Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника |
Расположение высот у треугольников различных типов |
Ортоцентр треугольника |
Расположение ортоцентров у треугольников различных типов |
Ортоцентрический треугольник |
Задача Фаньяно |
- Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника
- Расположение высот у треугольников различных типов
- Ортоцентр треугольника
- Расположение ортоцентров у треугольников различных типов
- Ортоцентрический треугольник
- Задача Фаньяно
- Треугольники общего вида
- Треугольники общего вида.
- Свойства медиан:
- Свойства высот:
- Прямоугольный треугольник и его свойства:
- Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
- Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
- Значения тригонометрических функций некоторых углов:
- Тригонометрические тождества:
- Подобие треугольников
- Признаки подобия треугольников:
- Теорема синусов
- Теорема косинусов
- Свойства высот треугольника
- свойства высоты в треугольнике
- 📸 Видео
Видео:Построение высоты в треугольникеСкачать
Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника
Определение 1 . Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).
На рисунке 1 изображена высота BD , проведённая из вершины B треугольника ABC . Точка D – основание высоты.
Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.
Утверждение . Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).
Доказательство . Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям
Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD , что и требовалось доказать.
Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Расположение высот у треугольников различных типов
Фигура | Рисунок | Описание |
Остроугольный треугольник | Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника. | |
Прямоугольный треугольник | Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника | |
Тупоугольный треугольник | Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника | |
Остроугольный треугольник | ||
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника. | ||
Прямоугольный треугольник | ||
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника | ||
Тупоугольный треугольник | ||
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника |
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника
Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Ортоцентр треугольника
Теорема 1 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).
Обозначим точки пересечения этих прямых символами A1 , B1 и C1 , как показано на рисунке 3.
Следовательно, точка B является серединой стороны C1A1 .
Следовательно, точка A является серединой стороны C1B1 .
Следовательно, точка C является серединой стороны B1A1 .
и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.
Теорема 1 доказана.
Определение 2 . Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.
У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.
Видео:Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать
Расположение ортоцентров у треугольников различных типов
Фигура | Рисунок | Описание | |||||||||||||||||||
Остроугольный треугольник | |||||||||||||||||||||
Прямоугольный треугольник |
$α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
$sinα$ | $/$ | $/$ | $/$ |
$cosα$ | $/$ | $/$ | $/$ |
$tgα$ | $/$ | $1$ | $√3$ |
$ctgα$ | $√3$ | $1$ | $/$ |
Тригонометрические тождества:
1. Основное тригонометрическое тождество:
2. Связь между тангенсом и косинусом одного и того же угла:
3. Связь между котангенсом и синусом одного и того же угла:
Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.
Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)
- Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
- Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Признаки подобия треугольников:
- Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
- Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
- Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема синусов
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
В треугольнике $АВС ВС=16, sin∠A=/$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.
Воспользуемся теоремой синусов:
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности
Далее подставим числовые данные и найдем $R$
Теорема косинусов
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
Видео:Свойства высот треугольникаСкачать
Свойства высот треугольника
Видео:Свойство высоты в прямоугольном треугольникеСкачать
свойства высоты в треугольнике
Свойство 1
Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника.
Свойство 2
Если AD, BE, CF — высоты треугольника ABC, O — точка пересечения этих высот или их продолжений, то:
Свойство 3
Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, подобных между собой и подобных исходному треугольнику:
Высота на сторону c вычисляется по формулам:
📸 Видео
8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать
17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать
7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Площади треугольников с равным углом.Скачать
Геометрия 8 класс (Урок№31 - Теорема о пересечении высот треугольника.)Скачать
КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать
№492. Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см.Скачать