Стержень движется по окружности

I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом;

II) проведены необходимые математические преобразования и расчёты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями);

III) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины

Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но допущена ошибка в ответе или в математических преобразованиях или вычислениях.

Видео:Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью | Физика 9 класс #18 | ИнфоурокСкачать

Движение стержня

Наверняка все помнят ту вереницу однотипных и скучных задач по механике, которые приходилось решать в школе, а некоторым и в вузе. Подавляющее большинство таких задач действительно скучны — в них требуется взять стандартные заученные формулы, подставить друг в друга, иногда добавить числа и получить ни о чём не говорящий ответ. Такие задачи даются просто для закрепления материала, и в них, как правило, даже не требуется, чтобы решающий представлял себе явление.

Тем не менее даже в простой механике есть и другие задачи — задачи, в которых требуется прежде всего думать. Они не обязательно сложные, и для их решения часто можно обойтись горсткой школьных формул. Однако для того, чтобы догадаться, что именно писать и куда смотреть в поисках ответа, механическую систему из этой задачи надо хорошенько «прочувствовать». В таких задачах иногда встречаются небольшие ловушки или кажущиеся парадоксы, по крайней мере с точки зрения «обыденной» интуиции, натренированной на решении простых типовых задач. И наконец, при решении таких задач встречаются даже неожиданные приемы, отдаленно напоминающие методы настоящей теоретической физики. Предлагаемая ниже задача, как мне кажется, как раз из этой серии.

Видео:Движение тел по окружностиСкачать

Задача

На концах тонкого, невесомого и абсолютно жесткого стержня длины L находятся две материальные точки массой m каждая. Первоначально стержень стоял, прислоненный к вертикальной стенке под некоторым углом, и опирался концом A на стенку и концом B на пол. Мы берем нижний конец стержня и тянем его вправо с небольшой, но постоянной скоростью v. Стержень начинает съезжать и через некоторое время падает на пол. Всё происходит в поле силы тяжести; трение стержня о стенку и пол отсутствует.
Вопрос: какова будет скорость точки A в момент удара об пол?

Видео:Физика - движение по окружностиСкачать

Подсказка 1

Кажется довольно естественным, что если скорость v мала, то стержень так и будет скользить, до самого конца опираясь на стенку. В этом случае связь между скоростями точек A и B находится без труда, и она приводит нас к следующем ответу: скорость точки A в момент удара об пол бесконечна.

Такой ответ, конечно, неудовлетворителен. Дело тут даже не в том, что «бесконечностей в природе не бывает» или «нельзя обогнать скорость света» — от этих возражений при желании можно отговориться. Проблема тут в том, что такой странный ответ возникает в ситуации, которая выглядит вполне реализуемой без каких-либо специальных ухищрений. Мы можем взять легкую палочку длиной 10 см и тянуть ее конец со скоростью 1 см/сек — но ответ нам говорит, что даже при таком скромном усилии мы сможем разогнать предмет до сколь угодно большой скорости! Очевидно (хотя бы на основании закона сохранения энергии), что тут что-то не так. Разнообразные уточнения про свойства палочки, про отсутствие трения и т. д. введены лишь для простоты расчетов и принципиальной картины не меняют.

Ответ «бесконечность» действительно неверен. И получился он не из-за арифметической ошибки в вычислениях, а из-за неоправданного предположения относительно движения стержня, которое было сделано в процессе вычислений. Для того чтобы прийти к правильному ответу, эту оплошность требуется найти и исправить.

Видео:стержень по стенке олимпСкачать

Подсказка 2

Оплошность, про которую шла речь выше, заключается в предположении, что палочка всегда, до самого конца, будет опираться на стенку. На самом деле при некотором небольшом угле палочка начнет отъезжать от стенки, так что свободный конец будет падать свободно, не успевая долетать до стенки. Задача в результате разделяется на два отдельных этапа. Вначале надо доказать, что действительно будет момент отрыва, и найти, при каком угле наклона это произойдет, а уж затем решить отдельно задачу о движущейся и падающей палочке, но уже без стенки.

Для начала давайте получим тот неправильный ответ, который приводит к бесконечности. Если палочка фиксированной длины касается и стенки, и пола, то расстояния x и y по теореме Пифагора связаны соотношением: x 2 + y 2 = L 2 . Пусть в какой-нибудь момент угол наклона составляет α. Тогда y/x = tg α.

Скорости скольжения v_A и v_B = v тоже связаны друг с другом из-за нерастяжимости палочки. Для того чтобы найти эту связь, можно перейти в систему отсчета точки B (см. рис. 2). В этой системе отсчета точка B неподвижна, а палочка прокручивается, опираясь на отъезжающую стенку. Скорость точки A в этой системе отсчета обязана быть направлена так, чтобы палочка не растягивалась и не сжималась. Из несложной тригонометрии получаем соотношение: v_A = v·ctg α. Если предположить, что касание со стенкой длится вплоть до самого падения (α = 0), то по этой формуле v_A в этот момент стремится к бесконечности.

Как понять, в какой именно момент палочка перестанет касаться стенки? Для этого надо перейти от кинематики к динамике — то есть надо «почувствовать» все силы, действующие на обе точки A и B, пока стержень касается и стенки, и пола. Подробный баланс сил для обеих точек с учетом того, что они движутся строго вдоль своих стенок, предлагается написать самостоятельно. Вам надо убедиться в том, что отрыв от стенки произойдет именно в тот момент, когда сила напряжения стержня станет равна нулю — то есть когда стержень из «сдавленного» состояния перейдет в «растягиваемое». После этого останется найти тот угол, при котором это происходит, и дальше уже переходить к этапу номер два.

Видео:Центростремительное ускорение. 9 класс.Скачать

Решение

Будем действовать пошагово. Шаг 1 (связь между скоростями точек A и B при двойном касании) уже сделан выше.

Шаг 2. Запишем все силы, действующие на точки A и B по горизонтали и по вертикали при двойном касании:

Здесь F_A и F_B — силы реакции опоры со стороны стенки и пола, которые строго перпендикулярны поверхности, T — сила напряжения стержня, которую мы считаем положительной, если стержень сжат, и отрицательной — если он растянут (поэтому мы и говорим «сила напряжения», а не «сила натяжения»). Напомним, что стержень абсолютно жесткий, поэтому действующие в нём силы — будь то сила сдавливания или сила растяжения — не меняют его длины, но влияют на баланс сил на его концах. Наконец, F_our — это та «наша» сила, которую мы прикладываем к нижней точке, чтобы она двигалась без ускорения, а лишь с постоянной скоростью v. Эта сила неизвестна, и более того, она переменная: в каждый момент времени она подстраивается так, чтобы скомпенсировать другую силу, действующую на точку B по горизонтали.

Заметим, что если сила напряжения может быть как положительной, так и отрицательной, то сила реакции опоры может быть только положительна. Отрицательная сила реакции опоры F_A означала бы, что стержень прилип к стенке, а мы тянем стержень на себя и пытаемся его отодрать. Такого в нашей задаче быть не может, поскольку по условию стержень просто прислонен к стене.

Глядя на эти формулы, легко понять, что происходит в момент, когда стержень перестает касаться стенки. До тех пор пока он на нее опирается, сила F_A положительна, и значит, сила напряжения T тоже положительна. Эта же сила напряжения толкает точку B вперед, значит наша внешняя сила F_our отрицательна, то есть направлена к стенке. Иными словами, для того чтобы конец стержня двигался с постоянной скоростью, мы должны не тянуть его, а подталкивать против движения, сопротивляясь скатывающей силе, передающейся по стержню.

Как только сила напряжения сменится на отрицательную, в точке касания со стенкой перестанет действовать сила реакции опоры: F_A = 0. Тогда никакая больше сила не сможет скомпенсировать горизонтальную проекцию силы T, и точка A в результате начнет двигаться в направлении от стенки. Поэтому именно T = 0 (а следовательно, и F_our = 0) и есть тот момент, когда произойдет отрыв.

Шаг 3. Теперь необходимо выяснить, при каком угле наклона это произойдет. Это можно сделать разными способами, но здесь я хочу продемонстрировать несколько необычный прием. Мы сейчас покажем, что наша задача с математической точки зрения полностью эквивалентна другой задаче, совсем непохожей на исходную. Эту задачу мы сможем решить без труда и тем самым получим ответ на интересующий нас вопрос.

Давайте обратим внимание на траекторию, которую описывает центр масс стержня при соскальзывании. Если стержень касается своими концами и стенки, и пола, то центр масс движется по дуге с радиусом R = L/2, показанной на рис. 4, слева. Если стержень касается только пола, то центр масс может находиться где угодно справа от дуги. Забраться «под дугу» центр масс не может никак. Поэтому исходная задача — соскальзывание стержня вдоль стенки, а затем отрыв от нее — с точки зрения движения центра масс выглядит так: центр масс без трения скользит по полукруглому холму и в какой-то момент срывается с него (см. рис. 4, справа).

Для того чтобы эта словесная аналогия стала полным математическим эквивалентом, перепишем потенциальную и кинетическую энергию стержня в исходной задаче

через массу центра масс (m_cm = 2m), горизонтальную (v_x = v_B/2) и вертикальную (v_y = v_A/2) скорости центра масс, а также его высоту:

Обратите внимание на лишнюю двойку в кинетической энергии; она возникла потому, что кроме движения центра масс стержень еще и вращается, и в нашем простом случае кинетическая энергия вращения равна кинетической энергии движения центра масс. Это означает, что задачу нельзя просто так сводить к движению центра масс. Однако если переписать эти энергии вот так

то все формулы становятся привычными. Таким образом, мы приходим к выводу: наша задача математически эквивалентна задаче о скольжении одной-единственной материальной точки с массой M = 4m по полукруглому холму радиуса R = L/2 в ослабленном поле тяжести с ускорением свободного падения a = g/2. Всё это происходит также под действием дополнительной горизонтальной силы (аналог F_our), которая обеспечивает постоянство горизонтальной скорости точки (v_x = v/2). Из геометрии видно, что тот угол α, при котором точка срывается с холма, как раз равен углу, при котором стержень отрывается от стенки в исходной задаче. Этот угол и требуется найти.

Эту задачу решить уже несложно. Для того чтобы тело массы M двигалось по окружности радиуса R со скоростью u, надо, чтобы центростремительная сила равнялась Mu 2 /R. Эта сила в нашем случае складывается из проекции силы тяжести Ma·sin α, а также силы реакции опоры и проекции силы F_our. В момент отрыва две последние силы исчезают, и это позволяет нам наконец-то записать условие на угол α:

Поскольку синус не бывает больше единицы, а v и L задаются в условии независимо, мы получаем два разветвления задачи: если скорость велика, отрыв произойдет сразу же, и дальше стержень будет падать свободно. Если же скорость достаточно мала (что и предполагалось в условии), то отрыв произойдет не сразу, а при угле α, задаваемом найденной формулой. Стоит также отметить, что ту же самую формулу можно было найти, рассматривая исходную задачу в системе отсчета точки B (рис. 2, справа) и записав центростремительное ускорение для точки A

Шаг 4. Осталось обсчитать свободное падение стержня с начального угла α. Проще всего это сделать, вновь перейдя в (инерциальную) систему отсчета, где точка B покоится (рис. 2, справа, но только без стенки). В этой системе отсчета сила F_our приложена к неподвижной точке, и поэтому она работы не совершает. Значит, в этой системе отсчета можно воспользоваться законом сохранения энергии:

Скорость u₁ — это (вертикальная) скорость точки A в этой системе отсчета в момент удара об пол. Возвращаясь обратно в исходную систему отсчета, получаем окончательный ответ:

Видео:Урок 43. Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности. Центростремительное ускорениеСкачать

Послесловие

Получив в самом начале бесконечность, мы удивились несоответствию этого ответа тем усилиям, которые нужно затратить для экспериментальной реализации такой ситуации. Потом мы, правда, поняли, что этот бесконечный ответ получается из-за предположения, что контакт со стенкой остается до самого конца — предположения, ошибочного для нашей задачи.

Но ведь мы можем рассмотреть и другую задачу, в которой верхний конец стержня действительно физически прикреплен к стенке так, что он может скользить вдоль нее, но не может оторваться. Такая ситуация кажется вполне реализуемой экспериментально. Так как же в этом случае понимать бесконечный ответ? Над этим вопросом я предлагаю читателям подумать самостоятельно.

В заключение я хочу отдельно поговорить про тот прием, который мы использовали в решении задачи на шаге 3. В физике часто бывает так, что совсем разные физические задачи описываются одинаково с точки зрения математики. В нашем примере это были две механические системы, визуально совершенно непохожие друг на друга: первая — это стержень, опирающийся на стенку и ровный пол, вторая — это точка, скользящая по круглому холму, да к тому же в условиях ослабленной гравитации. Однако мы установили между ними «математический мостик», и благодаря ему решение второй задачи автоматически дало решение первой.

Тут надо понимать, что этой второй механической системы в реальности не было. Нет смысла спрашивать: а где на самом деле находится эта странная точка с массой M = 4m и с чего это ускорение свободного падения уменьшилось вдвое? Это был как бы виртуальный мир, который мы построили сами и в котором исходная задача преломилась под новым углом зрения.

В нашем случае это, конечно, делать было не обязательно, поскольку исходная задача достаточно проста. Но в других разделах физики для решения намного более трудных задач такой метод иногда оказывается очень сильным. Про один из самых недавних примеров такого «математического мостика» между совершенно разными разделами физики см. в новости Идеи теории суперструн находят применение в физике конденсированного вещества.

Видео:Урок 89. Движение по окружности (ч.1)Скачать

Приемы решения задач с использованием кинематических связей

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА КЕРЧИ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ «ШКОЛА-ГИМНАЗИЯ №1»

Приемы решения задач с использованием кинематических связей

Подборка задач с примерами решений

Приемы решения задач с использованием кинематических связей

Кинематическими связями называют определенные ограничения свободы передвижения тела или системы тел.

Рассматривая задачи, где такие связи есть, будем придерживаться следующих идей:

Известно из определения, что у твердого тела расстояние между любыми двумя его точками сохраняется в случае движения этого тела (жесткий стержень, натянутая нить А это значит, что с какой скоростью первая точка при движении тела удаляется от второй, с такой же скоростью вторая точка приближается к первой. Следовательно, проекции этих скоростей на линию, соединяющую данные точки, должны быть одинаковыми. Иначе твердое тело деформировалось бы.

Пусть таким твердым телом будет жесткий стержень или натянутая нить. Тогда

использование мгновенного центра вращения.

Что подразумевает переход в такую систему отсчета, в которой есть неподвижная в данный момент времени точка, относительно которой все остальные точки твердого тела движутся. Тогда проектируя скорость точки С и точки В на прямую СВ получаем уравнение вида:

то есть при движении твердого тела скорости всех его точек направлены перпендикулярно прямым, которые соединяют точки с мгновенным центром вращения. Фактически тело проворачивается возле мгновенного центра.

Местоположение мгновенного центра вращения можно находить двумя способами:

если известны скорости двух точек твердого тела и эти скорости не параллельны, то мгновенный центр вращения лежит на пересечении перпендикуляров, проведенным к этим скоростям. Точка С — неподвижна, она является центром вращения, ВС и АС – радиусы окружностей, по которым

вращаются соответственно точки А и В. Скорости х1 и х2 перпендикулярны радиусам.

Так как тело проворачивается возле мгновенного центра, то это означает, что у всех его точек одинаковая угловая скорость. А так как линейная скорость связана с угловой соотношением

то следует пропорция: во сколько раз больше расстояние между данной точкой и мгновенным центром, во столько раз больше ее линейная скорость. Поэтому в случае параллельных скоростей мгновенный центр вращения можно находить через пропорцию скоростей и расстояний.

Если одно тело катится по поверхности другого без проскальзывания, то в точках их соприкосновения и них одинаковая линейная скорость и по величине и по направлению.

Если при движении одного тела по поверхности другого есть проскальзывание, то проекции скоростей соприкасающихся точек на перпендикуляр, восстановленный к этим двум поверхностям, должны быть одинаковы: по оси Y тела должны двигаться только совместно, иначе будет наблюдаться отрыв одного тела от другого.

Стержень длиной L шарнирно соединён с муфтами А и В, которые перемещаются по двум взаимно перпендикулярным рейкам. Муфта А движется с постоянной скоростью х1. Найдите зависимость скорости муфты В от угла б.

Использование первой идеи для решения данной задачи: проекции скоростей точек А и В на линию АВ должны быть одинаковыми.

Понятно, что точка В скользит вниз, в то время как точка А движется в горизонтальном направлении. Обозначенные на чертеже углы равны как углы, образованные взаимно перпендикулярными сторонами.

Применение второй идеи для решения данной задачи: использование мгновенного центра вращения.

Представим, что палочка – это элемент, видимая линия, проведенная на большом твердом прозрачном теле. Так как известны скорости двух точек твердого тела, точек А и В, и эти скорости не параллельны, то мгновенный центр вращения лежит на пересечении перпендикуляров, проведенным к этим скоростям. Точка С — мгновенный центр вращения, вокруг которой точка А вращается по окружности радиуса СА, а точка

В вращается по окружности, радиусом ВС. Угловые скорости этих точек равны. Поэтому можно записать:

Еще один способ решения данной задачи: переход в другую систему отсчета.

Перейдем в систему отсчета, которая движется вправо со скоростью V0. (Для перехода от скорости каждой точки надо отнять скорость V0)

Тогда точка А неподвижна, а стенка, и вместе с ней точка В, движется влево со скоростью V0. А так как длина палочки ℓ постоянна, то точка В движется по окружности с линейной скоростью u, которая перпендикулярна радиусу окружности ℓ. Из треугольника скоростей следует:

Палочка АВ длины ℓ движется в плоскости чертежа так, что в данный момент времени скорость её конца А направлена под углом б, а скорость конца В — под углом в к палочке. Величина скорости конца А равна х. Определить величину скорости u конца В. Начертить распределение скоростей вдоль палочки.

На основании первой идеи можно утверждать, что проекции скоростей точек А и В на линию АВ одинаковы. А значит, можно записать:

Скорость точки А и точки В можно разложить на составляющие вдоль палочки и перпендикулярно ей. Тогда движение палочки можно представить как два движения: каждая точка палочки движется поступательно со скоростью u∙Cos в и палочка совершает вращательное движение вокруг точки С. Скорости, перпендикулярные палочке –это линейные скорости. Их величина уменьшается при приближении к точке С. И у точки С только скорость поступательного движения.

Второй способ решения состоит в том, что движение полочки можно рассмотреть только как вращательное движение возле мгновенного центра вращения. Для нахождения мгновенного центра вращения точки С проведем перпендикуляры в точку А к скорости u и в точку В к скорости х. Все точки палочки имеют одинаковую угловую скорость, но линейные скорости у них разные. Чем меньше радиус окружности, по которым они двигаются возле точки С, тем меньше их линейная скорость. То есть для любой точке выполняется х

Лодку подтягивают к крутому берегу высотой h = 3 м с помощью верёвки, выбирая её со скоростью 60 см/с. С какой скоростью двигалась лодка в тот момент, когда верёвка составляла с горизонтом угол 600? Найти также ускорение лодки в этот момент.

На основании первой идеи проекции скорости х и скорости х0 на нерастяжимую веревку должны быть одинаковыми.

Рабочие поднимают груз с помощью двух канатов, за концы которых они тянут с одинаковыми скоростями х. Какую скорость u имеет груз в тот момент, когда угол между канатами, к которым он прикреплён, равен 2б

На основании первой идеи можно утверждать, что проекции скоростей точек А и В на линию АВ одинаковы. Но точка В движется со скоростью х, так как с этой скоростью движется конец каната. Значит, и точка А движется с этой же скоростью. Аналогично для второго каната: точка А движется вдоль него со скоростью х.

Казалось бы, что результирующую скорость точки А можно найти, складывая два вектора х по правилу параллелограмма…

Но этого делать нельзя! Так как в этом случае, если бы б был равен нулю (б=0), тот канаты были бы параллельны, и груз бы двигался со скоростью 2х. А последнее, при наличии неподвижных блоков, невозможно.

Скорость U такова, что скорости х являются ее проекциями на канаты. С учетом этого, можно записать:

Тяжёлый ящик перемещают с помощью двух тракторов, движущихся со скоростями х1 и х2, составляющими угол б. Как направлена и чему равна скорость ящика в тот момент, когда канаты параллельны векторам х1 и х2?

Понятно, что точка А имеет скорость х1 вдоль первого каната и скорость х2 направленную вдоль второго каната. Но, так же, как и в предыдущей задаче, находить результирующую скорость ящика, складывая выше упомянутые скорости по правилу параллелограмма нельзя. В этом случае, если угол б=0, то ящик должен двигаться со скоростью х1+ х1, а это противоречить здравому смыслу.

Следовательно, у результирующей скорости проекции на канаты должны быть равны х1и х2. Проводим перпендикуляры из концов этих векторов и в их пересечение утыкается конец результирующей скорости х, с которой движется ящик. Теперь, зная х1 и х, а так же угол между ними надо найти скорость х. Это геометрическая задача

Точки А, D, С и В лежат на одной окружности и в этой окружности результирующая скорость х – диаметр. Эта окружность описана возле треугольника АВD, в котором известны две стороны х1 и х2, и угол между ними. Тогда по теореме косинусов можно определить сторону ВD:

Известно, что диаметр описанной окружности равен:

Колечки О и О’ надеты на вертикально закреплённые стержни АВ и А’В’. Нерастяжимая нить привязана к кольцу О, пропущена через кольцо О’ и закреплена в точке А’. В тот момент, когда угол AOO’ = б, кольцо О’ движется вниз со скоростью х. Найти скорость u0 кольца О в этот момент.

Так как в колечке О’ нитка преломляется, то использовать первую идею о том, что проекции скорости точки О’ и скорости точки О (проекции скоростей х и u) на нить О’О равны, нельзя.

Используем следующий способ решения: переход в другую систему отсчета.

Перейдем в СО, которая движется со скоростью х вниз ( то есть, от каждой скорости вычитаем скорость х). В такой системе отсчета колечко О’ останавливается, оно неподвижно, а со скоростью х в точке А’ вытягиваем веревку. Тогда веревка в точке О так же движется со скоростью х.

Теперь надо перейти в СО, связанную с землей (надо ко всем скоростям теперь прибавить скорость х, направленную вниз)

Один конец шарнирной конструкции из двух одинаковых звеньев длины 2ℓ закреплён, а дру­гой движется с постоянной скоростью х по прямой, расстояние до которой от неподвижного конца конструкции равно 3ℓ. Найдите ускорение шарнира в тот момент, когда: 1) левое звено горизонтально, 2) скорость шарнира равна нулю.

1). Так как левый конец звена конструкции закреплен в точке О, то шарнир А будет двигаться по окружности радиуса R=2ℓ и в любой момент времени вектор его скорости будет перпендикулярен ОА. В интересующий нас момент времени, когда левое звено ОА горизонтально, скорость шарнира А направлена вверх. И конец правого звена, точка 2, также имеет вертикально направленную скорость х0

На основании первой идеи, из-за не растяжимости правого звена, можно утверждать, что проекции скоростей х и х0 на правое звено (то есть вдоль оси у), равны.

Но это равенство скоростей имеет место только для данного момента времени.

Центростремительное ускорение шарнира А может быть определено по формуле:

И направлено это ускорение вдоль левого звена, то есть по оси х. Но так как скорость шарнира А меняется по величине, а не только по направлению, есть и тангенциальное (касательное) ускорение. Согласно условию, надо найти полное ускорение шарнира А.

Используем переход в другую систему отсчета, которая движется вверх со скоростью х вместе с правым концом правого звена (от каждой скорости надо вычитать х, направленную вверх). Тогда, в этой системе отсчета, точка О движется вниз со скоростью х, а шарнир А неподвижен. Поэтому вектор его ускорения может быть лишь перпендикулярен правому звену.

Вектор полного ускорения шарнира будет точно таким же и в неподвижной системе отсчета. Проекция вектора полного ускорения шарнира на направление левого звена (на ось х) представляет собой центростремительное ускорение, и равна:

Значит, вектор полного ускорения шарнира в момент времени, когда левое звено горизонтально, будет равен:

2). В момент времени, когда скорость шарнира А равна нулю, правое звено будет горизонтально. А вектор ускорения шарнира будет перпендикулярен неподвижному левому звену (рис. б).

Составляющая ускорения шарнира на правое звено будет равна

Два стержня длины L соединены шарнирно. Свободный конец одного из стержней шарнирно прикреплён к стене, а свободный конец другого стержня двигают перпендикулярно стене с постоянной по величине скоростью х0. Найти величину и направление вектора ускорения шарнира, соединяющего стержни, в момент, когда угол между стержнями равен 2а.

У левой палочки ее правый конец движется со скоростью х, которая перпендикулярно этой палочке. У правой палочки по условию скорость х0 направлена горизонтально.

На основании первой идеи, из-за не растяжимости стороны АВ, можно утверждать, что проекции скоростей х и х0 на АВ равны.

Тогда

Определяем проекции ускорения на координатные оси. На ось х:

Чтобы найти проекцию ускорения на вторую ось, перейдем в СО, которая движется вправо со скоростью х0.Тогда точка В неподвижна, а стенка движется влево со скоростью х0. И для точки А составляем треугольник скоростей. И в этой системе вектор ускорения шарнира будет перпендикулярен неподвижному левому звену

На неподвижном клине, образующем угол б с горизонтом, лежит груз, прикреплённый к стене перекинутой через закреплённый на клине блок нерастяжимой нитью. В некоторый момент времени клин начинает двигаться вправо с постоянной скоростью х. С какой скоростью движется груз, пока он находится на клине?

Предположим, что клин движется вправо со скоростью х. При этом надо понимать, что расстояние между точками А и В все время меняется, несмотря на то, что веревка нерастяжима. Меняется потому, что есть перегиб на блоке. Перейдем в систему отсчета, которая движется вправо со скоростью х. В этой системе клин неподвижен, а стенка уходит вправо со скоростью х. Тогда очевидно, что по неподвижному клину груз может двигаться только вдоль наклонной плоскости, то есть вдоль веревки со скоростью х. Скорость груза относительно земли, согласно классическому закону сложения скоростей равна:

В этом треугольнике скоростей ( см. рис.)

Определим результирующую скорость по теореме косинусов:

Нитку тянут со скоростью х0. Найдите угловую скорость катушки и скорость её центра. Катушка по столу и нитка по катушке не проскальзывают. Внут­ренний радиус катушки r, внешний — R.

На основании второй идеи, используя понятие мгновенного центра вращения, можно утверждать, что результирующая скорость точки А равно 0, то есть точка А — это мгновенный центр вращения. Следовательно, все остальные точки катушки проворачиваются возле точки А с одинаковой угловой скоростью, но линейная скорость у них разная, так как разный радиус вращения. Угловая скорость точки С равна:

Угловая скорость точки O равна:

Точка А, лежащая на пересечении рельса с внеш­ним ободом колеса поезда, движется в данный момент вре­мени со скоростью и =5,0 м/с (см. рис). Определить, с ка­кой скоростью и в каком направлении движется поезд, если r = 50 см, R = 56 см.

Скорость реборды u, заданная по условию, является результирующей скоростью двух скоростей: скорости поступательного движения хпоступ и линейной скорости хкасат вращательного движения вокруг точки О. Так как точка А лежит на ободе реборды, эти две скорости численно равны.

Используя вторую идею, можно считать точку С мгновенным центром вращения. Тогда скорость u будет линейной скорость точки А, вращающейся вокруг тоски С, а скорость поступательного движения так же будет линейной скоростью для точки О вращающейся вокруг точки С. И у точки А, и у точки О в этом случае будет одна и та же угловая скорость.

Следовательно, можно записать:

Кривошип ОА, вращаясь с угловой скоростью щ, приводит в движение колесо радиуса r, катящееся по неподвижному колесу радиуса R = 3r. Найдите скорость точки В.

Точка С принадлежит всем трем телам: колесу радиусом R, колесу радиусом r, и кривошипу ОА. И скорость точки А такая же, как у кривошипа, вращающегося относительно точки О с угловой скоростью щ. То есть его точка А движется с линейной скоростью, равной:

На основании второй идеи, можно считать точку С мгновенным центром вращения для колеса радиусом r. Тогда точки А и В проворачиваются относительно точки С с одинаковой угловой скоростью:

Тяжёлый диск радиуса R скатывается на двух не растяжимых нитях, намотанных на него. Свободные концы нитей закреплены. Нити при движении диска постоянно натянуты. В некоторый момент угловая скорость диска равна щ, а угол между нитями б. Какова в этот момент скорость центра диска?

Нить касается диска в точке А. Тогда, согласно третьей идеи, если одно тело катится по поверхности другого без проскальзывания, то в точках их соприкосновения и них одинаковая линейная скорость и по величине и по направлению. Величина этой скорости

Нить АА1 натянута, это значит, на основании первой идеи, что проекции скоростей точек А и А1 на нить должны быть равными. Но точка А1 неподвижна и нет у нее проекции на нить, значит не должно быть проекции и скорости в точке А. А это возможно только в том случае, если хА перпендикулярна нити.

Аналогично и для второй нити, то есть хВ перпендикулярно нити ВВ1

Значит, скорости хА и хВ направлены по радиусу диска. И после этого про нити можно забыть есть диск, две точки на нем А и В, и скорости в этих точках имеют радиальные направления.

Согласно второй идее о мгновенном центре вращения, если скорости двух точек твердого тела и эти скорости не параллельны, а образуют некоторый угол б, то мгновенный центр вращения лежит на пересечении перпендикуляров, проведенным к этим скоростям. Точка С — неподвижна, она является центром вращения, ВС и АС – радиусы окружностей, по которым вращаются соответственно точки А и В. Скорости хА и хВ перпендикулярны радиусам. В четырехугольнике угол ОАВ равен углу между нитями б как углы, образованные взаимно перпендикулярными сторонами. В этот момент скорость центра диска, то есть скорость точки О равна:

Цилиндр с намотанной на него нитью, второй конец которой закреплён, находится на горизонтальной подставке, движущейся поступательно с постоянной горизонтальной скоростью V. Найти скорость оси цилиндра в зависимости от угла б, образуемого нитью с вертикалью. Относительно подставки цилиндр не проскальзывает.

Точка С – точка соприкосновения цилиндра с подставкой. Третья идея заключается в том, что если одно тело катится по поверхности другого без проскальзывания, то в точках их соприкосновения и них одинаковая линейная скорость и по величине, и по направлению. Раз подставка движется со скоростью V. то и у точки С такая же скорость. И про доску можно забыть. То есть рассматриваем цилиндр с намотанной на него нитью. Нить касается цилиндра в точке А. В этой точке, так же как в точке С качение без проскальзывания, а это снова означает, что скорость этой точки нити равно скорости

этой точки диска. Нить не растяжима, на основании первой идеи, проекции скоростей точек А и В на нить должны быть равными. Но точка В неподвижна и нет у нее проекции на нить, значит не должно быть проекции и скорости в точке А. Это возможно только в том случае, если хА перпендикулярна нити.

Определим положение мгновенного центра вращения: он лежит на пересечении перпендикуляров ОС и ОА, проведенным к скоростям хА и хС. Мгновенным центром вращения является точка О. Ось цилиндра описывает вокруг мгновенного центра вращения окружность радиусом R1

У оси цилиндра и точки С одинаковые угловые скорости щ относительно мгновенного центра вращения.

Но точка С описывает вокруг точки О окружность радиусом (R1 +R)

Задачи для самостоятельного решения

Концы А и В стержня АВ скользят по сторонам прямого угла. Как зависит от угла б скорость х и ускорение а середины стержня, если конец В движется с постоянной скоростью. Длина стержня равна L. Нерастяжимая нить длины L соединяет две бусинки А и В. Бусинку В передвигают с посто­янной скоростью х0 по прямой спице МО. В результате этого бусинка А движется по спице CD, изогнутой в виде дуги окружности радиуса Найти ускорение бусинки А в тот момент, когда бусинка В будет на расстоянии L от точки О. Два стержня длины L соединены шарнирно. Свободный конец одного из стержней шарнирно закреплён на вертикальной стене, а свободный конец другого стержня двигают с постоянной по величине вертикальной скоростью х0. Найти величину и направление вектора ускорения шарнира, соединяющего стержни, в момент, когда их концы окажутся на одной горизонтали, если угол между стержнями в этом момент равен 2б.

Два жёстких стержня длины ℓ каждый шарнирно скреплены в точке А. жёстко закреплён в точке В, а точка С стержня АС может скользить по направляющей ВС. Стержень ВА начинают вращать в плоскости рисунка вокруг точки В с постоянной угловой скоростью щ. Чему будут равны максимальная скорость и ускорение точки С, если в начальный момент стержни вытянуты вдоль направляющей ВС (

💥 Видео

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. 9 класс.Скачать

Движение материальной точки по окружности | Физика ЕГЭ, ЦТСкачать

Физика 9 класс. Движение по окружностиСкачать

Физика | Равномерное движение по окружностиСкачать

Урок 47. Неравномерное движение по окружности. Тангенциальное ускорениеСкачать

Кольцо на стержне ● 2Скачать

Формулы механики 2, движение по окружности, центростремительное ускорениеСкачать

Вращательное движение. 10 класс.Скачать

Движение по окружности. Нормальное и тангенциальное ускорение | 50 уроков физики (4/50)Скачать

Некоторая планета массы М движется по окружности вокруг Солнца Иродов 1.215 (2016)Скачать

Равномерное движение точки по окружности | Физика 10 класс #7 | ИнфоурокСкачать

Ускорение при равномерном движении по окружностиСкачать

КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ - Угловое Перемещение, Угловая Скорость, Центростремительное УскорениеСкачать