Соотношение высот в треугольнике

Высота треугольника. Задача Фаньяно
Соотношение высот в треугольникеВысота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника
Соотношение высот в треугольникеРасположение высот у треугольников различных типов
Соотношение высот в треугольникеОртоцентр треугольника
Соотношение высот в треугольникеРасположение ортоцентров у треугольников различных типов
Соотношение высот в треугольникеОртоцентрический треугольник
Соотношение высот в треугольникеЗадача Фаньяно

Видео:Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике

Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника

Определение 1 . Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).

Соотношение высот в треугольнике

На рисунке 1 изображена высота BD , проведённая из вершины B треугольника ABC . Точка D – основание высоты.

Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.

Утверждение . Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).

Соотношение высот в треугольнике

Доказательство . Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD , что и требовалось доказать.

Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Расположение высот у треугольников различных типов

ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникСоотношение высот в треугольникеВсе высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Соотношение высот в треугольнике
Соотношение высот в треугольнике
Прямоугольный треугольникСоотношение высот в треугольникеВысоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Соотношение высот в треугольнике
Соотношение высот в треугольнике
Тупоугольный треугольникСоотношение высот в треугольникеВысоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника
Соотношение высот в треугольнике
Соотношение высот в треугольнике
Остроугольный треугольник
Соотношение высот в треугольникеСоотношение высот в треугольникеСоотношение высот в треугольнике
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник
Соотношение высот в треугольникеСоотношение высот в треугольникеСоотношение высот в треугольнике
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Тупоугольный треугольник
Соотношение высот в треугольникеСоотношение высот в треугольникеСоотношение высот в треугольнике
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Ортоцентр треугольника

Теорема 1 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Обозначим точки пересечения этих прямых символами A1 , B1 и C1 , как показано на рисунке 3.

Следовательно, точка B является серединой стороны C1A1 .

Следовательно, точка A является серединой стороны C1B1 .

Следовательно, точка C является серединой стороны B1A1 .

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.

Теорема 1 доказана.

Определение 2 . Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.

У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?  | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Соотношение высот в треугольнике

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Соотношение высот в треугольнике

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Ортоцентрический треугольник

Решим следующую задачу.

Задача . В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE (рис.5). Доказать, что треугольник DCE подобен треугольнику ABC .

Соотношение высот в треугольнике

Решение . Рассмотрим треугольники ADC и BEC . Эти треугольники подобны в силу признака подобия прямоугольных треугольников с равными острыми углами (угол C общий). Следовательно, справедливо равенство

Соотношение высот в треугольнике

Это равенство, а также наличие общего угла C позволяют на основании признака подобия треугольников заключить, что и треугольники DCE и ABC подобны. Решение задачи завершено.

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Определение 3 . Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника (рис 6).

Соотношение высот в треугольнике

Из определения 3 и следствия 1 вытекает следствие 2.

Следствие 2 . Пусть FDE – ортоцентрический треугольник с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника ABC (рис 7).

Соотношение высот в треугольнике

Тогда справедливы равенства

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Из следствия 2 вытекает теорема 2.

Теорема 2 . Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис.7).

Доказательство . Воспользовавшись следствием 2, получаем:

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

что и требовалось доказать.

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Задача Фаньяно

Задача Фаньяно . Рассматриваются всевозможные треугольники DEF , вершины D, E и F которых лежат на сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника ABC .

Решение . Пусть DEF – один из рассматриваемых треугольников. Обозначим символом D1 точку, симметричную точке D относительно прямой AC , и обозначим символом D2 точку, симметричную точке D относительно прямой AB (рис.8).

Соотношение высот в треугольнике

Поскольку отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками, то периметр треугольника DEF оказывается не меньшим, чем длина отрезка D1D2 . Отсюда вытекает, что при фиксированной точке D наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , вершины F и E которого являются точками пересечения прямой D1D2 с прямыми AB и AC соответственно. Периметр этого треугольника равен длине отрезка D1D2 (рис.9).

Соотношение высот в треугольнике

Заметим также, что выполнено равенство

Кроме того, выполнено равенство

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Отсюда вытекает, что длина отрезка D1D2 будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD будет наименьшей, т.е. в том случае, когда отрезок AD является высотой треугольника ABC . Другими словами, наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , у которого вершина D является основанием высоты треугольника ABC , проведённой из вершины A , а вершины E и F построены по описанной выше схеме. Таким образом, среди всевозможных треугольников DEF треугольник с наименьшим периметром является единственным.

Если обозначить длину высоты, проведённой из вершины A , длину стороны AB и радиус описанной около треугольника ABC окружности буквами h, c и R соответственно, то, воспользовавшись теоремой синусов, получим:

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников DEF равен

Соотношение высот в треугольнике

Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник и является треугольником с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

Лемма . Пусть DEF – ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис.10).

Соотношение высот в треугольнике

В этом случае отрезок D1D2 проходит через точки F и E .

Доказательство . Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Кроме того, в силу равенства треугольников DFK и KFD2 , а также в силу равенства треугольников DEL и LED1 выполняются равенства:

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

Соотношение высот в треугольнике

откуда вытекает, что углы AEF и D1EL , а также AFE и D2FK являются вертикальными углами. Это означает, что точки D1 , F, E , D2 лежат на одной прямой. Лемма доказана.

Доказательство леммы и завершает решение задачи Фаньяно.

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Треугольники общего вида

Видео:Высоты треугольника.Скачать

Высоты треугольника.

Треугольники общего вида.

Основные свойства треугольников:

  1. Сумма всех углов в треугольнике равна $180°$.
  2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  3. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой.
  4. В равностороннем треугольнике все углы по $60°$.
  5. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
  6. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

Биссектриса — это линия, которая делит угол пополам.

  1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.
  2. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.
  3. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
  4. В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.

Медиана — это линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

Свойства медиан:

1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.

2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.

3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.

Высота в треугольнике — это линия, проведенная из вершины треугольника к противоположной стороне под углом в 90 градусов.

Свойства высот:

1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

2. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.

3. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности (R)

4. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника.

5. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен: $r=/$ , где $а$ и $b$ – это катеты, $с$ – гипотенуза.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

  1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
  5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
  6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
  7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникСоотношение высот в треугольнике
Прямоугольный треугольникСоотношение высот в треугольнике
$α$$30$$45$$60$
$sinα$$/$$/$$/$
$cosα$$/$$/$$/$
$tgα$$/$$1$$√3$
$ctgα$$√3$$1$$/$

Тригонометрические тождества:

1. Основное тригонометрическое тождество:

2. Связь между тангенсом и косинусом одного и того же угла:

3. Связь между котангенсом и синусом одного и того же угла:

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

  1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
  2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобия треугольников:

  1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
  2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
  3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

В треугольнике $АВС ВС=16, sin∠A=/$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.

Воспользуемся теоремой синусов:

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности

Далее подставим числовые данные и найдем $R$

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Свойства высот треугольника

Видео:Свойство высоты в прямоугольном треугольникеСкачать

Свойство высоты в прямоугольном треугольнике

свойства высоты в треугольнике

Свойство 1
Соотношение высот в треугольнике

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника.

Свойство 2
Соотношение высот в треугольнике

Если AD, BE, CF — высоты треугольника ABC, O — точка пересечения этих высот или их продолжений, то:

Соотношение высот в треугольнике

Свойство 3
Соотношение высот в треугольнике

Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, подобных между собой и подобных исходному треугольнику:

Соотношение высот в треугольнике

Высота на сторону c вычисляется по формулам:

📸 Видео

8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольника

17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Площади треугольников с равным углом.Скачать

Площади треугольников с равным углом.

Геометрия 8 класс (Урок№31 - Теорема о пересечении высот треугольника.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№31 - Теорема о пересечении высот треугольника.)

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрия

№492. Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см.Скачать

№492. Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см.
Поделиться или сохранить к себе: