Сумма треугольников равна 180

Сумма углов треугольника

Сумма треугольников равна 180

Сумма углов треугольника — это сумма
всех внутренних углов треугольника.

Так, как углы измеряются в градусах, соответственно значение
суммы углов треугольника также измеряется в градусах.

Сумма углов треугольника есть величина постоянная,
неизменяемая, она равна 180 градусам, вне зависимости
от вида рассматриваемого треугольника.

Сумма треугольников равна 180

На рисунке 1 изображены равносторонний,
разносторонний и прямоугольный треугольники,
их суммы внутренних углов равны 180 градусам.

Также, существует теорема, которая доказывает
утверждение о том, что сумма углов треугольника
180 градусов, она называется теоремой
о сумме углов треугольника.

Теорема о сумме углов треугольника — это теорема в
геометрии о сумме углов произвольного треугольника на плоскости.

Видео:Сумма углов треугольника равна 180Скачать

Сумма углов треугольника равна 180

Сумма углов треугольника — определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Сумма углов треугольника:

Великий французский ученый XVII в. Блез Паскаль (1623—1662) еще в детстве любил изучать геометрические фигуры, открывать их свойства, измерять углы транспортиром.

Сумма треугольников равна 180

Юный исследователь заметил, что у любого треугольника сумма углов одна и та Ж6 180°. «Как же это объяснить?» — думал Паскаль. Тогда он отрезал у треугольника два уголка и приложил их к третьему (рис. 219). Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие! Дальнейшая судьба мальчика была предопределена.

Сумма треугольников равна 180

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: Сумма треугольников равна 180АВС (рис. 220).

Сумма треугольников равна 180

Доказать: Сумма треугольников равна 180A+Сумма треугольников равна 180B +Сумма треугольников равна 180C = 180°.

Доказательство:

Через вершину В треугольника ABC проведем прямую КМ, параллельную стороне АС. Тогда Сумма треугольников равна 180KBA =Сумма треугольников равна 180A как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей АВ, aСумма треугольников равна 180MBC =Сумма треугольников равна 180C как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей ВС. Так как углы КВА, ABC и МВС образуют развернутый угол, то

Сумма треугольников равна 180KBA +Сумма треугольников равна 180ABC +Сумма треугольников равна 180MBC = 180°. ОтсюдаСумма треугольников равна 180A +Сумма треугольников равна 180B +Сумма треугольников равна 180C = 180°. Теорема доказана.

Следствия.

1. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. (рис. 221).

Сумма треугольников равна 180

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (рис. 222).

Сумма треугольников равна 180

В прямоугольном треугольнике стороны, заключающие прямой угол, называются катетами, сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой (см. рис. 222).

Проведем в прямоугольном треугольнике ABC высоту СН к гипотенузе АВ (рис. 223). Так как в треугольнике ABC угол 1 дополняет угол В до 90°, а в треугольнике СНВ угол 2 также дополняет угол В до 90°, тоСумма треугольников равна 1801 =Сумма треугольников равна 1802.

Сумма треугольников равна 180

Доказано свойство: «Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и катетом равен углу между другим катетом и гипотенузой».

Пример:

В треугольнике ABC градусные меры углов А, В и С относятся соответственно как 5:7:3. Найти углы треугольника (рис. 224).

Сумма треугольников равна 180

Решение:

Пусть Сумма треугольников равна 180( Сумма треугольников равна 180— градусная мера одной части).

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

Сумма треугольников равна 180

Тогда Сумма треугольников равна 180

Сумма треугольников равна 180

Ответ: Сумма треугольников равна 180

Пример:

В треугольнике ABC (рис. 225) угол В равен 70°, АК и СМ — биссектрисы, О — точка их пересечения. Найти угол АОС между биссектрисами.

Сумма треугольников равна 180

Решение:

Сумма углов А и С треугольника ABC равна 180° — 70° = 110°. Так как биссектриса делит угол пополам, то

Сумма треугольников равна 180Сумма треугольников равна 180

Из треугольника АОС находим: Сумма треугольников равна 180

Замечание. Если Сумма треугольников равна 180то, рассуждая аналогично, получим формулу: Сумма треугольников равна 180Если, например, Сумма треугольников равна 180

Пример:

Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник — прямоугольный.

Доказательство:

Пусть СМ — медиана, Сумма треугольников равна 180(рис. 226).

Сумма треугольников равна 180

Докажем, чтоСумма треугольников равна 180ACB = 90°. Обозначим Сумма треугольников равна 180A = Сумма треугольников равна 180,Сумма треугольников равна 180В = Сумма треугольников равна 180. Так как медиана делит сторону пополам, то AM = MB = Сумма треугольников равна 180АВ. Тогда СМ=АМ=МВ. Так как Сумма треугольников равна 180АМС — равнобедренный, тоСумма треугольников равна 180A =Сумма треугольников равна 180ACM = Сумма треугольников равна 180как углы при основании равнобедренного треугольника. Аналогично, Сумма треугольников равна 180СМВ — равнобедренный и Сумма треугольников равна 180B =Сумма треугольников равна 180BCM = Сумма треугольников равна 180. Сумма углов треугольника ABC, с одной стороны, равна 2 Сумма треугольников равна 180+ 2Сумма треугольников равна 180, с другой — равна 180°. Отсюда 2 Сумма треугольников равна 180+ 2 Сумма треугольников равна 180= 180°, 2( Сумма треугольников равна 180+ Сумма треугольников равна 180) = 180°, Сумма треугольников равна 180+ Сумма треугольников равна 180= 90°. НоСумма треугольников равна 180ACB = Сумма треугольников равна 180+ Сумма треугольников равна 180, поэтому

Сумма треугольников равна 180ACB = 90°.

Замечание. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. На рисунке 227 это угол АСВ. Из задачи 3 следует свойство: «Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой».

Сумма треугольников равна 180

Пример:

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 228) Сумма треугольников равна 180C=90°,Сумма треугольников равна 180A=Сумма треугольников равна 180,Сумма треугольников равна 180B=Сумма треугольников равна 180.

Сумма треугольников равна 180

Проведем отрезок СМ так, чтоСумма треугольников равна 180ACM=Сумма треугольников равна 180, и докажем, что СМ — медиана и что СМ=Сумма треугольников равна 180АВ. Угол В дополняет угол А до 90°, aСумма треугольников равна 180BCM дополняетСумма треугольников равна 180ACM до 90°. Поскольку Сумма треугольников равна 180ACM =Сумма треугольников равна 180A = Сумма треугольников равна 180, тоСумма треугольников равна 180BCM =Сумма треугольников равна 180. Треугольники АМС и ВМС — равнобедренные по признаку равнобедренного треугольника. Тогда AM = МС и МВ = МС. Отсюда СМ — медиана и СМ = Сумма треугольников равна 180АВ.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Внешний угол треугольника
  • Свойство точек биссектрисы угла
  • Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
  • Четырехугольник и его элементы
  • Перпендикулярные прямые в геометрии
  • Признаки равенства треугольников
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников
  • Соотношения в прямоугольном треугольнике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Сумма углов треугольника

Сумма треугольника равна 180 градусов.

Это легко доказать. Нарисуйте треугольник. Через одну из его вершин проведите прямую, параллельную противоположной стороне, и найдите на рисунке равные углы. Сравните с решением в конце статьи.

Сумма треугольников равна 180

А мы разберем задачи ЕГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.

1. Один из внешних углов треугольника равен 85 градусов. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85 градусов, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х. Получим уравнение

2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98 градусов. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98 градусов?

Нет, конечно! Ведь сумма углов треугольника равна 180 градусов. Значит, один из углов треугольника равен , а два других равны .

3. На рисунке угол равен , угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Сумма треугольников равна 180

Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.

Сумма треугольников равна 180

Сначала найдем угол .

Угол , смежный с углом равен .

Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

4. Углы треугольника относятся как . Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

Пусть углы треугольника равны , и . Запишем, чему равна сумма углов этого треугольника.

Как же все-таки доказать, что сумма углов треугольника равна 180 градусов? Очень просто. На нашем рисунке угол равен углу (они накрест лежащие). Угол равен углу (тоже накрест лежащие). Развернутый угол равен . Значит, и сумма углов треугольника тоже равна 180 градусов.

📸 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)

Сумма углов треугольникаСкачать

Сумма углов треугольника

Сумма углов остроугольного треугольника равна 180°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Сумма углов остроугольного треугольника равна 180°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Сумма углов любого треугольника равна 180°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Сумма углов любого треугольника равна 180°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Почему сумма углов в треугольнике равна 180? #егэ #огэ #онлайншкола #онлайнобучение #математикаСкачать

Почему сумма углов в треугольнике равна 180? #егэ #огэ #онлайншкола #онлайнобучение #математика

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Сумма углов треугольника. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Сумма углов треугольника. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника. Геометрия 7 класс.

Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний УголСкачать

Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний Угол

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольникаСкачать

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника

Почему сумма углов в треугольнике равна 180°?Скачать

Почему сумма углов в треугольнике равна 180°?

Почему сумма углов треугольника 180? #parta #Базоваяматематика #shortsСкачать

Почему сумма углов треугольника 180? #parta #Базоваяматематика #shorts

Теорема о сумме углов треугольника | Геометрия 7-9 класс #31 | ИнфоурокСкачать

Теорема о сумме углов треугольника | Геометрия 7-9 класс #31 | Инфоурок

Почему сумма углов треугольника равна 180? #shortsСкачать

Почему сумма углов треугольника равна 180? #shorts

Сумма углов треугольникаСкачать

Сумма углов треугольника

Почему сумма углов в треугольнике равна 180 градусовСкачать

Почему сумма углов в треугольнике равна 180 градусов

Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусовСкачать

Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов

Почему сумма углов треугольника равна 180 #shortsСкачать

Почему сумма углов треугольника равна 180 #shorts
Поделиться или сохранить к себе: