R1 .

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R1, так как точка касания лежит на линии центров O O1.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R1, потому что в треугольнике OAO1 сторона OO1 меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R1, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO1.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R1, то окружности касаются извне.

3. Если d R — R1, то окружности пересекаются.

4. Если d = R — R1, то окружности касаются изнутри.

5. Если d R Е R1. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Взаимное расположение прямой и окружности

Существует 3 случая взаимного расположения прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом r окружности и расстоянием d прямой от центра окружности.

1. d r. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

Теоремы о касательных и секущих

  1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Прямая и окружность имеют две точки если расстояние

  1. Если из данной точки проведены к окружности две касательные, то отрезки касательных равны между собой и центр окружности лежит на биссектрисе угла с вершиной в этой точке: (AB=AC) .

Прямая и окружность имеют две точки если расстояние

  1. Если из данной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть: (AC^2=CDcdot BC) .

Прямая и окружность имеют две точки если расстояние

  1. Произведение всего отрезка одной секущей на его внешнюю часть равно произведению всего отрезка другой секущей на его внешнюю часть: (ACcdot BC=ECcdot DC) .

📺 Видео

8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружности

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

№632. Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любаяСкачать

№632. Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая

№8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскостиСкачать

№8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Геометрия 8 класс (Урок№25 - Взаимное расположение прямой и окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№25 - Взаимное расположение прямой и окружности.)

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Из точки A проведены две касательные к окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Из точки A проведены две касательные к окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Касательная и секущая к окружности encodedСкачать

Касательная и секущая к окружности encoded

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.Скачать

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.

Взаимное расположение и точки пересечения прямой и окружностиСкачать

Взаимное расположение и точки пересечения прямой и окружности

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Взаимное расположение прямой и окружности | Геометрия 7-9 класс #68 | ИнфоурокСкачать

Взаимное расположение прямой и окружности  | Геометрия 7-9 класс #68 | Инфоурок
Поделиться или сохранить к себе: