Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122°. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
Треугольник АВС равнобедренный, так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Следовательно, угол ВAC равен 0,5(180° − 122°) = 29°. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине заключенной между ними дуги, поэтому искомая дуга равна 2 · 29° = 58°.
Приведем другое решение.
Пусть искомая длина меньшей дуги АВ равна х, тогда длина большей дуги АВ равна 360° − х. Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен половине высекаемых ими дуг, откуда имеем: 0,5(360° − 2x) = 122°. Тогда x = 58°.
Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать
Касательная к окружности
О чем эта статья:
Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Видео:№641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными изСкачать
Свойства касательной к окружности
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
окружность с центральной точкой А;
прямая а — касательная к ней;
радиус АВ, проведенный к касательной.
Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.
Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.
∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).
Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)
Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Ответ: MO = 10 см.
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.
АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°
Видео:Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИСкачать
Касательная к окружности
В данной разработке рассмотрены различные случаи взаимного расположения прямой и окружности, введены определения касательной, отрезков касательных, приведены доказательства теорем о свойстве касательных, о свойстве отрезков касательных, проведенных из одной точки и признака касательной.
Просмотр содержимого документа «Касательная к окружности»
Геометрия, 8 класс
К учебнику Л.С.Атанасяна
Автор: Софронова Наталия Андреевна,
учитель математики высшей категории
МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»
Оршанского района Республики Марий Эл
прямой и окружности
Подумайте, какая прямая называется секущей?
Подумайте, какая прямая называется касательной?
Взаимное расположение прямой и окружности
d – расстояние от центра О окружности до прямой а
а — не пересекает окружность
Докажем эти три утверждения
Доказать: прямая а и окружность (О; R) имеют две общие точки
Отложим на прямой а от точки Н два отрезка НВ и НА:
Проведем отрезки ОА и ОВ
Вывод: Точки A и В лежат на окружности, то есть прямая и окружность имеют две общие точки
Доказать: прямая а и окружность (О; R) имеют две общие точки
Предположим, что прямая а и окружность имеют ещё однуобщуюточку С
ΔАОС – равнобедренный,АС лежит на прямой а,
ОК – медиана, значит ОК — высота
Получили, что к прямой а из точки О проведены два перпендикуляра – ОН и ОК, что невозможно.
Вывод: наше предположение неверно, значит прямая а и окружность имеют две общие точки.
ОН, то есть ОМ R, значит точка М не лежит на окружности. Вывод: Точка Н – единственная общая точка прямой а и окружности. А » width=»640″
Доказать: прямая а и окружность (О; R) имеют только одну общую точку
ОН = R, значит точка Н лежит на окружности
Возьмем на прямой а какую-нибудь точку М, проведем отрезок ОМ
значит точка М не лежит на окружности.
Вывод: Точка Н – единственная общая точка прямой а и окружности.
R, значит точка Н не лежит на окружности Возьмем на прямой а какую-нибудь точку М, проведем отрезок ОМ ОМ ОН R, значит точка М также не лежит на окружности Вывод: прямая а и окружность не имеют общих точек. А » width=»640″
Доказать: прямая а и окружность (О; R) не имеют общих точек
ОНR, значит точка Н не лежит на окружности
Возьмем на прямой а какую-нибудь точку М, проведем отрезок ОМ
ОМОНR, значит точка М также не лежит на окружности
Вывод: прямая а и окружность не имеют общих точек.
Касательная к окружности
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Свойство касательной к окружности
ТеоремаКасательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Тогда ОА – наклонная к прямой а .
Если провести к прямой а перпендикуляр ОН, то ОН
Это означает, что прямая а и окружность имеют две общие точки ( а — секущая).
Это противоречит условию теоремы, значит наше предположение неверно. Остается ОА ⏊ а
Признак касательной к окружности
Обратная теорема.Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикуляр-на к этому радиусу, то она является касательной
значит прямая а и окружность имеют одну общую точку.
Вывод: а — касательная
Определение . Отрезки АВ и АС называются отрезками касательных, проведенных из точки А, если прямые АВ и АС являются касательными к окружности, точки В и С – точками касания.
Свойство отрезков касательных
ТеоремаОтрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
ΔBAO = ΔCAO (Почему?)
Из равенства треугольников следует …
СА и СВ — касательные к окружности, точки А и В – точки касания, ∠АСВ = 760. Найдите величину угла АОВ.
АС и АВ — касательные к окружности, точки В и С – точки касания, АО = 10 см, ОВ = 5 см. Найдите величину углов ВАС и ВОС.
АС и АВ — касательные к окружности, точки В и С – точки касания, АО = 13 см, АВ = 12 см. Найдите радиус окружности.
ВА и ВС — касательные к окружности, точки А и С – точки касания, ОВ = 16 см, ОА ⏊ ОС. Найдите отрезки касательных к окружности.
💡 Видео
Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать
ОН, то есть ОМ R, значит точка М не лежит на окружности. Вывод: Точка Н – единственная общая точка прямой а и окружности. А » width=»640″
R, значит точка Н не лежит на окружности Возьмем на прямой а какую-нибудь точку М, проведем отрезок ОМ ОМ ОН R, значит точка М также не лежит на окружности Вывод: прямая а и окружность не имеют общих точек. А » width=»640″
