С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).
 |
Можно дать и другое определение прямоугольника.
Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.
- Свойства прямоугольника
- Диагональ прямоугольника
- Окружность, описанная около прямоугольника
- Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника
- Периметр прямоугольника
- Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр
- Признаки прямоугольника
- Формулы прямоугольника
- Свойства прямоугольника
- Формулы длин сторон прямоугольника
- Формулы длины диагонали прямоугольника
- Формулы периметра прямоугольника
- Формулы площади прямоугольника
- Формулы радиуса описанной окружности прямоугольника
- Прямоугольник
- Свойства прямоугольника
- Признаки параллелограмма
- Площадь прямоугольника
Свойства прямоугольника
Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.
- 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
- 2. Все углы прямоугольника прямые.
- 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
- 4. Диагонали прямоугольника равны.
- 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.
Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.
Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.
Диагональ прямоугольника
Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.
 |
На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.
Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:
 |
 . | (1) |
Из равенства (1) найдем d:
 . | (2) |
Пример 1. Стороны прямоугольника равны 
. Найти диагональ прямоугольника.
Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя в (2), получим:
 |
Ответ: 
Окружность, описанная около прямоугольника
Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):
 |
Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника
Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.
Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть
| ( small R=frac ) | (3) |
Подставляя (3) в (2), получим:
| ( small R=frac<large sqrt> ) | (4) |
Пример 2. Стороны прямоугольника равны 
. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя в (4), получим:
 |
 |
Ответ: 
Периметр прямоугольника
Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.
Периметр прямоугольника вычисляется формулой:
 | (5) |
где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.
Пример 3. Стороны прямоугольника равны . Найти периметр прямоугольника.
Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя в (5), получим:
 |
Ответ: 
Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр
Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).
Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:
 | (6) |
 | (7) |
Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):
 | (8) |
 | (9) |
Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):
 | (10) |
Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):
  | (11) |
Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:
 | (12) |
После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).
Примечание. Легко можно доказать, что
| ( frac >d ; ⇒ ; P>2cdot d ; ⇒ ) ( small P^2>4 cdot d^2 ; ⇒ ; 4d^2-P^2 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*). |
Пример 4. Диагональ прямоугольника равна 
, а периметр равен 
. Найти стороны прямоугольника.
Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим , в (11):
 |
Подставляя значения и 
в первую формулу (12), получим:
 |
Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения и 
в формулу, получим:
 |
Ответ: 
, 
Признаки прямоугольника
Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Формулы прямоугольника
Для расчёта всех основных параметров прямоугольника воспользуйтесь калькулятором.
Свойства прямоугольника
- Противоположные стороны прямоугольника равны
- Противоположные стороны прямоугольника параллельны
- Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны
- Все четыре угла прямоугольника прямые
- Сумма углов прямоугольника равна 360°
- Диагонали прямоугольника одинаковой длины
- Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон $$ 2 * BD^2 = 2 * AB^2 + 2 * BD^2 $$
- Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника
- Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам
- Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности
- Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности
- Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180°
Формулы длин сторон прямоугольника
Длина стороны через диагональ и другую сторону
Длина стороны через площадь (S) и другую сторону
Длина стороны через периметр (P) и другую сторону
Длина стороны через диагональ и угол ∠ACD
$$ AD = BD * sin(∠ACD) $$ $$ AB = BD * cos(∠ACD) $$
Длина стороны через диагональ и угол ∠BOC
Формулы длины диагонали прямоугольника
Длина диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника
Длина диагонали прямоугольника через площадь (S) и любую сторону
Длина диагонали прямоугольника через периметр и любую сторону
Формулы периметра прямоугольника
Периметр прямоугольника через две стороны
Периметр прямоугольника через площадь (S) и любую сторону
Формулы площади прямоугольника
Площадь прямоугольника через две стороны
Площадь прямоугольника через периметр и любую сторону
Формулы радиуса описанной окружности прямоугольника
Радиус описанной окружности через диагональ
Радиус описанной окружности через две стороны
Прямоугольник
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.
Частным случаем прямоугольника является квадрат.
Свойства прямоугольника
1. Так как прямоугольник – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.
Помимо этого:
2. Стороны прямоугольника являются его высотами.
3. Диагонали прямоугольника равны.
4. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его соседних сторон.
5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.
Признаки параллелограмма
Параллелограмм является прямоугольником, если выполняется любое из условий:
1. Диагонали параллелограмма равны.
2. Квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов соседних сторон.
3. Все углы параллелограмма равны.
Площадь прямоугольника
Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя: