Свойства описанной окружности около треугольника

Окружность, описанная около треугольника
Содержание
  1. Определение окружности, описанной около треугольника
  2. Теорема об окружности, описанной около треугольника
  3. Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
  4. Серединный перпендикуляр к отрезку
  5. Окружность, описанная около треугольника
  6. Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
  7. Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
  8. Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения
  9. Описанная и вписанная окружности треугольника
  10. Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности
  11. Вписанные и описанные четырехугольники
  12. Окружность, вписанная в треугольник
  13. Описанная трапеция
  14. Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника
  15. Обобщенная теорема Пифагора
  16. Формула Эйлера для окружностей
  17. Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника
  18. 📸 Видео

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

Свойства описанной окружности около треугольника

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Свойства описанной окружности около треугольника

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.Свойства описанной окружности около треугольника

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Свойства описанной окружности около треугольника

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Свойства описанной окружности около треугольникаСерединный перпендикуляр к отрезку
Свойства описанной окружности около треугольникаОкружность описанная около треугольника
Свойства описанной окружности около треугольникаСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Свойства описанной окружности около треугольникаДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Свойства описанной окружности около треугольника

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Свойства описанной окружности около треугольника

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Свойства описанной окружности около треугольника

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Свойства описанной окружности около треугольника

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Свойства описанной окружности около треугольника

Свойства описанной окружности около треугольника

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Свойства описанной окружности около треугольника

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Свойства описанной окружности около треугольника

Свойства описанной окружности около треугольника

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Свойства описанной окружности около треугольника

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Свойства описанной окружности около треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Свойства описанной окружности около треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Свойства описанной окружности около треугольникаВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаСвойства описанной окружности около треугольникаОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиСвойства описанной окружности около треугольникаЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиСвойства описанной окружности около треугольникаЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовСвойства описанной окружности около треугольника
Площадь треугольникаСвойства описанной окружности около треугольника
Радиус описанной окружностиСвойства описанной окружности около треугольника
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Свойства описанной окружности около треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаСвойства описанной окружности около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиСвойства описанной окружности около треугольника

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиСвойства описанной окружности около треугольника

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиСвойства описанной окружности около треугольника

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовСвойства описанной окружности около треугольника

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Свойства описанной окружности около треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаСвойства описанной окружности около треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиСвойства описанной окружности около треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

Свойства описанной окружности около треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Свойства описанной окружности около треугольника

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Свойства описанной окружности около треугольника

Свойства описанной окружности около треугольника.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Свойства описанной окружности около треугольника

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Содержание:

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами Свойства описанной окружности около треугольника

Свойства описанной окружности около треугольника

Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

2. Свойства описанной окружности около треугольникагде Свойства описанной окружности около треугольника— радиус вписанной окружности треугольника,

3. Свойства описанной окружности около треугольникагде R — радиус описанной окружности Свойства описанной окружности около треугольника
Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

Свойства описанной окружности около треугольника

Найдем радиус Свойства описанной окружности около треугольникавневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы Свойства описанной окружности около треугольникаПо свойству касательной Свойства описанной окружности около треугольникаИз подо­бия прямоугольных треугольников АОЕ и Свойства описанной окружности около треугольника(по острому углу) следуетСвойства описанной окружности около треугольникаТак как Свойства описанной окружности около треугольникато Свойства описанной окружности около треугольникаоткуда Свойства описанной окружности около треугольника

Свойства описанной окружности около треугольника

Пример:

Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы: Свойства описанной окружности около треугольника

Видео:Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать

Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 класс

Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Свойства описанной окружности около треугольника

На рисунке 90 изображена окружность с ради­усом R и центром Свойства описанной окружности около треугольникаописанная около треугольни ка АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Свойства описанной окружности около треугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Свойства описанной окружности около треугольника

На рисунке 92 изображена окружность с цент­ром О и радиусом Свойства описанной окружности около треугольникавписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
Так как Свойства описанной окружности около треугольникаи по свойству касательной к окружности Свойства описанной окружности около треугольника Свойства описанной окружности около треугольникато центр вписанной окружности равно­удален от сторон треугольника.

Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Свойства описанной окружности около треугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точ­ку пересечения любых двух из них.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле Свойства описанной окружности около треугольникагде Свойства описанной окружности около треугольника— полупериметр треугольника, Свойства описанной окружности около треугольника— радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Свойства описанной окружности около треугольника

Пусть дан треугольник АВС со сторонами Свойства описанной окружности около треугольника— центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точ­ку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Свойства описанной окружности около треугольникаРадиусы Свойства описанной окружности около треугольникапроведенные в точки касания, будут высотами этих тре­угольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

Свойства описанной окружности около треугольника

Следствие:

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

Свойства описанной окружности около треугольника

Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
(рис. 95).

Свойства описанной окружности около треугольника

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— иско­мый радиус. Поскольку Свойства описанной окружности около треугольника(как прямо­угольные с общим острым углом СВК), то , Свойства описанной окружности около треугольника
Свойства описанной окружности около треугольникаоткуда Свойства описанной окружности около треугольника
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Свойства описанной окружности около треугольника(см. рис. 95) Свойства описанной окружности около треугольникаиз Свойства описанной окружности около треугольникаоткуда Свойства описанной окружности около треугольникаДальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Свойства описанной окружности около треугольника

Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD Свойства описанной окружности около треугольникакак вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное меж­ду гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому Свойства описанной окружности около треугольникаоткуда Свойства описанной окружности около треугольника
Ответ: Свойства описанной окружности около треугольникасм.
Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружно­сти, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, про­веденной к основанию, или на ее продолжении».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Полезно запомнить!
Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить Свойства описанной окружности около треугольникаа высоту, проведенную к основанию, — Свойства описанной окружности около треугольникато получится пропорция Свойства описанной окружности около треугольника.
Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окруж­ности, описанной около равнобедренного треугольника:

Свойства описанной окружности около треугольника

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре­угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Свойства описанной окружности около треугольника

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, Свойства описанной окружности около треугольника— искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из Свойства описанной окружности около треугольникапо теореме Пифагора Свойства описанной окружности около треугольника(см), откуда Свойства описанной окружности около треугольника(см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной Свойства описанной окружности около треугольника. Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( Свойства описанной окружности около треугольника— общий) следует:Свойства описанной окружности около треугольника. Тогда Свойства описанной окружности около треугольникаСвойства описанной окружности около треугольника(см).
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Свойства описанной окружности около треугольника(см. рис. 97) Свойства описанной окружности около треугольника, из Свойства описанной окружности около треугольника Свойства описанной окружности около треугольникаоткуда Свойства описанной окружности около треугольника. Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса Свойства описанной окружности около треугольника. Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Свойства описанной окружности около треугольника‘ откуда Свойства описанной окружности около треугольника= 3 (см).

Способ 4 (формула Свойства описанной окружности около треугольника). Свойства описанной окружности около треугольника

Свойства описанной окружности около треугольникаИз формулы площади треугольника Свойства описанной окружности около треугольникаследует: Свойства описанной окружности около треугольника
Ответ: 3 см.

Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в тре­угольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус Свойства описанной окружности около треугольникаего вписанной окружности.

Свойства описанной окружности около треугольника

Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, Свойства описанной окружности около треугольника— радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и Свойства описанной окружности около треугольникаПоскольку ВК — высота и медиана, то Свойства описанной окружности около треугольникаИз Свойства описанной окружности около треугольника, откуда Свойства описанной окружности около треугольника.
В Свойства описанной окружности около треугольникакатет ОК лежит против угла в 30°, поэтому Свойства описанной окружности около треугольника, Свойства описанной окружности около треугольника

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Свойства описанной окружности около треугольникаВысоту равностороннего треугольника можно найти по формуле Свойства описанной окружности около треугольника. Откуда

Свойства описанной окружности около треугольника

Свойства описанной окружности около треугольника

Ответ: Свойства описанной окружности около треугольника

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника Свойства описанной окружности около треугольникато Свойства описанной окружности около треугольникаЗначит, сторона равностороннего
треугольника в Свойства описанной окружности около треугольникараз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону Свойства описанной окружности около треугольникаразделить на Свойства описанной окружности около треугольника, а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на Свойства описанной окружности около треугольника. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника Свойства описанной окружности около треугольника

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. Свойства описанной окружности около треугольникагде с — гипотенуза.

Свойства описанной окружности около треугольника

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности Свойства описанной окружности около треугольникагде с — гипотенуза.
Теорема доказана.

Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

Свойства описанной окружности около треугольника

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле Свойства описанной окружности около треугольника, где Свойства описанной окружности около треугольника— искомый радиус, Свойства описанной окружности около треугольникаи Свойства описанной окружности около треугольника— катеты, Свойства описанной окружности около треугольника— гипотенуза треугольника.

Свойства описанной окружности около треугольника

Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами Свойства описанной окружности около треугольникаи гипотенузой Свойства описанной окружности около треугольника. Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом Свойства описанной окружности около треугольникакасается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим: Свойства описанной окружности около треугольника Свойства описанной окружности около треугольникаЧетырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и Свойства описанной окружности около треугольника. Тогда Свойства описанной окружности около треугольника Свойства описанной окружности около треугольникаТак как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Свойства описанной окружности около треугольникаНо Свойства описанной окружности около треугольника, т. е. Свойства описанной окружности около треугольника, откуда Свойства описанной окружности около треугольника

Следствие: Свойства описанной окружности около треугольника где р — полупериметр треугольника.

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

Свойства описанной окружности около треугольника

Формула Свойства описанной окружности около треугольникав сочетании с формулами Свойства описанной окружности около треугольникаи Свойства описанной окружности около треугольникадает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

Пример. Дан прямоугольный треугольник, Свойства описанной окружности около треугольникаНайти Свойства описанной окружности около треугольника.

Решение:

Так как Свойства описанной окружности около треугольникато Свойства описанной окружности около треугольника
Из формулы Свойства описанной окружности около треугольникаследует Свойства описанной окружности около треугольника. По теореме Виета (обратной) Свойства описанной окружности около треугольника— посторонний корень.
Ответ: Свойства описанной окружности около треугольника= 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

Свойства описанной окружности около треугольника

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где Свойства описанной окружности около треугольника— радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как Свойства описанной окружности около треугольника— квадрат, то Свойства описанной окружности около треугольника
По свойству касательных Свойства описанной окружности около треугольника
Тогда Свойства описанной окружности около треугольникаПо теореме Пифагора

Свойства описанной окружности около треугольника

Свойства описанной окружности около треугольника

Следовательно, Свойства описанной окружности около треугольника
Радиус описанной окружности Свойства описанной окружности около треугольника
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу Свойства описанной окружности около треугольниказначения Свойства описанной окружности около треугольникаполучим Свойства описанной окружности около треугольникаПо теореме Пифагора Свойства описанной окружности около треугольника, т. е. Свойства описанной окружности около треугольникаТогда Свойства описанной окружности около треугольника
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника Свойства описанной окружности около треугольникарадиус вписанной в него окружности Свойства описанной окружности около треугольникаНайти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в Свойства описанной окружности около треугольникагипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как Свойства описанной окружности около треугольника

Свойства описанной окружности около треугольника

Свойства описанной окружности около треугольника, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу Свойства описанной окружности около треугольникавписанной окружности, Свойства описанной окружности около треугольника— высота Свойства описанной окружности около треугольника. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда Свойства описанной окружности около треугольникапо катету и гипотенузе.
Площадь Свойства описанной окружности около треугольникаравна сумме удвоенной площади Свойства описанной окружности около треугольникаи площади квадрата CMON, т. е.

Свойства описанной окружности около треугольника

Способ 2 (алгебраический). Из формулы Свойства описанной окружности около треугольникаследует Свойства описанной окружности около треугольникаСвойства описанной окружности около треугольникаВозведем части равенства в квадрат: Свойства описанной окружности около треугольника Свойства описанной окружности около треугольникаТак как Свойства описанной окружности около треугольникаи Свойства описанной окружности около треугольникаСвойства описанной окружности около треугольника

Способ 3 (алгебраический). Из формулы Свойства описанной окружности около треугольникаследует, что Свойства описанной окружности около треугольникаИз формулы Свойства описанной окружности около треугольникаследует, что Свойства описанной окружности около треугольника
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле Свойства описанной окружности около треугольника

Свойства описанной окружности около треугольника

Свойства описанной окружности около треугольника

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

Свойства описанной окружности около треугольника

Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Свойства описанной окружности около треугольника

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Свойства описанной окружности около треугольникаДуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда Свойства описанной окружности около треугольника

Свойства описанной окружности около треугольникаАналогично доказывается, что Свойства описанной окружности около треугольника180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Свойства описанной окружности около треугольникато около него можно описать окружность.

Свойства описанной окружности около треугольника

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого Свойства описанной окружности около треугольника(рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении Свойства описанной окружности около треугольникаили внутри нее в положении Свойства описанной окружности около треугольникато в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма Свойства описанной окружности около треугольникане была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

Свойства описанной окружности около треугольника

Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

Свойства описанной окружности около треугольника

Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

Свойства описанной окружности около треугольника

откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

Свойства описанной окружности около треугольника

Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Свойства описанной окружности около треугольника

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

Свойства описанной окружности около треугольника(1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок Свойства описанной окружности около треугольникакоторый касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

Свойства описанной окружности около треугольника(2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим Свойства описанной окружности около треугольника Свойства описанной окружности около треугольникачто противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.

Свойства описанной окружности около треугольника

Для описанного многоугольника справедлива формула Свойства описанной окружности около треугольника, где S — его площадь, р — полупериметр, Свойства описанной окружности около треугольника— радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

Свойства описанной окружности около треугольника

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

Свойства описанной окружности около треугольника

Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Свойства описанной окружности около треугольникаТак как у ромба все стороны равны , то Свойства описанной окружности около треугольника(см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что Свойства описанной окружности около треугольникаоткуда Свойства описанной окружности около треугольникаИскомый радиус вписанной окружности Свойства описанной окружности около треугольника(см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма Свойства описанной окружности около треугольниканайдем площадь данного ромба: Свойства описанной окружности около треугольникаС другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Свойства описанной окружности около треугольникаПоскольку Свойства описанной окружности около треугольника(см), то Свойства описанной окружности около треугольникаОтсюда Свойства описанной окружности около треугольника Свойства описанной окружности около треугольника(см).

Ответ: Свойства описанной окружности около треугольникасм.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где Свойства описанной окружности около треугольникаделит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).
Свойства описанной окружности около треугольника

Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Свойства описанной окружности около треугольникаНеобходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту Свойства описанной окружности около треугольникатрапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Свойства описанной окружности около треугольникаТогда Свойства описанной окружности около треугольникаПо свойству описанного четырехугольника Свойства описанной окружности около треугольникаОтсюда Свойства описанной окружности около треугольника

Свойства описанной окружности около треугольника

Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов Свойства описанной окружности около треугольникаи Свойства описанной окружности около треугольникаТак как Свойства описанной окружности около треугольникакак внутренние односторонние углы при Свойства описанной окружности около треугольникаи секущей CD, то Свойства описанной окружности около треугольника(рис. 131). Тогда Свойства описанной окружности около треугольника— прямоугольный, радиус Свойства описанной окружности около треугольникаявляется его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му Свойства описанной окружности около треугольникаили Свойства описанной окружности около треугольникаВысота Свойства описанной окружности около треугольникаописанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Свойства описанной окружности около треугольникаТак как по свой­ству описанного четырехугольника Свойства описанной окружности около треугольникато Свойства описанной окружности около треугольникаСвойства описанной окружности около треугольника
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Свойства описанной окружности около треугольника Свойства описанной окружности около треугольникаНайти величину угла ВАС (рис. 132, а).
Свойства описанной окружности около треугольника

Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку Свойства описанной окружности около треугольникакак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то Свойства описанной окружности около треугольникаи прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, Свойства описанной окружности около треугольникаВ прямоугольном треугольнике ABM Свойства описанной окружности около треугольникаоткуда Свойства описанной окружности около треугольника

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

Свойства описанной окружности около треугольника

Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если Свойства описанной окружности около треугольникато Свойства описанной окружности около треугольника Свойства описанной окружности около треугольникаТак как АВ = AM + МВ, то Свойства описанной окружности около треугольникаоткуда Свойства описанной окружности около треугольникат. е. Свойства описанной окружности около треугольника. После преобразований получим: Свойства описанной окружности около треугольникаАналогично: Свойства описанной окружности около треугольникаСвойства описанной окружности около треугольникаСвойства описанной окружности около треугольника
Ответ: Свойства описанной окружности около треугольникаСвойства описанной окружности около треугольникаСвойства описанной окружности около треугольника

Свойства описанной окружности около треугольника

Замечание. Если Свойства описанной окружности около треугольника(рис. 141), то Свойства описанной окружности около треугольника Свойства описанной окружности около треугольника(см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, Свойства описанной окружности около треугольника— частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.

Свойства описанной окружности около треугольника

Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле Свойства описанной окружности около треугольникаПусть в трапеции ABCD основания Свойства описанной окружности около треугольника— боковые стороны, Свойства описанной окружности около треугольника— высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда Свойства описанной окружности около треугольника. Известно, что в равнобедренной трапеции Свойства описанной окружности около треугольника(можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Свойства описанной окружности около треугольникаСвойства описанной окружности около треугольникаОтсюда Свойства описанной окружности около треугольникаОтвет: Свойства описанной окружности около треугольника
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями Свойства описанной окружности около треугольникабоковой стороной с, высотой h, средней линией Свойства описанной окружности около треугольникаи радиусом Свойства описанной окружности около треугольникавписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

Свойства описанной окружности около треугольника

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143
Свойства описанной окружности около треугольника

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то Свойства описанной окружности около треугольникакак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD Свойства описанной окружности около треугольникато около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки Свойства описанной окружности около треугольника» . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике Свойства описанной окружности около треугольникапроведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику Свойства описанной окружности около треугольника(рис. 148). Тогда теорема Пифагора Свойства описанной окружности около треугольникаможет звучать так: сумма квадратов гипотенуз Свойства описанной окружности около треугольникатреугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если Свойства описанной окружности около треугольника— соответствующие линейные элемен­ты Свойства описанной окружности около треугольникато можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:
Свойства описанной окружности около треугольника

Свойства описанной окружности около треугольника

Действительно, из подобия указанных треугольников Свойства описанной окружности около треугольникаоткуда Свойства описанной окружности около треугольника

Свойства описанной окружности около треугольника

Пример:

Пусть Свойства описанной окружности около треугольника(см. рис. 148). Найдем Свойства описанной окружности около треугольникаПо обобщенной теореме Пифагора Свойства описанной окружности около треугольникаотсюда Свойства описанной окружности около треугольника
Ответ: Свойства описанной окружности около треугольника= 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами Свойства описанной окружности около треугольникаи расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

Свойства описанной окружности около треугольника

Свойства описанной окружности около треугольника

Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

Свойства описанной окружности около треугольника

Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки Свойства описанной окружности около треугольника, и Свойства описанной окружности около треугольника— лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). ТогдаСвойства описанной окружности около треугольника— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой Свойства описанной окружности около треугольникагде b — боковая сторона, Свойства описанной окружности около треугольника— высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Свойства описанной окружности около треугольникаРадиус вписанной окружности Свойства описанной окружности около треугольникаТак как Свойства описанной окружности около треугольникато Свойства описанной окружности около треугольникаИскомое расстояние Свойства описанной окружности около треугольника
А теперь найдем d по формуле Эйлера: Свойства описанной окружности около треугольника

Свойства описанной окружности около треугольникаоткуда Свойства описанной окружности около треугольникаКак видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

  1. Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
  2. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
  3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: Свойства описанной окружности около треугольника
  4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле Свойства описанной окружности около треугольника
  5. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
  6. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
  7. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле Свойства описанной окружности около треугольникагде Свойства описанной окружности около треугольника— полупериметр, Свойства описанной окружности около треугольника— радиус вписанной окружности.

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

Свойства описанной окружности около треугольника

На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка Свойства описанной окружности около треугольника— центр окружности, описанной около треугольника Свойства описанной окружности около треугольника, поэтому Свойства описанной окружности около треугольника.

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Свойства описанной окружности около треугольникасуществует точка Свойства описанной окружности около треугольника, равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка Свойства описанной окружности около треугольникабудет центром описанной окружности, а отрезки Свойства описанной окружности около треугольника, Свойства описанной окружности около треугольникаи Свойства описанной окружности около треугольника— ее радиусами.

Свойства описанной окружности около треугольника

На рисунке 299 изображен произвольный треугольник Свойства описанной окружности около треугольника. Проведем серединные перпендикуляры Свойства описанной окружности около треугольникаи Свойства описанной окружности около треугольникасторон Свойства описанной окружности около треугольникаи Свойства описанной окружности около треугольникасоответственно. Пусть точка Свойства описанной окружности около треугольника— точка пересечения этих прямых. Поскольку точка Свойства описанной окружности около треугольникапринадлежит серединному перпендикуляру Свойства описанной окружности около треугольника, то Свойства описанной окружности около треугольника. Так как точка Свойства описанной окружности около треугольникапринадлежит серединному перпендикуляру Свойства описанной окружности около треугольника, то Свойства описанной окружности около треугольника. Значит, Свойства описанной окружности около треугольникаСвойства описанной окружности около треугольника, т. е. точка Свойства описанной окружности около треугольникаравноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры Свойства описанной окружности около треугольникаи Свойства описанной окружности около треугольника(рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Свойства описанной окружности около треугольника

На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка Свойства описанной окружности около треугольника(рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника Свойства описанной окружности около треугольника, отрезки Свойства описанной окружности около треугольника, Свойства описанной окружности около треугольника, Свойства описанной окружности около треугольника— радиусы, проведенные в точки касания, Свойства описанной окружности около треугольника. Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Свойства описанной окружности около треугольникасуществует точка Свойства описанной окружности около треугольника, удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка Свойства описанной окружности около треугольникабудет центром окружности радиуса г, которая касается сторон Свойства описанной окружности около треугольника.

Свойства описанной окружности около треугольника

На рисунке 301 изображен произвольный треугольник Свойства описанной окружности около треугольника. Проведем биссектрисы углов Свойства описанной окружности около треугольникаи Свойства описанной окружности около треугольника, Свойства описанной окружности около треугольника— точка их пересечения. Так как точка Свойства описанной окружности около треугольникапринадлежит биссектрисе угла Свойства описанной окружности около треугольника, то она равноудалена от сторон Свойства описанной окружности около треугольникаи Свойства описанной окружности около треугольника(теорема 19.2). Аналогично, так как точка Свойства описанной окружности около треугольникапринадлежит биссектрисе угла Свойства описанной окружности около треугольника, то она равноудалена от сторон Свойства описанной окружности около треугольникаи Свойства описанной окружности около треугольника. Следовательно, точка Свойства описанной окружности около треугольникаравноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов Свойства описанной окружности около треугольникаи Свойства описанной окружности около треугольника(рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле Свойства описанной окружности около треугольника, где Свойства описанной окружности около треугольника— радиус вписанной окружности, Свойства описанной окружности около треугольникаи Свойства описанной окружности около треугольника— катеты, Свойства описанной окружности около треугольника— гипотенуза.

Свойства описанной окружности около треугольника

Решение:

В треугольнике Свойства описанной окружности около треугольника(рис. 302) Свойства описанной окружности около треугольника, Свойства описанной окружности около треугольника, Свойства описанной окружности около треугольника, Свойства описанной окружности около треугольника, точка Свойства описанной окружности около треугольника— центр вписанной окружности, Свойства описанной окружности около треугольника, Свойства описанной окружности около треугольникаи Свойства описанной окружности около треугольника— точки касания вписанной окружности со сторонами Свойства описанной окружности около треугольника, Свойства описанной окружности около треугольникаи Свойства описанной окружности около треугольникасоответственно.

Отрезок Свойства описанной окружности около треугольника— радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда Свойства описанной окружности около треугольника.

Так как точка Свойства описанной окружности около треугольника— центр вписанной окружности, то Свойства описанной окружности около треугольника— биссектриса угла Свойства описанной окружности около треугольникаи Свойства описанной окружности около треугольника. Тогда Свойства описанной окружности около треугольника— равнобедренный прямоугольный, Свойства описанной окружности около треугольника. Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

Свойства описанной окружности около треугольника

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположение точек и прямых
  • Сравнение и измерение отрезков и углов
  • Первый признак равенства треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📸 Видео

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Геометрия Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 смСкачать

Геометрия Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 см

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

🔴 Радиус окружности, описанной около треугольника ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 Радиус окружности, описанной около треугольника ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данирСкачать

РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данир

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности
Поделиться или сохранить к себе: