Свойства радиусов двух окружностей

Содержание
  1. Окружность
  2. Основные термины
  3. Касательная
  4. Свойства касательной
  5. Хорда
  6. Свойства хорд
  7. Свойства окружности
  8. Теорема о касательной и секущей
  9. Теорема о секущих
  10. Углы в окружности
  11. Свойства углов, связанных с окружностью
  12. Длины и площади
  13. Вписанные и описанные окружности
  14. Окружность и треугольник
  15. Окружность и четырехугольники
  16. Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям
  17. Взаимное расположение двух окружностей
  18. Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
  19. Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
  20. Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности
  21. Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности.
  22. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью:
  23. Взаимное расположение окружности и прямой:
  24. Взаимное расположение окружности и точки:
  25. Взаимное расположение двух окружностей:
  26. Свойства углов, связанных с окружностью:
  27. Метрические соотношения в окружности (длины отрезков):
  28. 📺 Видео

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Видео:9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностей

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Видео:Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

    Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

    Две окружности на плоскости.
    Общие касательные к двум окружностям

    Свойства радиусов двух окружностейВзаимное расположение двух окружностей
    Свойства радиусов двух окружностейОбщие касательные к двум окружностям
    Свойства радиусов двух окружностейФормулы для длин общих касательных и общей хорды
    Свойства радиусов двух окружностейДоказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

    Свойства радиусов двух окружностей

    Видео:На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите его сторону.Скачать

    На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите его сторону.

    Взаимное расположение двух окружностей

    Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

    Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

    r1 – r2 лежит внутри другой

    Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

    d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

    Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

    r1 – r2 лежит внутри другой

    Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

    d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

    d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

    Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

    Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

    Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

    Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
    две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

    Каждая из окружностей лежит вне другой

    Свойства радиусов двух окружностей

    Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

    ФигураРисунокСвойства
    Две окружности на плоскостиСвойства радиусов двух окружностей
    Каждая из окружностей лежит вне другойСвойства радиусов двух окружностей
    Внешнее касание двух окружностейСвойства радиусов двух окружностей
    Внутреннее касание двух окружностейСвойства радиусов двух окружностей
    Окружности пересекаются в двух точкахСвойства радиусов двух окружностейСвойства радиусов двух окружностей
    Каждая из окружностей лежит вне другой
    Свойства радиусов двух окружностей
    Внешнее касание двух окружностей
    Свойства радиусов двух окружностей
    Внутреннее касание двух окружностей
    Свойства радиусов двух окружностей
    Окружности пересекаются в двух точках
    Свойства радиусов двух окружностей
    Свойства радиусов двух окружностей
    Каждая из окружностей лежит вне другой
    Свойства радиусов двух окружностей

    Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

    Внешнее касание двух окружностей
    Свойства радиусов двух окружностей

    Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

    Внутреннее касание двух окружностей
    Окружности пересекаются в двух точках
    Свойства радиусов двух окружностей

    Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

    r1 – r2 лежит внутри другой

    Внутренняя касательная к двум окружностямСвойства радиусов двух окружностей
    Внутреннее касание двух окружностейСвойства радиусов двух окружностей
    Окружности пересекаются в двух точкахСвойства радиусов двух окружностей
    Внешнее касание двух окружностейСвойства радиусов двух окружностей
    Свойства радиусов двух окружностей
    Свойства радиусов двух окружностей

    Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

    Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

    Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

    Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

    Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

    Свойства радиусов двух окружностей

    Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

    Внешняя касательная к двум окружностям
    Свойства радиусов двух окружностей
    Внутренняя касательная к двум окружностям
    Свойства радиусов двух окружностей
    Внутреннее касание двух окружностей
    Свойства радиусов двух окружностей
    Окружности пересекаются в двух точках
    Свойства радиусов двух окружностей
    Внешнее касание двух окружностей
    Свойства радиусов двух окружностей
    Свойства радиусов двух окружностей
    Каждая из окружностей лежит вне другой
    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

    Видео:1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

    1 2 4  сопряжение окружностей

    Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

    Внешняя касательная к двум окружностям
    Внутренняя касательная к двум окружностям
    Внутреннее касание двух окружностей
    Окружности пересекаются в двух точках
    Внешнее касание двух окружностей
    Каждая из окружностей лежит вне другой

    Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

    Свойства радиусов двух окружностей

    Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

    Свойства радиусов двух окружностей

    Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

    Свойства радиусов двух окружностей

    ФигураРисунокФормула
    Внешняя касательная к двум окружностямСвойства радиусов двух окружностей
    Внутренняя касательная к двум окружностямСвойства радиусов двух окружностей
    Общая хорда двух пересекающихся окружностейСвойства радиусов двух окружностей

    Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

    Свойства радиусов двух окружностей

    Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

    Свойства радиусов двух окружностей

    Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

    Свойства радиусов двух окружностей

    Внешняя касательная к двум окружностям
    Свойства радиусов двух окружностей
    Внутренняя касательная к двум окружностям
    Свойства радиусов двух окружностей
    Общая хорда двух пересекающихся окружностей
    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

    Свойства радиусов двух окружностей

    Любые два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°=π

    Свойства радиусов двух окружностей

    Угол между пересекающимися хордами:

    Свойства радиусов двух окружностей

    Угол между секущими, пересекающимися вне окружности:

    Свойства радиусов двух окружностей

    Угол между касательными:

    Свойства радиусов двух окружностей

    Угол между касательной и хордой:

    Свойства радиусов двух окружностей

    Метрические соотношения в окружности (длины отрезков):

    Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением:

    Свойства радиусов двух окружностей

    Отрезки касательных, проведенных из общей точки, равны:

    Свойства радиусов двух окружностей

    Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей, проведенной из той же точки:

    Свойства радиусов двух окружностей

    Произведения длин отрезков секущих, проведенных из общей точки, равны:

    Свойства радиусов двух окружностей

    Внешняя касательная к двум окружностям
    Внутренняя касательная к двум окружностям
    Общая хорда двух пересекающихся окружностей
    Свойства радиусов двух окружностей

    Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

    Формулы для радиуса окружности #shorts

    Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

    Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностей

    Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

    Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

    Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности

    Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности.

    Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью:

    Свойства радиусов двух окружностейЦентральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. Если отнести длину этой дуги к радиусу окружности то получится радианная мера угла.

    Взаимное расположение окружности и прямой:

    Свойства радиусов двух окружностей

    1. Окружность и прямая не имеют общих точек

    Свойства радиусов двух окружностей

    2. Окружность и прямая имеют 2 общие точки (l — секущая)

    Свойства радиусов двух окружностей

    3. Окружность и прямая имеют 1 общую точку (l — касательная)

    Взаимное расположение окружности и точки:

    Свойства радиусов двух окружностей

    1. Точка лежит вне окружности (2 касательные через точку А)

    Свойства радиусов двух окружностей

    2. Точка лежит внутри окружности (нет касательных через точку А)

    Свойства радиусов двух окружностей

    3. Точка лежит на окружности (1 касательная через точку А)

    Взаимное расположение двух окружностей:

    Свойства радиусов двух окружностей

    1. Одна окружность лежит внутри другой.

    Свойства радиусов двух окружностей

    2. Одна окружность касается другой изнутри.

    Свойства радиусов двух окружностей

    3. Окружности пересекаются.

    Свойства радиусов двух окружностейСвойства радиусов двух окружностей

    4. Одна окружность касается другой снаружи или одна окружность лежит вне другой.

    Свойства углов, связанных с окружностью:

    Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу:

    Свойства радиусов двух окружностей

    Свойства радиусов двух окружностейВсе вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны:Свойства радиусов двух окружностей
    Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны:Свойства радиусов двух окружностейСвойства радиусов двух окружностей
    Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые:Свойства радиусов двух окружностейСвойства радиусов двух окружностей
    Свойства радиусов двух окружностейУгол между касательной и секущей:Свойства радиусов двух окружностейСвойства радиусов двух окружностей
    Свойства радиусов двух окружностейСвойства радиусов двух окружностей
    Свойства радиусов двух окружностейСвойства радиусов двух окружностей
    Свойства радиусов двух окружностейСвойства радиусов двух окружностей
    Свойства радиусов двух окружностей

    Консультации и техническая
    поддержка сайта: Zavarka Team

    📺 Видео

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Внешнее сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой. Урок13.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

    Внешнее сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой. Урок13.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

    Окружность и круг, 6 классСкачать

    Окружность и круг, 6 класс

    Внешнее сопряжение двух окружностейСкачать

    Внешнее сопряжение двух окружностей

    РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данирСкачать

    РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данир

    Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать

    Теорема о числе точек пересечения двух окружностей

    найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

    найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

    Взаимное расположение окружностей. 7 класс.Скачать

    Взаимное расположение окружностей. 7 класс.
    Поделиться или сохранить к себе: