Средне пропорциональное в окружности

Математика

Теорема 111. 1) Перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь точки окружности на диаметр, среднепропорционален между частями диаметра. Этот перпендикуляр называется иногда ординатой.

2) Хорда, соединяющая конец диаметра с точкой окружности, среднепропорциональна между диаметром и отрезком, прилежащем хорде.

Дано. Опустим из какой-нибудь точки C окружности перпендикуляр CD на диаметр AB (черт. 169).

Требуется доказать, что 1) AD/CD = CD/DB, а также 2) AD/AC = AC/AB.

Средне пропорциональное в окружности

Доказательство. Соединим точку C с концами диаметра AB, тогда при точке C образуется прямой угол ACB, в котором отрезок CD есть перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу.

На основании теоремы 100 имеет место пропорция:

на основании теоремы 101 пропорция:

AD/AC = AC/AB, DB/CB = CB/AB (1)

Следствие. Квадраты хорд относятся как соответствующие отрезки диаметра.

Доказательство. Из пропорции (1) следуют равенства:

AC 2 = AB · AD, CB 2 = AB · BD

откуда по разделении находим:

AC 2 /CB 2 = AD/DB.

Теорема 112. Части пересекающихся хорд обратно пропорциональны между собой.

Даны две пересекающиеся хорды AB и CD (черт. 170).

Требуется доказать, что

т. е. большая часть первой хорды относится к большей части второй как меньшая часть второй хорды к меньшей части первой.

Средне пропорциональное в окружности

Доказательство. Соединим точку A с C и B с D, тогда образуются два подобных треугольника ACE и DBE, ибо углы при точке E равны как вертикальные, ∠CAB = ∠CDB как опирающиеся на концы дуги CB, ∠ACD = ∠ABD как опирающиеся на концы дуги AD.

Из подобия треугольников ACE и DBE вытекает пропорция:

Из пропорции (a) вытекает равенство:

показывающее, что произведение отрезков одной равно произведению отрезков другой хорды.

Теорема 113. Две секущие, проведенные из одной и той же точки вне окружности, обратно пропорциональны внешним своим частям.

Даны две секущие AB и AC, проведенные из точки A (черт 171).

Требуется доказать, что

т. е. первая секущая относится ко второй, как внешняя часть второй относится к внешней части первой секущей.

Средне пропорциональное в окружности

Доказательство. Соединим точки D с C, а B с E.

Два треугольника ∠ABE и ∠ADC подобны, ибо угол A общий, B = C как опирающиеся на концы одной и той же дуги DE, следовательно и ∠ADC = ∠AEB.

Из подобия треугольников ADC и ABE вытекает пропорция:

Из этой же пропорции вытекает равенство

показывающее, что произведение секущей на ее внешний отрезок равно произведению другой секущей на ее отрезок (если секущие выходят из одной точки).

Теорема 114. Касательная среднепропорциональна между целой секущей и внешней ее частью.

Дана касательная AB и секущая BC (черт. 172).

Требуется доказать, что

Средне пропорциональное в окружности

Доказательство. Соединим точку A с точками C и D.

Треугольники ABC и ABD подобны, ибо угол B общий, ∠BAD = ∠ACD, следовательно, ∠CAB = ∠ADB.

Из подобия этих треугольников вытекает пропорция:

Из этой пропорции вытекает равенство:

показывающее, что квадрат касательной равен произведению секущей на внешнюю ее часть.

Видео:Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.Скачать

Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.

Свойство сторон вписанного четырехугольника

Теорема 115. Во всяком четырехугольнике, вписанном в круг, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.

Это предположение, известное под именем теоремы Птоломея, встречается в первый раз в сочинении Птоломея «Альагест» во II веке по Р. Х.

Дан вписанный четырехугольник ABCD (черт. 173) и проведены диагонали AC и BD.

Требуется доказать, что AC · BD = AB · CD + BC · AD.

Средне пропорциональное в окружности

Доказательство. Проведем прямую BE так, чтобы угол EBC равнялся углу ABD. Два треугольника ABD и BEC подобны, ибо ∠ABD = ∠CBE по построению, ∠ADB = ∠BCE как опирающиеся на одну и ту же дугу AB, следовательно,

Из подобия этих треугольников вытекает пропорция:

Треугольники ABE и BCD подобны, ибо ∠ABE = ∠DBC по построению, ∠BAE = ∠BDC как опирающиеся на дугу BC, следовательно,

Из подобия этих треугольников вытекает пропорция:

Из пропорций (a) и (b) вытекают равенства:

BC · AD = BD · EC
AB · CD = BD · AE

Сложив эти равенства, имеем:

BC · AD + AB · CD = BD · EC + BD · AE = BD (EC + AE)

Так как EC + AE = AC, то

BD · AC = BC · AD + AB · CD (ЧТД).

Теорема 116. Во всяком вписанном четырехугольнике диагонали относятся как суммы произведений сторон, опирающихся на концы диагоналей.

Дан вписанный четырехугольник ABCD (черт. 174) и проведены диагонали AC и BD.

Требуется доказать, что

BD/AC = (AD · DC + AB · BC) / (BC · CD + AD · AB)

Средне пропорциональное в окружности

Доказательство. а) От точки B отложим дугу BE равную DC и соединим точку E с точками A, B, D.

Для вписанного четырехугольника ABED имеет место равенство:

AE · BD = AD · BE + AB · DE.

Так как BE = CD по построению, DE = BC, ибо ◡DE = ◡DC + ◡CE и ◡BC = ◡BE + ◡CE.

Заменив BE и DE их величинами, имеем равенство:

AE · BD = AD · CD + AB · BC (a)

b) Отложив от точки A дугу AF равную дуге BC и соединив точку F с точками A, D, C, имеем для четырехугольника AFCD равенство:

AC · DF = AF · CD + AD · CF

В этом равенстве AF = BC по построению, CF = AB (ибо ◡CF = ◡BC + ◡BF и ◡AB = ◡AF + ◡BF = ◡BC + ◡BF)

Заменяя величины AF и CF их величинами, найдем равенство:

AC · DF = BC · CD + AD · AB (b)

В равенствах (a) и (b) отрезки AE и DF равны, ибо

◡ADE = AD + DE = ◡AD + ◡BC = ◡AD + ◡AF = ◡DAF

Разделяя равенства (a) и (b), находим:

BC/AD = (AD · C D + AB · BC) / (BC · CD + AD · AB) (ЧТД).

Видео:Среднее пропорциональное!? А что это!?Скачать

Среднее пропорциональное!? А что это!?

Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков

Видео:8 класс, 26 урок, Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСкачать

8 класс, 26 урок, Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Ваш ответ

Видео:Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Видеоурок 14. Геометрия 8 классСкачать

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Видеоурок 14. Геометрия 8 класс

решение вопроса

Видео:Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольникеСкачать

Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,812
  • разное 16,824

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Средне пропорциональное в окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Средне пропорциональное в окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Средне пропорциональное в окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Средне пропорциональное в окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Средне пропорциональное в окружностиТеорема о бабочке

Средне пропорциональное в окружности

Видео:пропорциональные отрезки в ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ 8 классСкачать

пропорциональные отрезки в ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ 8 класс

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьСредне пропорциональное в окружности
КругСредне пропорциональное в окружности
РадиусСредне пропорциональное в окружности
ХордаСредне пропорциональное в окружности
ДиаметрСредне пропорциональное в окружности
КасательнаяСредне пропорциональное в окружности
СекущаяСредне пропорциональное в окружности
Окружность
Средне пропорциональное в окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругСредне пропорциональное в окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусСредне пропорциональное в окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаСредне пропорциональное в окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрСредне пропорциональное в окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяСредне пропорциональное в окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяСредне пропорциональное в окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеСредне пропорциональное в окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыСредне пропорциональное в окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныСредне пропорциональное в окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиСредне пропорциональное в окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыСредне пропорциональное в окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Средне пропорциональное в окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыСредне пропорциональное в окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыСредне пропорциональное в окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиСредне пропорциональное в окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныСредне пропорциональное в окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиСредне пропорциональное в окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыСредне пропорциональное в окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Тема 6. Среднее пропорциональное (среднее геометрическое) в прямоугольном треугольникеСкачать

Тема 6. Среднее пропорциональное (среднее геометрическое) в прямоугольном треугольнике

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Средне пропорциональное в окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыСредне пропорциональное в окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиСредне пропорциональное в окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиСредне пропорциональное в окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаСредне пропорциональное в окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Средне пропорциональное в окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

Пересекающиеся хорды
Средне пропорциональное в окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Средне пропорциональное в окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Средне пропорциональное в окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Средне пропорциональное в окружности
Пересекающиеся хорды
Средне пропорциональное в окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Средне пропорциональное в окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

Тогда справедливо равенство

Средне пропорциональное в окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Средне пропорциональное в окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Средне пропорциональное в окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Средне пропорциональное в окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Средне пропорциональное в окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Средне пропорциональное в окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 1 часть. 9 класс.Скачать

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 1 часть. 9 класс.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

Средне пропорциональное в окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Средне пропорциональное в окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

📺 Видео

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

8 класс, 19 урок, Пропорциональные отрезкиСкачать

8 класс, 19 урок, Пропорциональные отрезки

Пропорциональные отрезкиСкачать

Пропорциональные отрезки

Геометрия 8 класс (Урок№19 - Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№19 - Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.)

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрияСкачать

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрия

Пропорциональные отрезки в прям. треугольнике ✧ Запомнить за 1 мин!Скачать

Пропорциональные отрезки в прям. треугольнике ✧ Запомнить за 1 мин!

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСкачать

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСкачать

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Поделиться или сохранить к себе: