Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойство секущих

Теорема

Для каждой из секущих, проведённых из одной точки, произведение длины секущей на длину её внешней части есть величина постоянная.

Свойства секущих окружности проведенных из одной точкиДано : окружность (O; R), AB и AC — секущие,

AB∩окр. (O; R)=F, AC∩окр. (O; R)=K

Свойства секущих окружности проведенных из одной точкиРассмотрим треугольники ABK и ACF.

∠ABK=∠ACF (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу FK).

Следовательно, треугольники ABK и ACF подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

По основному свойству пропорции:

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Что и требовалось доказать.

Свойства секущих окружности проведенных из одной точкиII способ

1) Проведём отрезки FK и BC.

2) Так как четырёхугольник BFKC — вписанный в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180º:

∠BCK+∠BFK=180º. Следовательно, ∠BFK=180º-∠BCK.

3) ∠AFK+∠BFK=180º (как смежные). Отсюда,

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки4) Рассмотрим треугольники ABC и AKF.

У них ∠ACB=∠AFK (так как ∠AFK=∠BCK по доказанному), ∠A — общий угол. Следовательно, треугольники ABC и AKF — подобны (по двум углам).

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Что и требовалось доказать .

При решении задач будем использовать свойство секущих, а также запомним полученные в ходе доказательства теоремы факты о подобии треугольников, образованных секущими. Причем подобие треугольников ABC и AKF можно доказывать как приведённым выше способом, так и опираясь на свойство секущих.

Видео:Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точкиСкачать

Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки

Свойства касательных, секущих и хорд окружности. Радикальная ось

Факт 1.
(bullet) Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Факт 2.
(bullet) Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Факт 3.
(bullet) Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Факт 4.
(bullet) Если (OK) – касательная к окружности, где (K) – точка касания, (OB) – секущая, (A) и (B) – точки пересечения с окружностью, то

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Факт 5.
(bullet) Если (OA) и (OB) – секущие к окружности, пересекающие повторно окружность в точках (B_1) и (A_1) соответственно, то

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Факт 6.
(bullet) При пересечении хорд в окружности образуются две пары подобных треугольников.

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Факт 7.
(bullet) Радикальная ось (AB) перпендикулярна линии (MN) центров двух пересекающихся окружностей.
(bullet) Отрезки (OK_1, OK_2, OK_3, OK_4) касательных, проведенных из точки (Oin AB) к обеим окружностям, равны.

Видео:Свойство секущей и касательной, проведённых из одной точки.Скачать

Свойство секущей и касательной, проведённых из одной точки.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Свойства секущих окружности проведенных из одной точкиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Свойства секущих окружности проведенных из одной точкиСвойства хорд и дуг окружности
Свойства секущих окружности проведенных из одной точкиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Свойства секущих окружности проведенных из одной точкиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Свойства секущих окружности проведенных из одной точкиТеорема о бабочке

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Видео:Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьСвойства секущих окружности проведенных из одной точки
КругСвойства секущих окружности проведенных из одной точки
РадиусСвойства секущих окружности проведенных из одной точки
ХордаСвойства секущих окружности проведенных из одной точки
ДиаметрСвойства секущих окружности проведенных из одной точки
КасательнаяСвойства секущих окружности проведенных из одной точки
СекущаяСвойства секущих окружности проведенных из одной точки
Окружность
Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругСвойства секущих окружности проведенных из одной точки

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусСвойства секущих окружности проведенных из одной точки

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаСвойства секущих окружности проведенных из одной точки

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрСвойства секущих окружности проведенных из одной точки

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяСвойства секущих окружности проведенных из одной точки

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяСвойства секущих окружности проведенных из одной точки

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки. ДоказательствоСкачать

Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки. Доказательство

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеСвойства секущих окружности проведенных из одной точкиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыСвойства секущих окружности проведенных из одной точкиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныСвойства секущих окружности проведенных из одной точкиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиСвойства секущих окружности проведенных из одной точкиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыСвойства секущих окружности проведенных из одной точкиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыСвойства секущих окружности проведенных из одной точки

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыСвойства секущих окружности проведенных из одной точки

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиСвойства секущих окружности проведенных из одной точки

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныСвойства секущих окружности проведенных из одной точки

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиСвойства секущих окружности проведенных из одной точки

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыСвойства секущих окружности проведенных из одной точки

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1Скачать

Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыСвойства секущих окружности проведенных из одной точки
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиСвойства секущих окружности проведенных из одной точки
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиСвойства секущих окружности проведенных из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаСвойства секущих окружности проведенных из одной точки

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Пересекающиеся хорды
Свойства секущих окружности проведенных из одной точки
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Свойства секущих окружности проведенных из одной точки
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Свойства секущих окружности проведенных из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Свойства секущих окружности проведенных из одной точки
Пересекающиеся хорды
Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Видео:Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

Секущая и касательная. 9 класс.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Тогда справедливо равенство

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Свойства секущих окружности проведенных из одной точки

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

🎬 Видео

Секущие в окружности и их свойство. Геометрия 8-9 классСкачать

Секущие в окружности и их свойство. Геометрия 8-9 класс

Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

❗️МОЙ СЕКРЕТНЫЙ МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОРХИДЕЙ МЕТОД 12/12 И ОРХИДЕЯ БЕЗ КОРНЕЙ С ЛИСТЬЯМИ-ТРЯПОЧКАМИ!Скачать

❗️МОЙ СЕКРЕТНЫЙ МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОРХИДЕЙ МЕТОД 12/12 И ОРХИДЕЯ БЕЗ КОРНЕЙ С ЛИСТЬЯМИ-ТРЯПОЧКАМИ!

Теорема о касательной и секущейСкачать

Теорема о касательной и секущей

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

ОГЭ 2022. Задание 16. Касательная, хорда, секущая. Основные теоремы для решения задач + много задачСкачать

ОГЭ 2022. Задание 16. Касательная, хорда, секущая. Основные теоремы для решения задач + много задач

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1

Свойство секущей окружности из внешней точки.Скачать

Свойство секущей окружности из внешней точки.

8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика
Поделиться или сохранить к себе: