Где используется треугольник эйлера бернулли

Предисловием можно считать «За что физики не любят математиков»: http://proza.ru/2015/11/16/160

а началом — «О прилипании предметов к телу человека»: http://proza.ru/2015/03/06/306

«Наука должна быть весёлая, увлекательная и простая. Таковыми же должны быть и учёные» (П.Л. Капица). и преподаватели. Но более всего наука должна быть честная. И «Ни один человек не должен покидать стены наших университетов без понимания того, как мало он знает» (Роберт Оппенгеймер). и как мало знают учёные. А чтобы так оно и было, нужно срезать профессора математической лженауки на первой же лекции. И прежним занудой он уже не будет. Знаю, что говорю, и привожу очередной пример.

Курс лекций по гидродинамике и аэродинамике начинается с закона Бернулли. Первый вопрос профессору на засыпку: «Что именно измеряют или показывают три трубчатых манометра на картинке вверху — давление в потоках или давление потоков?».

Правильный ответ: неподвижные поверхностные манометры на картинке вверху показывают давление потоков, так как для измерения давления в потоках нужны такие манометры или датчики давления, которые находились бы внутри потоков и двигались вместе с ними. Давление внутри потоков, знаете ли, почти всегда статично. Но таких мобильных манометров, которые могли бы быть неподвижными относительно ламинарных потоков, нет в опытах к теме «Закон Бернулли». Однако вывод сделан такой, словно они есть, словно давление внутри потоков уже измерено. «Для физика должно существовать только то, что измерено» (Нильс Бор). а не то, что можно подумать, придумать, недодумать и сосчитать. Сосчитать то, чего нет, может каждый.

С маленькой лжи, как правило, начинается ложь большая. «Ложь большая» — это теория. Правильных теорий не бывает, поэтому «Никаким количеством экспериментов нельзя доказать теорию, но достаточно одного эксперимента, чтобы её опровергнуть» (А.Э.). Вся научная гидродинамика и аэродинамика опровергаются опытами по измерению давления в потоках.

Профессор, ау-у. Вы нас слышите. В опытах к теме «Закон Бернулли» нет соответствующих выводам измерений. Вы врёте по причине того, что ни один математик не отличает «давление потока» от «давление в потоке». Доказательства — картинки из учебников и глупые формулки под ними.

Так как давление в потоках у теоретиков не измерено, профессору опыт на картинке вверху говорит одно, а нам — другое: «Давление потока на параллельную потоку поверхность всегда тем меньше давления в самом потоке, чем больше скорость потока; а давление потока на поперечную или наклонную поверхность всегда тем больше давления в потоке, чем больше скорость самого потока». И чем наш вывод хуже.

А тем-то он и хуже, что никакой научности и сложности для понимания в нём нет. К тому же, давление потока на поперечную поверхность или «скоростной напор» измеряется с помощью Г-образной «трубки Пито», вставляемой в поток загнутым концом навстречу потоку. Отсюда: давление в самом потоке примерно равно среднему арифметическому от показаний «трубки Пито» и «трубки у Бернулли». Более того, в ньютоновской механике уменьшение силы давления на параллельную потоку или телу поверхность с увеличением скорости потока или тела и одновременное увеличение давления потока или тела на поперечную поверхность можно объяснить простым векторным разложением силы давления потока или тела. Чем больше скорость автомобиля, тем меньше его вес и давление на дорожное полотно; чем больше скорость потока, тем меньше его давление на стенки трубы. Пусть пока будет так.

Конечно, наши выводы профессору будут сильно не по нутру. Но если он будет ещё в состоянии что-то говорить и продолжит настаивать на том, что «С увеличением скорости потока давление внутри потока уменьшается», то срежем его вторым вопросом: «Почему причина и следствие в формулировке общепризнанного закона Бернулли переставлены местами?».

Действительно, так сформулировать общий закон потоков мог только теоретик с математическим складом ума, для которого «Что полумёртвый равен полуживому, что полуживой равен полумёртвому, а «полу-» вообще можно сократить». А для физика и инженера давление всегда первично, а сам поток и его скорость — это всегда лишь следствие. Инженер так никогда не скажет: мол, чем больше скорость потока, тем меньше давление в нём. Для него это утверждение является противоречием здравому смыслу, то есть оксюмороном: дескать, чем выше фонтан, тем меньше давление в трубе. А как скажет инженер?

Инженер скажет: «Поток можно создать двумя противоположными, но равнозначными способами — локальным (или местным) повышением давления и локальным понижением его, потому что любой поток всегда движется в сторону меньшего давления. Это главный закон потоков или аксиома потоков, поэтому давление в потоке всегда стремится к выравниванию с внешним давлением и к уменьшению. При этом чем значительнее перепад и падение давления мы имеем или создаём, тем больше будет и скорость потока».

Можно короче: «Чем больше падение давления в потоке или на данном участке трубы, тем больше здесь и скорость самого потока». И это будет тривиальный закон потоков, у которого уже есть все пять обязательных признаков новой истины: простота, ясность, универсальность, «предсказательная сила» и антинаучность. Опровергнуть этот закон сможет только тот, кто создаст поток жидкости или газа, движущийся из области пониженного давления в область повышенного давления, то есть против действия превосходящих сил давления и упругости. Шутка.

«Тривиальный» — значит, яснее и проще некуда; значит, это закон-аксиома. К примеру, очень значительный перепад давления мы имеем сразу за камерой сгорания ракеты (примерно 250 атмосфер), и только поэтому скорость частиц реактивной струи, как говорят, достигает 3-х км/с. Вопрос профессору: «Что толкает ракету — закон сохранения импульса или асимметричное давление непрерывного взрыва в асимметричной камере сгорания?». Если скажет, что закон, перед вами математик. Стреляйтесь сразу, ибо ничто физическое и реально существующее вы ему объяснить уже не сможете (никто не сможет). «Математики похожи на французов: что бы вы ни сказали, они всё переведут на свой собственный язык. Получится нечто противоположное» (Гёте).

Если скоростной поток жидкости инженеры создают в длинной горизонтальной трубе постоянного сечения, то тут будет так: чем большее давление нагнетается в трубе, тем больше будет скорость потока в трубе при постепенном падении давления в потоке к концу трубы, то есть к расширителю потока. Всё проще простого: наибольшее давление в потоке будет в начале трубы, а наименьшее — в конце, при этом скорость несжимаемого потока будет одинаковой и там, и тут. Постепенное падение давления в потоке будет происходить по причине уменьшения массы (как меры инерции) и веса прокачиваемых жидкостей или газов на различных участках протяжённой трубы по мере приближения к концу трубы.

Любой пожарник скажет, что так оно и есть, ведь давление воды и в вертикальном потоке тоже убывает по мере приближения к концу пожарного рукава по причине уменьшения веса воды в столбе воды. А физик вспомнит ещё и про третий закон Ньютона — «Действие не может быть больше противодействия». «Действие» — это в данном случае сила нагнетаемого давления; а «противодействие» — это масса и вес потока плюс атмосферное давление на противоположном конце трубы. Противодействие уменьшается к концу трубы, и давление в потоке стремится к атмосферному.

Итак, давление в потоке жидкости на разных участках трубопровода всегда различное, а скорость потока всегда одна и та же; давление в жидкости может уменьшаться, а скорость потока при этом может сохраняться. Где тут закон Бернулли для давления в потоках. Законы Ньютона, да, мал-мало есть, а Бернулли нет и близко. Но для математиков закон есть закон, поэтому давление в скоростном потоке у них всегда низкое по всей длине трубопровода. Трубопровод разорвало. и никто не знает почему. А виноват Даниил Бернулли. Но «Кто ж его посадит, он же — па-мят-ник!».

Инженер-аэродинамист сформулирует свой закон потоков примерно так: «Давление потока на параллельную или отрицательно наклонную поверхность всегда тем меньше давления в самом потоке, чем больше скорость потока или поверхности (верхней поверхности крыла); а давление потока на поперечную или положительно наклонную поверхность всегда тем больше давления в самом потоке, чем больше скорость потока или поверхности (нижней поверхности атакующего крыла)». И это будет качественный закон взаимодействия потоков с поверхностями, так как в каждом конкретном случае величина давления потока на поверхность зависит не только от скорости потока, но и от физических свойств потока и поверхности, поэтому она не вычисляется, а только измеряется. Следовательно, математикам и в аэродинамике делать особо нечего.

Так что, два математических закона Бернулли мы отменили. Зато, теперь имеем два основных физических закона потоков — тривиальный и качественный. И всё в этих законах понятно, и всё работает. Профессор «падсталом». Но добьём его математическую лженауку.

Действие этих двух законов во многих опытах и явлениях складывается или накладывается, поэтому наблюдаемый результат нельзя объяснять действием только какого-то одного закона. Но объединённого закона Бернулли или третьего математического закона потоков никогда не было, поэтому как определить «личную долю» каждого закона в результате того или иного опыта к теме «Закон Бернулли» не знает ни один математик. но знает каждый инженер. Он просто измеряет с помощью манометров и динамометров давление в потоке и давление потока при различной скорости потока, а потом лишь сравнивает результаты измерений. и никаких теорий потоков для него словно не существует. Действительно, зачем вычислять, если можно измерить.

Сосчитать то, чего нет, может каждый. и превратить теоретическую физику в то, чего не может быть, чего уже никто не понимает, — тоже. Математические законы Бернулли — это лишь частный случай того, чего не может быть. Впрочем, математик всегда начинает считать, не спев подумать. Сейчас мы в этом снова убедимся.

Если подуть между двумя бумажными листами, подвешенными параллельно друг другу, листы сблизятся и почти сомкнутся. Можно подуть, а можно, наоборот, прососать пылесосом воздух между листами — результат тот же.

Математик Леонард Эйлер назвал этот опыт своего друга Даниила Бернулли «Великим парадоксом», ведь в первом случае листы должны были раздвинуться расширяющимся сжатым потоком. Сам назвал — сам и объяснил. через постоянство суммы потенциальной и кинетической или полной энергии замкнутой системы. Объяснил опять же уменьшение давления в потоке с увеличением скорости потока, а не уменьшение давления потока на листы, то есть объяснил совсем не то, что надо было объяснять. И объяснил опять же математикам, а не инженерам. Инженеры твёрдо знают: давление в потоке выдуваемого из лёгких воздуха не может быть меньше атмосферного давления. А вот давление выдуваемого потока на параллельные листы может быть меньше атмосферного, поэтому листы и смыкаются. Так мы о том и говорим. Кстати, ещё вопросец на засыпку: «С какого места в опытах к теме «Закон Бернулли» начинается «замкнутая система?». Профессор, ау-у. (Правильный ответ: «С головы».)

Качественный закон потоков гласит: «Давление потока на параллельную ему поверхность всегда тем меньше давления в самом потоке, чем больше скорость этого потока и чем больше хаос в движении частиц пограничного слоя потока». Можно короче: «Давление потока на параллельную поверхность всегда тем меньше, чем больше хаос в движении частиц потока».

В этой формулировке уже появилась физическая, а не математическая или теоретическая причина уменьшения давления потока на поверхность — это хаос или беспорядок в движении пограничных частиц потока. Вот почему на результат действия первого или тривиального закона потоков всегда накладывается действие второго или качественного закона, если мы рассматриваем взаимодействие потоков со стенками трубы, например, или с подвешенными листами. Однако давление внутри потока по-прежнему не измерено, а хаос в пограничном слое потока увидеть нельзя… Нет, уже всё можно. Человек, знаете ли, видит мир не глазами и слышит его не ушами.

В гидродинамике давление всегда первично, а скорость потока вторична; в аэродинамике скорость крыла всегда первична, а давление неподвижной атмосферы на него всегда вторично. Плоское крыло самолёта или птицы не изменяет давление в неподвижной атмосфере, а изменяется с увеличением скорости и угла атаки лишь взаимодействие быстрого крыла с атмосферой. Но в наших рассуждениях крыло чаще всего неподвижно, а это атмосфера «набегает» на крыло, словно всё происходит в аэродинамической трубе или в статическом (стационарном) потоке. Просто так нам удобнее рассуждать и объяснять.

У инженеров всё, что летает, делает это по причине совсем небольшой положительной разницы или асимметрии атмосферного давления на крыло. Появление подъёмной силы как раз и обусловлено качественным законом потоков: «Давление атмосферного потока на верхнюю отрицательно наклонную поверхность быстрого крыла тем меньше давления в самой атмосфере, чем больше хаос и разрежение частиц воздуха над ней; а давление потока на нижнюю положительно наклонную поверхность крыла тем больше атмосферного давления, чем больше скорость крыла, его угол наклона или атаки и деформация или уплотнение упругого воздуха под быстрым крылом». Как диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника, так и плоское атакующее крыло делит набегающий поток на две самостоятельные и равнозначные причины возникновения подъёмной силы.

Вспомним, атмосферное давление на уровне моря равно 1,0033 кг/см2. Это очень большая сила, которая давит на неподвижное плоское крыло совершенно одинаково и сверху, и снизу. Если атмосферное давление со стороны одной из поверхностей крыла убрать, то со стороны противоположной поверхности тут же возникнет сила равная 10033 кг/м2. Да, 10 тонн на каждый квадратный метр крыла! И что мы имеем: орёл весом 4 кг, имея площадь «несущих поверхностей» как раз 1м2, почти неподвижно парит в вышине при положительной разнице атмосферных давлений на его крылья всего 0,04% от теоретически возможного 1 кг/см2; АН-2 («кукурузник») летает горизонтально на разности 0,4% атмосферного давления; а скоростному современному пассажирскому авиалайнеру для горизонтального полёта достаточно и 5% от 1 кг/см2 или 50 г/см2.

Как инженеры это узнали? Они применили принцип пропорциональности Леонардо да Винчи и разделили вес орла или летательного аппарата на площадь его несущих поверхностей. Вот и всё. А у математиков всё, что летает, летать не может по причине крайне не достаточной (в 6 раз меньше веса самолёта или божьей твари) подъёмной силы, вычисленной ими по самым надёжным математическим законам ньютоновской механики. Можете посмотреть по запросу «Парадокс шмеля», как математики из NASA и британские учёные вычисляли подъёмную силу. Ужас! Знание математической физики сделало их ещё глупее, чем когда они родились. И вообще, математик, считающий себя физиком, — это ноль в квадрате. Считать, что подъёмная сила крыла есть результат сопротивления воздушной среды его движению, в наше время может только профессор математики, а не физики. Читайте по запросу «О математическом идеализме в физике» (это не только мои статьи).

Идеальный или самый эффективный аэродинамический профиль – это «беспрофиль», то есть плоское, как лезвие безопасной бритвы, крыло. И это для передовых инженеров уже аксиома или «новая аэродинамика», а Природа это знала ещё со времён первых летающих насекомых и птеродактилей. Так вот, асимметричное атмосферное давление на совершенно плоское крыло возникает и при его нулевом угле наклона к вектору движения набегающего атмосферного потока, если верхняя поверхность крыла испещрена микроскопическими неровностями, а нижняя – максимально гладкая. В воде «эффект хаоса над крылом» проявляется ещё значительно сильнее.

Это утверждение доказано самой эволюцией живой природы и передовой практикой авиастроения. Смотрим на расправленное крыло любой птицы: сверху оно бархатистое и может играть всеми цветами радуги, что физику говорит о дисперсии света на мельчайших неровностях на поверхности, а снизу – всегда очень плотное, гладкое и со стальным отливом. Смотрим на современный пассажирский «Боинг»: сверху он словно матовый, а снизу – зеркально гладкий. И пусть та положительная разница в атмосферном давлении на крыло, которая возникает только по причине различного качества покрытия его аэродинамических поверхностей, будет и недостаточной для полёта, но именно она и позволит самолёту или птице лететь горизонтально с меньшим углом атаки, то есть с меньшим лобовым сопротивлением, экономя топливо и силы.

Инженеры «Боинга» говорят, что уже экономят на «эффекте хаоса над крылом» до 7-ми процентов топлива, а это огромные деньги. Смотрите фотографии «Боингов» и читайте по запросу «Аэродинамика Боинг». А наши дурни из Сколково одной краской покрывают весь Боинг. Смотрите по запросу «Красим Боинг». Кожа акулы тоже только кажется гладкой, а на ощупь она сравнима с наждачной бумагой. Шершавая кожа способствует образованию хаоса в пограничном слое воды, что ещё больше уменьшает её давление на быструю акулу. И таких примеров «мильён».

«Если ты не можешь объяснить что-либо просто — значит, ты сам этого не понимаешь» (Эйнштейн). или говоришь о том, чего нет, ибо познанное всегда проще непознанного. «Вашу теорию относительности не понимает никто в мире, но Вы всё-таки стали великим человеком» (Чаплин). «Человек, на исправление ошибок которого потребовалось целое десятилетие, — это действительно человек» (Оппенгеймер). Эйнштейн очень много сделал для любителей огромных и сверхмалых чисел и всевозможных формул, но он «наследил» ещё и в аэродинамике.

В рассуждениях Эйнштейна о подъёмной силе («Элементарная теория полёта и волн на воде» 1916. Берлин) есть только верхняя горбатая поверхность крыла и есть закон Бернулли: мол, крыло делит набегающий поток на два потока, из которых верхний, огибающий горб, всегда несколько быстрее прямого нижнего, а раз быстрее, то и меньше давление в нём; дескать, вот вам и положительная или подъёмная разница атмосферного давления на крыло. Но при этом его ни разу не посетила простая мысль вот о чём: при увеличении скорости крыла разница в скорости верхнего и нижнего потока остаётся той же самой, то есть 1/9 — 1/6; закон Бернулли действует и над, и под крылом. и как итог: при увеличении скорости самолёта подъёмная сила по закону Бернулли увеличиваться не может, то есть самолёт на горизонтальных крыльях просто-напросто не взлетит. Однако небольшая подъёмная сила горизонтального горбатого крыла всё же имеет место быть, но не по закону Бернулли, а по причине разрежения и завихрения воздуха за горбом, то есть по качественному закону потоков (отрицательно наклонная поверхность).

Как авторитетные авиаторы ни пытались хоть что-то объяснить знаменитому теоретику про угол атаки крыла и наклон всего самолёта к вектору движения, как о главной причине возникновения положительной разницы атмосферного давления, он лишь снисходительно посмеивался над ними (к примеру, переписка Эйнштейна с испытателем самолётов Паулем Георгом Эрхардтом). Дундуковость учёного всегда начинается с непонимания, незнания или с «незамечания» им сущей простоты и с желания выглядеть умным. Смотрите «Эйнштейн и подъёмная сила, или Зачем змею хвост». «Математика — единственный совершенный метод водить себя за нос» (Эйнштейн). и других — тоже. Вопросы профессору на засыпку: «Почему в рассуждениях теоретиков горбатого профиля закон Бернулли действует только над крылом?»; «Что доказал лейтенант Кульнев, совершивший в 1913 году затяжной горизонтальный полёт на перевернутом гидросамолете?» (Он доказал, что с хорошим движком и дверь полетит — был бы положительный угол атаки.)

Про математика Николая Жуковского и про его «присоединённые вихри», как о причине возникновения подъёмной силы, толкающей крыло снизу вверх, даже упоминать не хочется. Самолёты Эйнштейна и Жуковского — «беременная утка» и «шестикрылый монстр доаэродинамического периода» — не полетели по причине большого паразитного лобового сопротивления очень горбатых крыльев. Но именно они, а не Природа являются основоположниками и «отцами» аэродинамики. А ведь ещё Галилей завещал нам искать подсказки для ответов на все вопросы у Природы и в лабораториях, а не в научных текстах. Смотрите по запросу «Посмеёмся, мой Кеплер, великой глупости людской». «Великая глупость людская» — это глупость учёных. А их, учёных и учителей, и во времена Галилея было, мягко говоря, не мало.

Повторяем только что доказанный вывод: «Давление потока на параллельную ему поверхность всегда тем меньше давления в самом потоке, чем больше скорость этого потока и чем больше хаос в движении частиц пограничного слоя потока». «Степень хаоса» не вычисляется по математическим формулам, а «личная доля» каждого из двух законов потоков в наблюдаемых эффектах уменьшения давления потоков на поверхности с увеличением их скорости в каждом конкретном случае зависит от качества потоков и поверхностей, поэтому при желании тоже только измеряется, но не вычисляется. Вот почему математикам уже делать больше нечего — ни в аэродинамике, ни в объяснениях взаимодействий потоков с поверхностями. Так что, не только «Математика убивает креативность» (Андрей Фурсенко), но и креативность убивает математику. Причём математика убивает креативность всегда, а креативность убивает математику ещё недостаточно часто. «Занимаясь расчётами, ты попадаешь впросак, прежде чем успеваешь это осознать» (Эйнштейн). но чаще этого не замечаешь.

Однако вторым законом потоков объясняются не только опыты к теме «Закон Бернулли», но ещё один раз доказывается нечто совсем другое, позволяющее увидеть истоки математического идеализма в физике и похоронить математическую физику, как науку о природе. «Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадёжны; а надёжные математические законы не имеют отношения к реальному миру» (А. Эйнштейн). Сейчас мы эту словесную формулу математического идеализма просто-напросто докажем. Вернее, я докажу, а вы. согласитесь.

Невесомые вещества – это хаосы: «Если нет веса у беспорядочно мечущейся частицы, то нет его и у целого» (Левкипп и Демокрит). Древние греки считали воздух невесомым веществом, но даже не все плазмы – это невесомые хаосы: «неорганизованная» плазма – это всем хаосам хаос; а «самоорганизованная» плазма — совсем не хаос. Последняя образуется в замкнутых объёмах или под внешним давлением и состоит из равноудалённых колеблющихся частиц. Напряжением взаимного отталкивания равноудалённых частиц «организованная» плазма способна разорвать любые оболочки или направленным действием пробить любую броню, что и используется инженерами-взрывниками уже довольно давно. (Смотрите по запросу «Самоорганизованная плазма».)

Самый яркий пример «неорганизованной» плазмы – это удалённая от поверхности плазменная атмосфера Солнца или его корона; самый простой пример «организованной» плазмы — пламя свечи, обжатое атмосферным давлением. Но у хаосов нет не только ни веса, ни существенного давления, но они ещё и непрозрачны ни для звука, ни для электромагнитных колебаний. К примеру, «неорганизованная» плазма, окружающая гиперзвуковую ракету, не позволяет управлять ракетой с помощью радиосигналов.

«Все жидкости и газы на Земле имеют вес и находятся под давлением веса собственных и выше расположенных слоёв» (Архимед). Поэтому все прозрачные жидкости и газы состоят из примерно одинаковых, равноудалённых и условно неподвижных (колеблющихся или дрожащих) частиц, находящихся в состоянии взаимного отталкивания и относительного (или чуткого) равновесия и взаимно отталкивающихся в газах на расстояниях много больших, чем в жидкостях. Отсюда: давление в любой точке водоёма или атмосферы равно напряжению взаимного отталкивания равноудалённых частиц в этой точке, и по силе оно равно весу всех частиц над этой точкой. Уберите атмосферное давление, и капля воды тут же исчезнет, разлетевшись на молекулы, а аквариум с водой словно взорвётся. И повинно в том будет как раз-таки «напряжение взаимного отталкивания равноудалённых частиц». Смотрите по запросу «Современный Архимед. Трактат «О плавающих телах» и «К физике антигравитонов». Там есть опыты, позволяющие буквально увидеть неподвижность колеблющихся частиц в жидкостях и в газах. Особенно показателен опыт по мгновенному замерзании переохлаждённой воды при её встряхивании в пластиковой бутылке. Многие его знают, но не понимают.

Способность атомов и молекул к движению взаимного отталкивания пропорциональна температуре. А температура – это «опосредованное мерило» интенсивности атомных и внутриатомных движений и величины гравитационных моментов (квантов, импульсов) атомов, передающихся от атома к атому путём индукции.

Гравитационные моменты у более возбуждённых атомов больше, а у «менее горячих» — меньше. Этими моментами атомы словно дёргают друг друга, понуждая сами себя к взаимному отталкиванию, к синхронности движений и к равновесию. Так осуществляется встречный индукционный или индуктивный теплообмен в природе и в гравитационной физике. О квантовой природе тяготения и отталкивания, электромагнетизма и прочего всего смотрите по запросу «Гравитационная физика. Атом».

Или вы думаете, что теоретики знают об атоме больше инженеров. Отнюдь. «Нет ни малейших признаков того, что атомная энергия когда-нибудь станет доступна людям. Это значило бы, что человек научился расщеплять атом» (Альберт Эйнштейн). «Десять лет моей жизни было потрачено только на то, чтобы полностью избавиться от идей этого человека» (Роберт Оппенгеймер об Эйнштейне и его теориях). Роберт Оппенгеймер — это инженер-изобретатель, «папа атомной бомбы». Он же на вопрос президента Гарри Трумэна «Когда русские смогут сделать атомную бомбу?» ответил: «Никогда». Дескать, в учебниках русских нет и намёка на реальную физику атома. И был абсолютно прав: русские сделали американскую атомную бомбу. Но в наших учебниках ничто не изменилось, словно атомного взрыва и не было. Смотрите по запросу «Гравитационная физика. Атом».

Теперь, думаю, вам уже более понятно — почему с увеличением скорости потока его давление на параллельную поверхность всегда уменьшается. Да, потому что при движении жидкого или газообразного кристалла вдоль шершавой поверхности возникает невесомый беспорядок в движении частиц пограничного слоя этого кристалла. Однако всё, что человек понимает, он когда-то понял сам — даже если ему в этом кто-то помог.

P.S. «Учёные объясняют то, что уже есть; инженеры создают то, чего никогда не было. И всё понятно, и всё работает. Мы же соединяем теорию с практикой: ничто не работает. и никто не знает почему» (Эйнштейн). У теоретиков ничто не работает потому, что у них «самая успешная математическая теория 20-го века» — это кинетическая теория теплоты и давления, не имеющая к физической реальности никакого отношения. Да и вся математическая или теоретическая физика — это то, чего не может быть. А то, что может быть, это — инженерная физика, то есть физика природных и искусственных технологий. И вообще, наука — это логичная совокупность всех явлений и всего известного опыта, а также поиск нового опыта. «Логичная» — значит, простая, явная, последовательная, взаимосвязанная и взаимообусловленная реальность, имеющая общую причинность.

Там, где нет науки, есть научность. Научность появляется именно там, где посредством математических действий и преобразований доказывается возможность невозможного, где одно непонятное объясняется посредством чего-то ещё более непонятного, где кому-то удаётся из очевидного сделать невероятное и где постулируется, то есть берётся за основу, то, что невозможно ни опровергнуть, ни доказать. Это словно злонамеренно рассчитано на то, что глупцам умным и научным кажется лишь то, чего они не понимают. «Конечно, ваша гипотеза безумна. Но достаточно ли она безумна. Если гипотеза недостаточно безумна, науке от неё не будет никакого толку» (Нильс Бор). а учёным — проку.

Простые и разумные идеи нужны только инженерам. И только они знают, что сложных открытий не бывает, что простота ближе к Природе и к пониманию Природы. но истинная простота — это как раз то, что впервые даётся познанию людей труднее всего. Но простота — это ещё и то, что учёным труднее всего объяснить. Более того, простота объяснения того или иного явления или опыта — это для теоретика хуже воровства и большое свинство. Дошло уже то того, что сказать правду учёным может только хам, антисемит и неуч. И только поэтому самым большим парадоксом является то, что этот мир всё же познаваемый (с).

И ещё. Всем теоретикам и преподавателям на засыпку: «Какой теорией руководствовались братья Райт, когда делали свой воздушный винт, который у них получился с КПД 78-80%, если научной аэродинамики ещё не было, а КПД самых современных пропеллеров из дерева не превышает 85%?».

Хотелось бы услышать возражения или замечания, но их почему-то нет. Видимо, с тем, что мы живём в эпоху математических лженаук, уже никто не спорит.

Воображеньем прозорливым
К догадкам верным нас несло…
Но сонм учёных кропотливых
Свернул наш поиск — на число.

И лязгом счёта оглушённый
Забыл наш ум — решенья ключ…
Стал слепнуть, в шоры цифр втеснённый.
А был так зряч и так могуч!

Уж цифре памятник построен,
Распята Истина на нём.
Поклонник счёта, жрец и воин
Простёрся ниц перед числом:

Не осознать бедняге в заблужденье,
Как много лжи за ширмой исчисленья!

Видео:Теория вероятностей #8: формула Бернулли и примеры ее использования при решении задачСкачать

Исследовательская работа «История комбинаторного анализа» (11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №47» г. Перми

ИСТОРИЯ КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА

Выполнил ученик 11 класса

Карнишина Валентина Ивановна

Вряд ли сегодня найдется математик, который бы в детстве не увлекался решением различных комбинационных задач: построением магических квадратов, расстановкой ферзей на шахматной доске, которые не бьют друг друга, обходом конем всех шахматных полей… Одни увлекательные комбинационные проблемы появились в глубокой древности, другие возникли сравнительно недавно, но все они вызывают неподдельный интерес математиков, которые обращаются к ним вновь и вновь.

Можно с достаточной уверенностью утверждать, что математика как наука начиналась с комбинаторного анализа. Решаемые при этом проблемы имели практическое значение. Но в то же время они представляли большой интерес пытливому уму, являлись тем оселком, на котором оттачивались математические способности людей. Среди дошедших до нас математических задач древнейших цивилизаций – Китая, Индии, Греции – в большом количестве присутствуют комбинаторные задачи. Так, первым дошедшим до нас магическим квадратом 3х3, является древнекитайское изображение на черепаховом панцире, созданное в 2200 г. до н.э. Но известен этот магический квадрат, по-видимому, был гораздо раньше. Так в рукописи «Же Ким» ( XII — XIII в. до н.э.) сказано, что император Ию, который жил около 4 тысяч лет назад, «нашел на берегу реки священную черепаху, на ее панцире был изображен рисунок из черных и белых кружков».

Но, несмотря на свою древность, комбинаторика долгое время оставалась вне серьезных математических исследований. Только со второй половины XX в. резко возрос интерес со стороны ведущих математиков мира к комбинаторному анализу. Это связано, с прежде всего, с резким расширением области его приложений. Комбинаторные методы анализа стали активно применяться в других разделах математики, например, теории чисел, теории вероятностей, алгебре, геометрии. С другой стороны, комбинаторный анализ все больше применяется в практической деятельности человека: в лингвистике, экономике, медицине, генетике, психологии, криптографии, связи, статистической физике. В то же время интерес самих математиков к комбинаторике резко возрос в связи с появлением в середине прошлого века вычислительной техники, что позволило решить многие перечислительные задачи.

Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовывать из элементов конечного множества. Комбинаторные мотивы можно заметить уже в китайской «Книге Перемен» (V в. до н.э.). Это наиболее ранний философский текст Китая. Самая ранняя его часть (примерно V II век до н.э.) предназначена для гадания и состоит из 64 гексаграмм. Известны разные их расположения. В порядке следования этих гексаграмм ясно прослеживаются элементы комбинаторики, существует множество математических закономерностей, выявленных в их расположении. По мнению создателей «Книги перемен», все в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо.

Историки математики Древнего Китая также отмечают комбинаторные мотивы в руководствах по игре в Го (и других играх). Большой интерес математиков многих стран с древних времён неизменно вызывали магические квадраты (магическим или волшебным квадратом называется квадратная таблица, в которую вписаны числа таким образом, что их сумма в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова). Как сказано выше, первый известный нам магический квадрат был обнаружен в Китае.

В Древней Индии элементы комбинаторики известны уже во II в. до н.э. Ариабхата в 499 г. написал трактат в стихах по астрономии и математике. В нем он, в частности, привел правили суммирования треугольных чисел. Варахимихира в V в., занимаясь сочетаниями, фактически уже получил треугольник Паскаля. В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Считается, что древнеиндийские учёные рассматривали комбинаторные конфигурации в связи с применением их в поэтике – науке о структуре поэтических произведениях. Например, они занимались подсчётом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из определенного количества слогов.

Древние греки также рассматривали различные комбинаторные задачи. В школе Пифагора была доказана теорема о сторонах прямоугольного треугольника. Это вызвало у них интерес к представлению чисел в виде суммы квадратов, а также и к квадратным числам 1, 4, 9, 16… Пифагорейцы рассматривали и другие фигурные числа: треугольные, шестиугольные и т.д. Примерно в то же время Ксенократ ( IV в. до н.э.) подсчитывал число слогов; его современник Папп нашел количество пар и троек, которые можно получить из трех элементов (с повторениями). В «Застольных беседах» Плутарх пишет: «Хрисипп … говорит, что число комбинаций, которые можно получить из десяти предложений, превосходит один миллион. На это возразил Гиппарх, указав, что одно утвердительное предложение охватывает включенных в него 103049, а отрицательное – 309952». Аристотель при изложении своей логики безошибочно перечислил все возможные типы трёхчленных силлогизмов. Аристоксен рассмотрел различные чередования длинных и коротких слогов в стихотворных размерах.

В начале IX в. научным центром ближневосточного мира становится Багдад , где появляется « Дом мудрости », в который приглашаются виднейшие учёные всего исламского мира. Почти в то же время на западе исламского халифата, в испанской Кордове, сформировался другой научный центр, благодаря которому античные знания стали понемногу возвращаться в Европу. Первым делом арабские ученые стали осваивать наследие Греции и Индии. Их труды переводились на арабский язык, изучались и комментировались. Причем размах этой деятельности действительно впечатляет – известны более сотни переводчиков и комментаторов одного только Евклида.

А в XIII в. происходит расцвет и самой арабской науки. Так арабские алгебраисты вывели формулу для степени суммы двух слагаемых – бином Ньютона. Скорее всего, эту формулу уже знал знаменитый поэт и математик Омар Хайам (XI–XII вв.). По крайней мере, ее приводит в своих научных работах персидский ученый Насир ад-Дин Туси. В XV в. эта формула была подробно исследована другим персидским математиком и астрономом Джемшидом ибн Масуд аль-Каши. Как сообщают некоторые европейские источники, ссылающиеся на арабские оригиналы, для вычисления коэффициентов этой формулы брали число 10001 и возводили его последовательно во вторую, третью, четвертую и т.д. степени. Затем исключали лишние нули и получали треугольную таблицу из биномиальных коэффициентов. Арабские математики были знакомы и с формулой знали и основное свойство элементов этой таблицы, выражающееся формулой .

Надо отметить, что примерно в то же время аналогичная таблица была приведена в китайского алгебраиста Чжу Ши-дзе «Яшмовое зеркало»

В начале XII в. начинается возрождение науки и, в частности, математики в Европе. Одним из первых европейских ученых был Леонардо по прозвищу «Фибоначчи». Сын купца из итальянского города Пиза, торговавшего в Алжире, получил образование в арабских учебных заведениях. В 1202 г. он издает книгу « Liber Abaci » (Книга абака). В ней ученый излагал арабскую арифметику, геометрию Евклида и некоторые свои математические изыскания. Среди них были и новые комбинаторные задачи. Например, об отыскании наименьшего числа гирь, с помощью которых можно было бы взвесить любой вес меньший некоторого заданного (вес должен быть, конечно, целочисленным).

Другая его известная задача о кроликах: имеется пара кроликов. Через два месяца у них рождается еще одна пара. И так далее: любая пара кроликов производит на свет другую пару каждый месяц, начиная со второго месяца своего существования. Сколько пар кроликов будет через год? При решении этой задачи возникает числовая последовательность, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Эта последовательность называется числами Фибоначчи. В отличие от известных еще древним грекам арифметической и геометрической прогрессий каждый член данной последовательности определяется не только ее последним членом, но и предпоследним.

Примерно в то же время ряд открытий в Европе в области комбинаторики сделали два еврейских исследователя, Авраам ибн Эзра и Леви бен Гершом (Герсонид). Ибн Эзра подсчитывал число размещений с перестановками в огласовках имени Бога и обнаружил симметричность биномиальных коэффициентов, а Герсонид дал явные формулы для их подсчёта и применения в задачах вычисления числа размещений и сочетаний .

И все же, временем рождения комбинаторики, как самостоятельной математической дисциплины считается середина XVII в.

Однажды азартный игрок в кости и любитель математики шевалье де Мере обратился к великому французскому ученому Блезу Паскалю с просьбой в решении двух задач: 1) Сколько раз нужно бросать две кости, чтобы ставить на одновременное выпадение хотя бы раз двух шестёрок было выгодно? 2) Пусть д ва игрока договорились, что тот, кто первым выиграет 6 партий, получит весь приз. Но предположим, что доиграть до конца не удалось по независящим от игроков обстоятельствам. В момент остановки, например, первый игрок победил 5 раз, второй – 3. Как справедливо следует разделить приз?

Б. Паскаль справился с этими задачами, но предложил решить их и другому французскому математику – Пьеру Ферма. Возникшие в ходе решения этих задач проблемы и выводы, к которым пришли два ученых, они обсуждали в своих письмах. При решении данных вероятностных задач было необходимо сосчитать количество различных комбинаций, которые удовлетворяли искомым решениям. Содержание этой переписки стало известно широкому кругу математиков Франции. Таким образом, решение двух данных задач ознаменовало появление сразу двух новых математических дисциплин – теории вероятностей и комбинаторики.

Следующий крупный шаг был сделан в 1666 г., когда Г.В. Лейбниц представил Лейпцигскому университету сочинение «Рассуждение об искусстве комбинаторики». Автору на тот момент было 20 лет. Именно в этой работе впервые прозвучал сам термин «комбинаторика». Правда, это понятие Г. Лейбниц понимал чрезмерно широко, включая в него всю конечную математику и даже логику. Рассматриваемая работа было наиболее полным и глубоким по содержанию сочинением по данной теме.

Ученик Лейбница Якоб Бернулли является создателем теории вероятностей. Его книга «Искусство предположений» вышла в 1713 г. уже после смерти автора (1705 г.). Т.к. значительная часть вероятностных задач решается с использованием различных комбинационных конфигураций, то значительная часть этого сочинения посвящена именно комбинаторике. Соответствующий материал сосредоточен во второй части и состоит из девяти глав. В них разбираются перестановки с перестановками и без них, различные сочетания и размещения. Таким образом, Я. Бернулли построил комбинаторную теорию, которая отличалась от других работ своей системностью, широтой рассматриваемых проблем и простотой решения соответствующих задач.

В этот же период начала формироваться терминология этой новой науки. Термин «сочетание» (combination) впервые встречается у Паскаля (1653 г.). Термин «перестановка» (permutation) употребил в указанной книге Я. Бернулли (хотя эпизодически он встречался и раньше). Он же использовал и термин «размещение» (arrangement).

Значительные достижения в комбинаторики принадлежат одному из величайших математиков XVIII в. Л. Эйлеру, швейцарцу, члену Петербургской академии наук, прожившему почти всю жизнь в России. Где он и похоронен на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге.

Л. Эйлер занимался практически всеми вопросами математики, среди них были и довольно странные. Ну, например, можно ли обойти кенигсбергские мосты так, чтобы не побывать на одном и том же дважды? Или возможно ли поставить 36 офицеров из 6 разных полков так, чтобы в каждой шеренге и каждой колонне было по одному офицеру каждого воинского звания из каждого полка? И т.д. Но эти, вроде бы, несерьезные задачи впоследствии привели к созданию новых разделов комбинаторике, имеющих большое практическое значение. Первая задача (о мостах) привела к созданию топологии и теории графов, второй задаче (об офицерах) обязана своим появлением теория планирования экспериментов. В трудах Л. Эйлера комбинаторика оформилась окончательно как самостоятельный раздел математики.

Исследования Леонарда Эйлера (1707–1783) сыграли определяющую роль в развитии комбинаторного анализа. Он либо решал, либо формулировал и тем самым значительно продвигал формирование многих из так называемых «классических комбинаторных задач». Под таковыми понимают всевозможные расположения элементов конечных дискретных множеств в соответствии с определенными правилами. Таких задач десять. Несмотря на простоту их формулировок, они на протяжении большого промежутка времени не поддавались решению и явились исходными при становлении и формировании ряда научных направлений современных математических дисциплин.

После работ Б. Паскаля, П. Ферма, Г. Лейбница и Л. Эйлера можно было уже говорить о комбинаторике как о самостоятельном разделе математики, тесно связанном со многими другими областями математики. Таким образом, комбинаторика как самостоятельная ветвь математики возникла в XVII веке.

Но ее развитие продолжается до сих пор. Так в начале XX в. начала развиваться комбинаторная геометрия: были доказаны теоремы Минковского-Радона, Радона, Хелли, Юнга, Бляшке, а также строго доказана изопериметрическая теорема. На стыке топологии, анализа и комбинаторики были доказаны теоремы Борсука-Улама и Люстерника-Шнирельмана. Во второй четверти XX века были поставлены проблема Борсука и проблема Нелсона-Эрдёша-Хадвигера. В 1940-х годах оформилась теория Рамсея. Отцом современной комбинаторики считается венгерский математик Пал Эрдёш, который ввел в комбинаторику вероятностный анализ. Внимание к конечной математике и, в частности, к комбинаторике значительно повысилось со второй половины XX в., когда появились компьютеры. Сейчас это чрезвычайно содержательная и быстроразвивающаяся область математики.

1. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. – М.: Наука, 1975. – 208 с.

2. История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А.П. Юшкевича, в трёх томах. – М.: Наука, 1970. – Т. I.

3. Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А.П. Юшкевича, в трёх томах. – М.: Наука, 1970. – Т. II.

4. Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А.П. Юшкевича, в трёх томах. – М.: Наука, 1972. – Т. III.

5. Рыбников К.А. Комбинаторный анализ. Очерки истории. – М.: Изд. мехмата МГУ, 1996. – 124 с.

6. Рыбников К.А. История математики в двух томах. – М.: Издательство МГУ, 1960-1963.

Видео:132 Змеи, или Треугольник Бернулли—ЭйлераСкачать

«24 февраля 2012 г. Памяти Филиппа Флажоле Дискретную математику можно определить как науку, изучающую конечные множества. При таком определении она становится . »

Введение в дискретную математику

24 февраля 2012 г.

Памяти Филиппа Флажоле

Дискретную математику можно определить как науку, изучающую конечные множества. При таком определении она становится всепроникающей трудно представить себе раздел математики, не связанный с конечными множествами, и необъятной. Поэтому всякий курс дискретной математики, как начальный, так и более сложный, поневоле ограничивается какими-то аспектами этой науки. Выбор излагаемых аспектов обычно опирается на вкусы автора. В настоящем курсе я следовал своим пристрастиям и исследовательскому опыту. Я также стремился связать курс дискретной математики с другими математическими курсами. Так, изучение производящих функций поддерживает изучение разложений функций в ряд в курсе математического анализа.

Курс разбит на три части. Первые две посвящены перечислительной комбинаторике и графам. В третей, посвященной конечным автоматам, формальным языкам и грамматикам, дается представление о том, как подходы, описанные в первых двух частях, могут применяться для построения простейших вычислительных моделей. В свою очередь, эти модели дают новые подходы к решению перечислительных задач. В приложениях даются решения задач, сопровождающих каждую главу, и образцы контрольных и экзаменационных работ.

Разумеется, вводный характер изложения сказывается и на содержании каждой из частей. Так, из всего богатства результатов о конечных графах я излагаю лишь начальные сведения об их перечислении и инвариантах. В то же время я стремился к тому, чтобы в изложении присутствовал материал, активно используемый в современных математических исследованиях, например в топологии и статистической физике.

При работе с конечными объектами конечными множествами, графами, словами и т.д. ключевую роль играют действующие на них группы, в первую очередь, симметрические группы, или группы перестановок. Любые другие конечные группы являются подгруппами в группах перестановок.

Свойства объектов в значительной мере определяются комбинаторикой соответствующих групп, что позволяет этим группам играть связующую роль между частями книги. Оказывается, однако, что несмотря на многолетние усилия по изучению конечных групп, даже в комбинаторике симметрических групп остается много неизведанного, а некоторые вопросы еще и не поставлены.

В основе первой части книги лежат мои “Лекции о производящих функциях” (первое издание вышло в 2002 г. при поддержке РФФИ, в 2007 г.

издательство Московского центра непрерывного математического образования выпустило их 4-м изданием, а в 2003 г. в издательстве Американского математического общества вышел их перевод на английский язык).

Эти лекции читались первокурсникам Независимого Московского университета. Для курса “Введение в дискретную математику”, который читается на факультете математики Высшей школы экономики во втором семестре первого года обучения, они были существенно переработаны, расширены и i обогащены новыми задачами. Помимо отдельных параграфов в эту часть вошла новая глава про теневое исчисление.

В разные годы вместе со мной этот курс вели Г. Л. Рыбников, А. И. Зыкин и П. Н. Пятов. Многие задачи в том числе для контрольных и экзаменационных работ предложены ими, и я им очень благодарен. П. Н. Пятов кроме того написал решения целого ряда задач. Я также благодарен студентам факультета математики ВШЭ, живая реакция которых позволила, я надеюсь, заметно улучшить первоначальные записки лекций.

Некоторые разделы курса рассчитаны на студентов, уровень подготовки которых выше среднего. Сюда относятся, в первую очередь, вопросы, связанные со структурами алгебр Хопфа на пространствах многочленов и пространствах графов. Остальной материал не опирается на эти структуры, и их изучение можно безболезненно опустить.

ii Оглавление I Элементы перечислительной комбинаторики 1 Элементарные производящие функции 1.1 Перестановки и сочетания. 1.2 Бином Ньютона. 1.3 Экспонента. 1.4 Производящие функции и действия над ними. 1.5 Дифференцирование и интегрирование производящих функций 1.6 Алгебра и топология формальных степенных рядов. 1.7 Задачи. 2 Рациональные производящие функции 2.1 Геометрическая прогрессия. 2.2 Последовательность Фибоначчи. 2.3 Рекуррентные соотношения и рациональные производящие функции. 2.4 Неоднородные рекуррентные соотношения. 2.5 Произведение Адамара рациональных производящих функций 2.6 Асимптотика коэффициентов рациональных функций. 2.7 Задачи. 3 Перечисление путей на графах 3.1 Пути в графах. 3.2 Пути, перечисляемые рациональными производящими функциями. 3.3 Числа Каталана. 3.4 Задачи. 4 Производящие функции нескольких переменных 4.1 Треугольник Паскаля. 4.2 Экспоненциальные производящие функции. 4.3 Треугольник Дика. 4.4 Треугольник Бернулли–Эйлера и перечисление up-down перестановок. 4.5 Числа Эйлера в треугольнике Дика с кратностями. iii 4.6 Производящая функция для треугольника Дика с кратностями 4.7 Задачи. 5 Теневое исчисление 5.1 Определения и примеры. 5.2 Применения биномиальных последовательностей. 5.3 Биномиальные последовательности и сдвиги. 5.4 Явное построение биномиальных последовательностей. 5.5 Последовательности Шеффер. 5.6 Коалгебра многочленов. 5.7 Задачи. 6.3 Разбиения множеств в треугольнике Моцкина с кратностями 13 Языки и формальные грамматики с однозначным выводом 13.2 Формальные грамматики с однозначным выводом. 13.3 Производящие функции регулярных языков. 13.4 Представления производящих функций в виде непрерывных 13.5 Сравнения в последовательностях. Элементы перечислительной комбинаторики Глава Элементарные производящие функции В первой части курса мы займемся задачами перечисления. Они заключаются в подсчете числа объектов, принадлежащих некоторому семейству конечных множеств. У каждого множества семейства имеется свой номер, и результатом перечисления служит некоторая последовательность натуральных чисел. Перечислительные задачи встречаются во всех областях математики, и в последние годы они вышли на первый план в алгебраической геометрии, топологии, многих направлениях математической физики.

Как правило, задача перечислительной комбинаторики “в принципе” разрешима: для каждого множества из семейства можно выписать все его элементы и таким образом узнать их число. Проблема, однако, состоит в том, чтобы найти “хорошее” решение, не требующее выписывания всех элементов изучаемых множеств. При этом понять, что такое хорошее решение, довольно трудно. Зачастую удается лишь сравнить два решения и сказать, какое из них лучше.

Наиболее подходящим языком для решения перечислительных задач оказывается язык производящих рядов. Операции с комбинаторными объектами очень естественно выражаются в терминах производящих функций. Однако перечислительная комбинаторика не сводится к производящим функциям привлечение методов из смежных областей математики (например, из анализа или теории групп) дает новый взгляд на перечислительные задачи и позволяет находить неожиданные подходы к их решению.

1.1 Перестановки и сочетания Будем обозначать число элементов в конечном множестве A через |A|; например, || = 3.

Пусть Nn обозначает множество натуральных чисел от 1 до n, т.е. Nn = . Перестановка этого множества это его взаимно-однозначное отображение в себя, : Nn Nn. Тождественная перестановка оставляет каждый элемент на месте. Множество всех перестановок этого множества обозначается через Sn. Композиция перестановок является перестановкой, и у каждой перестановки есть обратная такая, композиция с которой является тождественной перестановкой. Поэтому множество Sn образует группу.

Подсчитаем количество различных перестановок, т.е. количество элементов в группе Sn. Это количество равно количеству различных взаимнооднозначных отображений любых двух множеств из n элементов (не обязательно одинаковых). Подсчитать их можно, например, так. Группа S состоит, очевидно, из одного элемента тождественного отображения множества N1 = в себя. Разобьем теперь все взаимно-однозначные отображения из Nn в себя на n подмножеств в зависимости от того, в какой элемент перешел элемент 1. Все эти n подмножеств содержат одинаковое количество элементов, и это количество равно количеству взаимно-однозначных отображений двух (n 1)-элементных множеств, т.е. числу элементов группы Sn1. Поэтому Это число произведение всех натуральных чисел от 1 до n принято называть факториалом числа n и обозначать n!.

Множество Nn содержит n одноэлементных подмножеств. Нетрудно видеть, что число двухэлементных подмножеств в нем равно n(n1). Действительно, первый элемент из двух мы можем выбрать n способами, а второй n 1 способами из еще невыбранных элементов. Значит, упорядоченную пару элементов можно выбрать n(n 1) способами. Поскольку две пары a, b и b, a образуют одно и то же множество, для подсчета двухэлементных подмножеств необходимо количество упорядоченных пар поделить на 2.

Как подсчитать число k-элементных подмножеств в Nn для произвольного натурального числа k? Во-первых, очевидно, что при k n это число равно 0. Если же k n, то будем строить все k-элементные подмножества в Nn следующим образом. Возьмем произвольную перестановку множества Nn, и возьмем первые k элементов в этой перестановке (т.е. те элементы, в которые перешли 1, 2. k). Ясно, что таким образом мы получим все k-элементные подмножества, причем каждое из них будет встречаться одно и то же количество раз. Это количество раз равно k!(nk)!, поскольку перестановки первых k элементов и оставшихся n k элементов не меняют выбранное подмножество. Поэтому для подсчета числа k-элементных подмножеств в Nn нужно разделить общее число перестановок на k!(n k)!.

Полученное число называется числом сочетаний из n элементов по k и обозначается через (В литературе на русском и французском языках чаще встречается обознаk ло; мы же будем пользоваться сочетаниями в ситуациях, когда n не обязательно натуральное число, что и объясняет наш выбор обозначения n,k принятого в англоязычных текстах.) Поскольку дополнение k-элементного множества в множестве из n элементов состоит из n k элементов, количество k-элементных подмножеств в n-элементном множестве равно количеству (nk)-элементных подмножеств в нем, что прекрасно подтверждается выведенной нами формулой для числа сочетаний:

В случае k = n формула для числа сочетаний имеет вид Поскольку число n-элементных подмножеств в n-элементном множестве, очевидно, равно 1, мы обязаны положить 0! = 1. Тогда формула для числа сочетаний приобретает смысл и при k = 0:

в произвольном множестве имеется ровно одно 0-элементное подмножество (пустое множество).

Числа сочетаний это в точности коэффициенты, встречающиеся в разложении степеней бинома:

Действительно, и коэффициент при xnk y k в произведении равен количеству k-элементных подмножеств в множестве из n скобок (x + y). Это в точности те скобки, из которых мы выбираем слагаемое y.

Уже это простое наблюдение позволяет вывести нетривиальные комбинаторные тождества. Например, как результат подстановки x = 1, y = 1 в разложение бинома (1.2). (Вот другой вывод того же тождества: 2n это общее количество подмножеств в множестве из n элементов, а в левой части равенства суммируются количества подмножеств с данным числом элементов.) Точно так же получаем При нечетном n это равенство очевидным образом следует из симметрии k = nk, а вот при четном n его проще всего получить подстановкой x = 1, y = 1 в разложение бинома.

Разложение бинома нам еще не раз встретится в этой книге, в том числе и в настоящей главе.

1.2 Бином Ньютона Числитель и знаменатель дроби в формуле (1.1) для числа сочетаний можно сократить на (n k)!, переписав ее в виде Такое сокращение позволяет расширить круг значений, к которым она применима в качестве аргумента n можно брать произвольное число, не обязательно натуральное. Например, 1/2(1/2)(3/2)(5/2). ((3 2k)/2) При таком подходе число сочетаний перестает быть целым и теряет прямой комбинаторный смысл (нельзя сказать, что это число k-элементных подмножеств в “полуэлементном множестве”). Вообще, число n может быть иррациональным и даже комплексным. Однако по-прежнему естественно полагать для произвольного n = 0.

Если n натуральное или 0, то при k n в числителе формулы (1.3) встречается нулевой множитель, и поэтому все выражение равно 0. Напротив, если n не является целым неотрицательным числом, то число сочетаний k не является нулевым ни при каком k.

Такие обобщенные числа сочетаний можно применить для получения разложения бинома в произвольной степени, не только в целой. А именно, Здесь в обозначениях n заменено на, чтобы подчеркнуть, что мы больше не считаем показатель натуральным, а первая переменная заменена на 1, чтобы не было необходимости решать, что такое x в ненатуральной степени (1 = 1 для любого показателя ). В случае, если число является натуральным, разложение (1.4) совпадает с обычной степенью бинома. Для ненатурального показателя степени оно было введено Ньютоном и представляет собой бесконечный степенной ряд. Этот ряд можно считать определением левой части (а можно и в курсе математического анализа это делается доказывать, что ряд сходится при |s| 1, причем слева от знака равенства действительно написана функция, к которой он сходится).

Вот пример разложения бинома для = 1 :

1.3 Экспонента Экспонента является одной из важнейших функций во всей математике. Ее определяющее свойство состоит в том, что она преобразует сумму в произведение. Давайте найдем такую функцию f = f (s), что тождественно выполняется равенство Подставляя s = 0, t = 0, мы сразу заключаем, что f (0) = f (0) · f (0), откуда f (0) равняется либо 0, либо 1. Мы рассмотрим только случай f (0) = 1, оставив случай f (0) = 0 в качестве задачи в конце главы (см. задачу 1.4).

Пусть f имеет разложение Тогда условие (1.5) на функцию f записывается в виде равенства которое должно выполняться тождественно по s и t. Найдем, к каким ограничениям на коэффициенты ai приводит это равенство. Для этого будем последовательно сравнивать коэффициенты при мономах данной степени в левой и правой его частях. При мономах первой степени получаем равенство которое выполняется тождественно при любом значении коэффициента a1.

Зафиксируем какое-нибудь значение этого коэффициента и обозначим его через a, a1 = a.

Для мономов степени 2 должно выполняться равенство или которое выполняется тождественно только если a2 = a2 /2. Рассуждая так же далее получаем откуда Нетрудно видеть, что на каждом шаге, если соответствующее уравнение разрешимо, то решение единственно и дает значение an равным an с некоторым коэффициентом.

Можно было бы показать, что решение действительно всегда существует и коэффициент при an равен 1/n!. Мы поступим наоборот и определим экспоненту разложением Это бесконечный степенной ряд, коэффициенты которого обратные факториалы.

Теперь нетрудно проверить, что Действительно, нам надо доказать, что В левой части равенства моном sk tl появляется только в разложении бинома (s + t)n, где n = k + l, причем коэффициент при этом мономе равен Этот коэффициент в точности совпадает с коэффициентом при sk tl в правой части равенства. Поэтому всякий моном входит в левую и правую части равенства с одним и тем же коэффициентом.

Зная, что решение уравнения (1.5) с f (0) = 1 если оно существует однозначно определяется коэффициентом при s, мы заключаем, что экспонента и является этим единственным решением. При a = 0 экспонента тождественно равна 1. Если же a = 0, то экспонента eas получается из es обратимой заменой s на as. Поэтому чаще всего мы будем пользоваться экспонентой es, отвечающей значению a = 1.

Тригонометрические функции просто выражаются через экспоненту:

Здесь 1 комплексное число, квадрат которого равен 1; его часто обозначают через i, однако такое обозначение может привести к путанице.

Смысл переменной s, от которой берется экспонента, может быть самым разным. Например, s может обозначать дифференцирование:

и мы вправе спросить себя, что является экспонентой от дифференцироваdk ния. Здесь k-я степень дифференцирования dt это операция взятия k-ой производной, dt = dtk. Для того, чтобы понять, чему равна экспонента от дифференцирования, посмотрим, как она действует на многочленах.

Для этого достаточно посмотреть, как она действует на всех степенях tk переменной t. К счастью, результат (k + 1)-го и всех старших дифференd цирований монома tk равен 0, поэтому при применении e dt к tk в правой части равенства остается лишь конечное число слагаемых:

Правая часть последнего равенства есть не что иное как разложение бинома (1 + t)k, и мы заключаем, что Поскольку экспонента дифференцирования действует на многочленах линейно, это означает, что для любого многочлена p = p(t) Другими словами, экспонента дифференцирования является сдвигом на 1.

Это глубокое утверждение лежит в основе теории групп Ли. Мы будем им неоднократно пользоваться.

1.4 Производящие функции и действия над ними Перейдем к строгим определениям.

Определение 1.4.1. Пусть a0, a1, a2. произвольная (бесконечная) последовательность чисел. Производящей функцией (производящим рядом) для этой последовательности будем называть выражение вида или, в сокращенной записи, Если все члены последовательности, начиная с некоторого, равны нулю, то производящая функция является производящим многочленом.

Числа, входящие в последовательность, могут иметь различную природу. Мы будем рассматривать последовательности натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел. Производящую функцию, как и обычную функцию, мы будем часто обозначать одной буквой, указывая в скобках ее аргумент:

Две производящие функции равны в том и только в том случае, если у них совпадают коэффициенты при каждой степени переменной. Поэтому мы часто будем проверять равенство производящих функций или решать уравнения на них, последовательно сравнивая коэффициенты при s0, s1, s и т.д.

Замечание 1.4.2. Употребляя слово “функция”, мы вовсе не имеем в виду, что написанное выражение действительно является функцией. Так, не следует думать, будто мы можем сказать, чему равно “значение A(1) производящей функции A в точке 1”. Для этого нам пришлось бы сосчитать сумму бесконечного ряда a0 + a1 + a2 +. Изучение производящих функций не требует суммирования бесконечных числовых рядов. Переменная s является формальной, и сумма ряда a0 + a1 s + a2 s2 +. смысла не имеет.

Однако верны утверждения A(0) = a0, A (0) = a1, A (0) = 2a2 и т.д..

Производящая функция представляет последовательность чисел в виде ряда по степеням формальной переменной. Поэтому наряду с термином “производящая функция” мы будем также пользоваться термином “формальный степенной ряд”.

Определение 1.4.3. Суммой двух производящих функций называется производящая функция Произведением производящих функций A и B называется производящая функция Операции сложения и умножения производящих функций, очевидно, коммутативны (A + B = B + A, AB = BA) и ассоциативны ((A + B) + C = A + (B + C), (AB)C = A(BC)); кроме того, выполняется дистрибутивный закон (A(B + C) = AB + AC).

Определение 1.4.4. Пусть две производящие функции, причем B(0) = b0 = 0.

Подстановкой производящей функции B в производящую функцию A называется производящая функция A(B(t)) Если, например, B(t) = t, то Производящая функция A = A(s) называется четной, если A(s) = A(s) нечетной, если A(s) = A(s). Функция является четной в том и только в том случае, если ее степенной ряд содержит лишь члены четной степени.

Функция является нечетной в том и только в том случае, если ее степенной ряд содержит лишь члены нечетной степени. Так, например, функция cos(s) четная, функция sin(s) нечетная, а функция exp(s) не является ни четной, ни нечетной ее разложение в ряд содержит ненулевые коэффициенты как при четных, так и при нечетных степенях переменной s.

Обратите внимание на то, что операция подстановки функции, отличной от нуля в нуле, не определена. При попытке подставить такую функцию мы столкнулись бы с необходимостью суммировать бесконечные числовые ряды.

Конечно же, если обе производящие функции A и B являются многочленами, то определения суммы, произведения и подстановки для них совпадают с обычными определениями этих операций для многочленов. Определения этих операций на степенных рядах являются результатом их продолжения с многочленов.

Чтобы познакомиться с производящими функциями поближе, давайте докажем важную теорему. Линейную функцию B(t) = bt, b = 0, легко обратить обратной к ней относительно подстановки функцией является функция s/b. Добавление старших степеней переменной не влияет на обратимость функции.

Теорема 1.4.5 (об обратной функции). Пусть функция такова, что B(0) = b0 = 0, а b1 = 0. Тогда существуют такие функции что Функции A и C единственны.

Функция A называется левой обратной, а функция C правой обратной к функции B.

Доказательство. Докажем существование и единственность левой обратной функции. Доказательство для правой обратной аналогично. Будем определять коэффициенты функции A последовательно. Коэффициент a определяется из условия a1 b1 = 1, откуда Предположим теперь, что коэффициенты a1, a2. an уже определены. Коэффициент an+1 определяется из условия где точками обозначен некоторый многочлен от a1. an и b1. bn. Тем самым, условие представляет собой линейное уравнение на an+1, причем коэффициент bn+1 при an+1 отличен от нуля. Такое уравнение имеет единственное решение, и теорема доказана.

Итак, мы научились складывать и умножать степенные ряды и подставлять их друг в друга. Хотелось бы также научиться делить их друг на друга. Последняя операция не всегда корректно определена. В этом отношении степенные ряды похожи на целые числа: не всегда целое число при делении на другое целое число дает в ответе целое число. Однако, во всяком случае, возможно деление на степенной ряд, значение которого в нуле отлично от нуля.

Утверждение 1.4.6. Пусть формальный степенной ряд, причем A(0) = a0 = 0. Тогда существует единственный формальный степенной ряд такой что A(s)B(s) = 1.

Доказательство. Снова проведем доказательство по индукции. Значение коэффициента b0 находится легко, b0 = a0. Пусть теперь все коэффициенты ряда B вплоть до степени n1 однозначно определены. Коэффициент при sn определяется из условия Это линейное уравнение на bn, причем коэффициент a0 при bn отличен от нуля. Поэтому уравнение имеет единственное решение.

Отметим, что, несмотря на теоремы существования, нахождение обратной функции относительно подстановки или относительно деления в явном виде может оказаться сложной задачей, даже если сама функция относительно проста. Скажем, вычисление функции 1/ cos s займет у нас целый параграф, и приведет к очень интересному результату.

1.5 Дифференцирование и интегрирование производящих функций Для производящих функций обычное определение производной можно записать в следующем виде.

Определение 1.5.1. Пусть A = A(s) производящая функция. Производной этой функции называется функция Поскольку при t = 0 числитель дроби в определении производной обращается в нуль, этот числитель делится на t, и определение корректно.

Дифференцирование, очевидно, линейная операция, поэтому для того, чтобы понять, как оно действует на производящих функциях, достаточно посмотреть на его действие на степенях переменной. Имеем Здесь многоточие в числителе обозначает многочлен, делящийся на t2 ; после деления на t и приравнивания t нулю этот многочлен обращается в 0.

Тем самым, дифференцирование произвольной производящей функции A(s) = a0 + a1 s + a2 s2 +. дает Докажем правило дифференцирования сложной функции:

В силу линейности дифференцирования, для проверки этого равенства достаточно рассмотреть случай, когда A(s) = sk моном. Теперь мы должны доказать равенство для любой производящей функции B. Доказательство этого равенства требует последовательного сравнения коэффициентов при ti, i = 0, 1, 2.

Коэффициенты функции B при степенях i+2 и выше не влияют на коэффициенты при ti в обеих частях равенства. Поэтому его достаточно проверить для случая, когда B многочлен, а в этом случае оно хорошо известно.

Определение дифференцирования само по себе позволяет нам решать простейшие дифференциальные уравнения. Найдем, например, функцию, производная которой совпадает с ней самой, Пусть F имеет вид F (s) = f0 +f1 s+f2 s2 +. Тогда F (s) = f1 +2f2 s+3f3 s2 +. Сравнивая коэффициенты при нулевой степени переменной в левой и правой частях равенства (1.6), мы заключаем, что f1 = f0. Сравнение коэффициентов при первой степени s дает 2f2 = f1, откуда f2 = 2 f1 = 1 f0.

Продолжая таким же образом, мы заключаем, что fk = k! f0 для всех k = 1, 2, 3. Обозначим f0 через c. Наше рассуждение приводит к следующему выводу:

Всякое решение уравнения (1.6) имеет вид для некоторой постоянной c. Тем самым, уравнение (1.6) имеет единственное решение с заданным значением F (0) = c. Ниже в этой книге мы не раз будем обсуждать решение дифференциальных уравнений на производящие функции.

Интегралом функции A называется функция Операция дифференцирования обратна операции интегрирования:

Операция же интегрирования производной приводит к функции с нулевым свободным членом, и поэтому результат, вообще говоря, отличается от исходной функции, Замечание 1.5.2. Нетрудно видеть, что для функций, представимых в виде степенных рядов, формула для производной соответствует обычной. Формула для интеграла соответствует значению интеграла с переменным верхним пределом Последнее замечание позволяет подсчитывать производящие функции для большого числа разнообразных последовательностей. Вычислим, например, обратную функцию к экспоненте. Эта функция называется натуральным логарифмом и обозначается ln(·), ln(es ) = s. Разложение экспоненты начинается с 1, поэтому аргумент логарифма нужно сдвинуть в 1:

(свободный член в разложении равен 0, поскольку ln(1) = 0).

Для вычисления коэффициентов разложения логарифма воспользуемся тем, что производная функции и обратной к ней в произведении дают 1.

Действительно, если A(B(s)) = s, то A (B(s))B (s) = 1 и откуда, интегрируя, Мы будем чаще пользоваться следующим вариантом последней формулы:

Отметим, что бином Ньютона удобно записывать с помощью экспоненты:

В качестве еще одного примера, вычислим производящую функцию Умножая функцию f на s2 и дифференцируя, получаем откуда 1.6 Алгебра и топология формальных степенных рядов Ниже приводятся некоторые сведения из теории формальных степенных рядов.

Они не используются в книге, но могут помочь обозначить место этой теории в ряду других математических дисциплин.

С алгебраической точки зрения множество формальных степенных рядов (с коэффициентами в поле комплексных, вещественных или рациональных чисел) образует (бесконечномерное) векторное пространство над этим полем. Операция умножения рядов превращает это векторное пространство в алгебру, которая обозначается C[[s]] (соотв., R[[s]] или Q[[s]]). Важную роль в этой алгебре играют идеалы, т.е. такие подмножества I C[[s]], что f I I для любого элемента f C[[s]]. В алгебре формальных степенных рядов все идеалы главные, т.е. все они имеют вид f C[[s]] для некоторой функции f C[[s]]. Более того, все идеалы легко описать: они имеют вид Ik = sk C[[s]], k = 0, 1, 2. (т.е. идеал Ik состоит из всех формальных степенных рядов, делящихся на sk ). Эти идеалы вложены друг в друга, I1 I2 I3.

Один из идеалов Ik, а именно I1, максимален: он не содержится ни в каком другом идеале, отличном от всей алгебры. Алгебра с одним максимальным идеалом называется локальной. Свойство локальности сближает алгебру формальных степенных рядов с координатными алгебрами в окрестности начала координат (алгебрами ростков бесконечно дифференцируемых или аналитических функций).

Факторалгебры C[[s]]/Ik называются алгебрами срезанных многочленов и тоже очень важны.

В алгебре формальных степенных рядов определена топология. Открытыми в этой топологии являются идеалы Ik, k = 0, 1, 2. и пустое множество. Введенная топология определяет понятие сходимости: последовательность F1 (s), F2 (s).

сходится к формальному степенному ряду F (s), если для любого числа n существует такой номер N, что все коэффициенты при степенях s0, s1. sn у рядов Fk (s) при k N совпадают с коэффициентами при соответствующих степенях у ряда F (s). Многочлены формальные степенные ряды, в которых лишь конечное число коэффициентов отлично от нуля, образуют векторное подпространство (и подалгебру) в алгебре формальных степенных рядов, которое плотно относительно введенной топологии. Все операции над рядами сложение, умножение, подстановка, деление, определяются для многочленов обычным образом, а на степенные ряды продолжаются так, чтобы продолженные операции были непрерывны. Такие продолжения существуют и единственны.

Задача 1.1. Перестановка двух элементов множества Nn = , оставляющая остальные элементы на месте, называется транспозицией. Найдите число транспозиций в группе Sn.

Задача 1.2. Всякую перестановку можно разложить в произведение независимых циклов. Такое разложение однозначно с точностью до порядка умножаемых циклов. В частности, набор длин этих циклов определяется перестановкой однозначно. Например в Sn, для транспозиции набор длин циклов состоит из одной двойки и n 2 единиц, а набор длин циклов тождественной перестановки состоит из n единиц. Сумма длин циклов равна числу элементов перестановки; другими словами, набор этих длин является разбиением длины перестановки. Перестановка называется длинным циклом, если ее разложение в произведение независимых циклов состоит из единственного цикла. Длина такого цикла, разумеется, совпадает с длиной перестановки. Найдите число длинных циклов в группе Sn.

Задача 1.3. Найдите число элементов в Sn, отвечающих разбиениям а) 1n4 22 (произведение транспозиций двух пар элементов, среди которых нет общих); б) 1n3 31 (циклов длины 3).

Задача 1.4. Докажите, что если функция f = f (s), представимая в виде степенного ряда, преобразует сумму в произведение, т.е. тождественно выполняется равенство f (s + t) = f (s)f (t), и f (0) = 0, то она тождественно равна 0.

Задача 1.5. Докажите, что логарифм преобразует произведение в сумму:

Задача 1.6. Докажите следующие равенства: а) sin2 s + cos2 s = 1;

б) (1 + s) (1 + s) = (1 + s)+ ; в) ln((1 s) ) = ln(1 s).

Задача 1.7. Пусть p = p(t) многочлен. Чему равны а) exp(a dt )p(t)? б) sin dt p(t)? в) cos dt p(t)? г) exp( dt + dt2 )p(t)? д) exp( dt dt2 )p(t)?

Задача 1.8. Докажите, что степенные ряды вида образуют группу относительно операции подстановки.

Задача 1.9. Пусть функция B = B(s) = b1 s + b2 s2 + b3 s3 +. такова, что b1 = 0. Докажите, что правая обратная функция A(t) и левая обратная функция C(t) совпадают. Эта общая обратная функция обозначается через B 1 (t).

функции для последовательностей Задача 1.11. Вычислите три первых ненулевых коэффициента функций, обратных относительно операции подстановки к следующим функциям: а) sin s;

Задача 1.12. Найдите разложение арксинуса:

Задача 1.13. Докажите, что не существует такого формального степенного ряда A(s), что sA(s) = 1.

Задача 1.14. Докажите, что если каждый из степенных рядов A(s) и B(s) отличен от нуля, то и их произведение A(s)B(s) отлично от нуля.

Задача 1.15. Пусть ряды A(s) = a0 + a1 s + a2 s2 +. a0 = 0, и B(s) = b1 s+b2 s2 +. b1 = 0, имеют целые коэффициенты. При каких условиях на коэффициенты этих рядов ряды A(s), B 1 (s) имеют целые коэффициенты?

Задача 1.16. Найдите все решения дифференциальных уравнений а) F (s) = aF (s), б) F (s) = F 2 (s).

Задача 1.17. Найдите производящие функции для последовательностей Задача 1.18. Докажите, что для ряда B = B(t) с нулевым свободным членом, B(0) = 0, и произвольного ряда A = A(s) (формула замены переменных в интеграле).

Задача 1.19. Докажите формулу Ньютона–Лейбница Задача 1.20. Докажите формулу интегрирования по частям:

Задача 1.21. Докажите, что при заданном натуральном значении k любое натуральное число n единственным образом представимо в виде где 0 b1 b2 · · · bk. Например, при k = 1 это верно, так как всякое число n допускает единственное представление в виде n = n. Нижеследующие задачи взяты из знаменитого сборника Полиа и Сеге “Теоремы и задачи из анализа” в скобках указан номер задачи в этом сборнике.

Задача 1.22 (I.16). Определите коэффициент an в разложении Задача 1.23 (I.33). Докажите тождество Задача 1.24 (I.37). Докажите тождество Задача 1.25 (I.38). Докажите тождество Задача 1.26 (I.39). Докажите тождество Задача 1.27 (I.41). Положим Докажите, что тогда (Обратите внимание на то, что функции и, хотя и представляют собой бесконечные суммы, не являются формальными степенными рядами, а значения (n) и (n) при натуральном аргументе n корректно определены, поскольку при подстановке в ряды натурального значения аргумента все слагаемые кроме конечного числа обращаются 0.) Задача 1.28 (I.42). Докажите тождество Задача 1.29 (I.44). Докажите, что для любого многочлена f выполняется равенство Глава Рациональные производящие функции Рациональная функция это отношение двух многочленов. Рациональные производящие функции образуют большой класс производящих функций.

Производящие функции, встречающиеся на практике, очень часто принадлежат к этому классу. Например, как мы увидим, рациональными оказываются производящие функции для языков, распознаваемых конечными автоматами (регулярных языков, см. главу 12). Кроме того, теория рациональных производящих функций совпадает, по существу, с теорией решений обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

2.1 Геометрическая прогрессия Простейшая рациональная функция отвечает простейшей последовательности коэффициентов постоянной последовательности 1, 1, 1. Производящая функция для этой последовательности имеет вид и ее несложно выразить через элементарные производящие функции, которые мы рассматривали в предыдущей главе. Действительно, умножив обе части равенства (2.1) на s, получим откуда Тот же вывод с незначительными изменениями проходит для произвольной последовательности вида a, ar, ar2, ar3. :

откуда Приведенные выше выкладки представляют собой не что иное, как известный вывод формулы для суммы бесконечной геометрической прогрессии. Результат этих выкладок согласуется, как нетрудно видеть, с разложением бинома (1 s)1.

2.2 Последовательность Фибоначчи Знаменитая последовательность Фибоначчи определяется своими начальными членами f0 = f1 = 1 и соотношением Из этого соотношения легко получить начало последовательности Фибоначчи в которой каждый член, начиная с f2, равен сумме двух предыдущих. Чтобы вывести формулу производящей функции умножим обе части равенства (2.5) на s + s2. Получим или откуда Полученную формулу можно понимать как композицию двух производящих функций, а именно, (1 s)1 и s + s2, т.е.

Такое разложение, однако, не очень удобно, так как в его членах перемешаны различные степени переменной s и оно не дает явной формулы для коэффициентов. Полезнее представить дробь в виде суммы двух элементарных дробей:

где s1 = (1 + 5)/2, s2 = (1 5)/2 корни уравнения 1 s s2 = 0.

Из последнего разложения немедленно получаем Поэтому Здесь мы воспользовались тем, что s1 s2 = 1.

Число |1/s1 | = |s2 | = 1+2 5 1.6180339887 называется золотым сечением. Прямоугольник, отношение сторон которого равно золотому сечению, можно разрезать на два подобных ему одинаковых прямоугольника.

Другой способ вывода производящей функции для чисел Фибоначчи использует элементарные понятия линейной алгебры. Рассмотрим пару последовательных чисел Фибоначчи fn, fn+1 как координаты вектора в двумерном вещественном пространстве R2 :

Тогда соотношение (2.4) можно интерпретировать как правило перехода от вектора fn+1 к вектору fn+1 :

Последнее преобразование линейно, и его можно записать в матричном виде:

Переход от вектора fn+2 к вектору fn+3 осуществляется путем повторного применения преобразования, и т.д. Таким образом, производящая функция для векторной последовательности Фибоначчи принимает вид Здесь через I обозначена единичная матрица, I =, и мы применили к векторной производящей функции вывод производящей функции для геометрической прогрессии. Единственное отличие в результате: выражение (I s)1 понимается как обратная матрица к матрице I s.

Явное выражение для чисел Фибоначчи можно получить, вычислив явно матрицу n для произвольного n. Для этого матрицу нужно диагонализировать, представив ее в виде где диагональная матрица, а матрица L невырождена. Имеем, Отсюда, воспользовавшись соотношением и выражениями для чисел s1, s2, получаем равенство (2.7).

2.3 Рекуррентные соотношения и рациональные производящие функции Последовательность Фибоначчи определяется линейным рекуррентным соотношением fn+2 = fn+1 + fn. Исходя из этого соотношения и начальных значений последовательности, мы смогли найти явный вид производящей функции. Производящая функция оказалась рациональной отношением двух многочленов. На самом деле в нашем выводе нигде не использовался конкретный вид рекуррентного соотношения. Действуя точно таким же образом, мы можем доказать аналогичную теорему о производящей функции для произвольной последовательности, задаваемой линейным рекуррентным соотношением.

Теорема 2.3.1. Пусть последовательность an задается линейным рекуррентным соотношением порядка k с постоянными c1. ck :

и числа a0, a1. ak1 заданы. Тогда производящая функция A(s) = a0 + a1 s + a2 s2 +. рациональна, A(s) = Q(s), причем степень многочлена Q равна k, а степень многочлена P не превосходит k 1.

Доказательство. Доказательство этой теоремы повторяет, по существу, рассуждение для чисел Фибоначчи. Умножив производящую функцию A(s) на c1 s + c2 s2 + · · · + ck sk, получим некоторый многочлен, степень которого не превосходит k 1. Дейгде P ствительно, коэффициент при sn+k в правой части первого равенства совпадает с правой частью выражения (2.8). Отсюда непосредственно получаем утверждение теоремы.

Отметим, что в процессе доказательства теоремы 2.3.1 был выписан явный вид многочлена Q, стоящего в знаменателе рациональной производящей функции:

Этот многочлен определяется рекуррентным соотношением, а для вычисления числителя функции нам необходимо знать начальные члены последовательности.

Производящая функция для чисел Фибоначчи представима в виде линейной комбинации двух дробей 1/(1 s/s1 ) и 1/(1 s/s2 ). Нетрудно видеть, что аналогичное утверждение справедливо и для любой рациональной функции:

Теорема 2.3.2. Пусть F (s) = P (s)/Q(s) представление рациональной производящей функции в виде отношения двух взаимнопростых многочленов, Q(0) = 1. Тогда F представляется в виде суммы многочлена и линейной комбинации элементарных дробей вида 1/(1 qi s)ki, где значения qi обратны (комплексным) корням многочлена Q, а показатели степени ki не превосходят кратности корня 1/qi. Такое представление единственно.

Действительно, пусть d1. dm кратности попарно различных комплексных корней многочлена Q, а q1. qm величины, обратные к этим корням. Представим многочлен Q в виде произведения где каждый из многочленов Qi (s) имеет единственный корень 1/qi, Qi (s) = (1qi s)di. Существует константа cm, такая, что знаменатель разности F (s) cm /(1 qm s)dm имеет степень, меньшую чем Q. Эта константа равна значению рациональной функции в точке s = 1/qm. Теперь теорема доказывается индукцией по степени знаменателя.

Вывод векторной производящей функции для последовательности Фибоначчи также непосредственно переносится на случай произвольной рекуррентной последовательности. В общем случае двумерный вектор следует заменить k-мерным вектором а матрица A перехода к следующему k-мерному вектору, соответствующая рекуррентному соотношению, будет выглядеть так:

Таким образом, мы получаем векторную производящую функцию Матрица, задающая рекуррентное соотношение для чисел Фибоначчи, приводится к диагональному виду линейным преобразованием. Для произвольной матрицы A это, вообще говоря, не так. Это можно сделать, лишь если ее собственные числа попарно различны. Однако в общем случае ее можно привести к жордановой нормальной форме, степени которой также несложно вычислить.

Оказывается, рациональные производящие функции в точности совпадают с производящими функциями для последовательностей, задаваемых линейными рекуррентными соотношениями. Точнее, справедлива следующая обратная теорема.

Теорема 2.3.3. Если производящая функция A(s) = a0 +a1 s+a2 s2 +. раP (s) циональна, A(s) = Q(s), где многочлены P и Q взаимно просты, Q(0) = 0, то начиная с некоторого номера n последовательность a0, a1, a2. задается линейным рекуррентным соотношением где k степень многочлена Q, а c1, c2. ck некоторые константы.

Доказательство читателю предлагается провести самостоятельно.

2.4 Неоднородные рекуррентные соотношения В предыдущем параграфе мы построили рациональные производящей функции для последовательностей, заданных линейными рекуррентными соотношениями с постоянным коэффициентами. Эти соотношения линейны и однородны каждое слагаемое в правой их части представляет собой член последовательности, умноженный на некоторую константу. Наше построение несложно обобщить на случай неоднородных соотношений. Рассмотрим последовательность 2, 3, 5, 9, 17. заданную соотношением с начальным условием a0 = 2. Это рекуррентное соотношение порядка очередной член последовательности определяется предыдущим членом.

Однако в отличие от рекуррентных соотношений, рассматривавшихся нами ранее, в правой части соотношения (2.10) имеется неоднородная добавка константа 1. Как следствие, теорема 2.3.1 напрямую неприменима.

Для того, чтобы вычислить производящую функцию выпишем рекуррентное соотношение (2.10) для члена проследовательности с номером n + и, вычтя из него исходное соотношение, получим В результате мы свели соотношение первого порядка (2.10) к линейному рекуррентному соотношению второго порядка, а такие соотношения мы уже умеем решать.

Ясно, как обобщить это рассуждение на случай рекуррентного соотношения произвольного порядка, в котором добавка представляет собой произвольный многочлен.

Теорема 2.4.1. Пусть последовательность a0, a1. задана линейным неоднородным рекуррентным соотношением с постоянными коэффициентами порядка k, т.е. an+k = c1 an+k1 + c2 an+k2 + · · · + ck an + hm (n), где hm (n) есть многочлен степени m от номера n члена последовательности.

Тогда последовательность an задается однородным линейным рекуррентным соотношением порядка n + m + 1 с постоянными коэффициентами и, как следствие, производящая функция A(s) для нее рациональна.

Доказательство. Пусть многочлен hm имеет вид Член последовательности с номером n + k + 1 имеет вид Разность этого и предыдущего членов равна an+k+1 an+k = c1 an+k + (c2 c1 )an+k1 + · · · ck an + (hm (n + 1) hm (n)).

Тем самым, мы представили член последовательности с номером n + k + 1 в виде линейной комбинации предыдущих k + 1 членов последовательности, к которой прибавлен многочлен hm (n + 1) hm (n). Этот многочлен имеет вид т.е. коэффициент при nm в нем равен 0 и его степень как многочлена от n меньше m. Теперь мы можем рассуждать по индукции, последовательно уменьшая степень многочлена h в правой части рекуррентного соотношения, пока она не станет равной 0 случай, обращаться с которым мы уже научились.

2.5 Произведение Адамара рациональных производящих функций Одно из наиболее привлекательных свойств рациональных производящих функций их замкнутость относительно произведения Адамара.

Определение 2.5.1. Произведением Адамара производящих функций называется производящая функция Таким образом, произведение Адамара двух последовательностей это последовательность, состоящая из почленных произведений соответственных членов этих последовательностей. Необходимость в производящей функции для произведения Адамара возникает при перечислении пар объектов одинакового порядка: если число объектов первого типа равно an, а число объектов второго типа bn, то число пар объектов, составленных из элементов первого и второго типа, равно an bn.

Теорема 2.5.2. Произведение Адамара двух рациональных производящих функций рационально.

Для доказательства этой теоремы нам понадобится новая характеризация рациональных производящих функций.

Лемма 2.5.3. Производящая функция для последовательности a0, a1, a2. рациональна тогда и только тогда, когда существуют такие числа q1. ql и такие многочлены p1 (n). pl (n), что Выражение в правой части равенства (2.11) называется квазимногочленом от переменной n.

Доказательство. Заметим прежде всего, что производящая функция (1 qs)k имеет вид Коэффициент при sn в этой производящей функции равен где Pk1 (n) = (n + 1)(n + 2). (n + k 1) многочлен от n степени k 1. Всякая рациональная функция от переменной s представляется в виде суммы многочлена и линейной комбинации элементарных дробей вида ( qi s)ki, поэтому коэффициенты соответствующей производящей функции являются квазимногочленами.

Наоборот, предположим, что коэффициенты производящей функции, начиная с некоторого номера, представляются в виде квазимногочлена. Покажем, что в случае квазимногочлена p(n)q n соответствующая производящая функция рациональна. Пусть степень многочлена p равна k 1. Многочлены P0, P1. Pk1, определенные равенством (2.12), образуют базис в пространстве многочленов степени не выше k 1. И в самом деле, любая последовательность многочленов степеней 0, 1. k 1 образует базис в этом пространстве. Поэтому многочлен p представляется в виде линейной комбинации многочленов Pi и соответствующая производящая функция есть просто линейная комбинация функций (1qs)j, j = 0, 1. k 1.

Для произвольного квазимногочлена мы получаем линейную комбинацию функций такого вида при разных qi. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 2.5.2. Для завершения доказательства теоремы осталось заметить, что произведение квазимногочленов является квазимногочленом. Это утверждение непосредственно вытекает из формулы (2.11).

2.6 Асимптотика коэффициентов рациональных При решении перечислительных задач зачастую приходится интересоваться поведением числа элементов множества при росте перечисляющего параметра. Это особенно важно, если мы хотим, например, перечислять объекты на компьютере и пытаемся оценить время работы программы.

Определение 2.6.1. Функции f : N R и g : N R имеют одинаковую асимптотику, или одинаковый рост, при n, если существует предел limn f (n) и он равен 1. Функция f растет медленнее функции g, если предел limn f (n) существует и он равен 0. В последнем случае говорят также, что функция g растет быстрее функции f.

При вычислении асимптотики некоторые функции мы считаем “образцами”, а другие “сводим” к этим образцам. В качестве образцов берутся обычно наиболее простые монотонные функции, поведение которых хорошо изучено. Образцами могут служить • экспонента an при различных значениях основания a 0;

• степенная функция n при различных значениях показателя ;

а также произведения и композиции этих функций в различных комбинациях.

Нетрудно расположить функции-образцы в порядке убывания скорости роста:

Пример 2.6.2. Коэффициенты производящей функции ln(1 s)1 = s + 2 s + 3 s +. растут, как n (в этом случае естественнее было бы говорить “убывают, как n ”).

Пример 2.6.3. Асимптотика произвольного многочлена p(n) = c0 nk +c1 nk1 + · · · + cn, c0 0, совпадает с асимптотикой его старшего члена c0 nk.

В этом разделе мы найдем асимптотику коэффициентов рациональных производящих функций. Согласно лемме 2.5.3, последовательность коэффициентов рациональной производящей функции, начиная с некоторого момента, является квазимногочленом (2.11), в котором q1. ql некоn торые комплексные числа. Если |qi | |qj |, то последовательность pi (n)qi растет медленнее, чем pj (n)qj какими бы ни были ненулевые многочлены pi (n) и pj (n). Действительно, отношение этих последовательностей стремится к нулю, поскольку qj 1, и n-я степень этого числа стремится к нулю быстрее любой заданной степени числа n. Тем самым, асимптотика квазимногочлена (2.11) определяется слагаемыми, содержащими qi с самыми большими модулями.

В свою очередь, асимптотика многочлена p(n)q n определяется старшим мономом многочлена p, поэтому асимптотика любого слагаемого pi (n)qi в квазимногочлене совпадает с асимптотикой монома ci n qi, где ci n старший моном многочлена pi. Тем самым, мы приходим к следующему утверждению.

Утверждение 2.6.4. Если в квазимногочлене (2.11) имеется единственn ное слагаемое pi (n)qi с наибольшим по модулю значением qi и многочленом pi наибольшей степени, то асимптотика этого квазимногочлена совпадает с асимптотикой монома |ci |ndi |qi |n, где ci ndi старший моном многочлена pi.

Если же таких слагаемых несколько, то вопрос об асимптотике становится более тонким. Например, в последовательности, задаваемой квазимногочленом (2)n + 2n (отвечающим значениям q1 = 2, q2 = 2, deg p1 = deg p2 = 0), все члены с нечетными номерами равны 0, в то время, как члены с четными номерами n = 2k растут как 2 · 22k. Поэтому вопрос об асимптотике таких квазимногочленов требует более аккуратной постановки и более тщательного исследования.

Приведенный пример показывает, что при наличии нескольких значений qi с наибольшим модулем, степени многочленов при которых совпадают, разные подпоследовательности значений многочлена имеют различную асимптотику. Поэтому речь может идти только об асимптотике “наиболее возрастающих” подпоследовательностей. Это те подпоследовательности, в которых модули слагаемых суммируются (или почти суммируются).

Для таких подпоследовательностей утверждение 2.6.4 принимает следующий вид.

Утверждение 2.6.5. Если в квазимногочлене (2.11) имеется несколько слагаемых pi (n)qi с наибольшим по модулю значением qi и многочленом pi наибольшей степени d, то последовательность значений этого квазимногочлена содержит подпоследовательность, асимптотика которой совпадает с асимптотикой монома cnd |q|n, где c = |ci | сумма модулей старших коэффициентов многочленов pi, d общее значение модулей чисел qi. Это наибольшая возможная асимптотика подпоследовательности значений квазимногочлена.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству утверждения 2.6.4, и мы его не приводим.

Для квазимногочлена (2.11), отвечающего рациональной функции Q(s), постоянные qi это величины, обратные к корням многочлена Q, т.е. к полюсам рациональной функции. В свою очередь, степень многочлена pi это уменьшенный на 1 порядок полюса функции Q(s) в точке s = 1/qi. Поэтому утверждение 2.6.4 можно переформулировать следующим образом.

Утверждение 2.6.6. Если у рациональной функции Q(s) среди ближайших к началу координат полюсов имеется единственный полюс 1/q наибольшего порядка k, то асимптотика ее коэффициентов совпадает с асимптотикой коэффициентов элементарной дроби c/(1 qs)k в разложении этой функции в сумму элементарных дробей.

Утверждение 2.6.5 допускает аналогичную переформулировку.

В частности, для рациональной функции, задаваемой рекуррентным соотношением (2.8), асимптотика ее коэффициентов определяется ближайшими к началу координат корнями многочлена Q(s) = 1 c1 s c2 s2 · · · ck sk и их порядками. Например, для последовательности Фибоначчи Q(s) = 1 s s2, поэтому ближайший к началу координат корень вещественный, равен s1 = (1 + 5)/2 и имеет порядок 1. Значит, числа Фибоначчи имеют асимптотику c(1/s1 )n для некоторой константы c. Мы вычислили эту константу она оказалась равна (1 + 5)/2 5.

Задача 2.1. Рекуррентное правило образования последовательности Фибоначчи позволяет продолжить ее “назад” для отрицательных значений индекса. Так, например, f1 = 0. Чему равно f10 ?

Задача 2.2. Рациональны ли производящие функции для последовательностей Найдите соответствующие производящие функции в тех случаях, когда они рациональны.

Задача 2.3. Найдите представление в виде суммы элементарных дробей слеs 1+2s дующих рациональных функций: а) 1s2s2 ; б) 13s+4s3 ; в) 13s3.

Задача 2.4. Найдите представление в виде квазимногочлена и линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами для коэффиs 1+2s циентов следующих степенных рядов: а) 1s2s2 ; б) 13s+4s3 ; в) 13s3.

Задача 2.5. Известно, что следующие последовательности задаются линейными рекуррентными соотношениями с постоянными коэффициентами порядка 3: а) 1, 2, 6, 18, 52, 152, 444. ; б) 1, 2, 2, 6, 8, 16, 28, 48, 88. в) 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27. Найдите эти соотношения и проверьте, что выписанное начало последовательности действительно им подчиняется.

Задача 2.6. Найдите производящие функции и линейные рекуррентнные соотношения с постоянными коэффициентами для следующих последовательностей, заданных квазимногочленами: а) an = 2 · 3n 3 · 2n ; б) bn = Задача 2.7. Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите для них тождества Задача 2.8. Докажите теорему 2.3.3.

Задача 2.9. Докажите, что в жордановой нормальной форме матрицы из уравнения (2.9) каждому собственному числу соответствует одна жорданова клетка, размер которой равен кратности этого собственного числа как корня характеристического многочлена. [Указание: Воспользуйтесь связью между кратностью собственного числа и порядком нуля многочлена в знаменателе рациональной производящей функции.] Задача 2.10. Найдите производящие функции и явные выражения для элементов последовательностей, заданных рекуррентными формулами:

а) an+2 = 4an+1 4an, a0 = a1 = 1;

б) an+3 = 3an+2 3an+1 an, a0 = 1, a1 = a2 = 0;

в) an+3 = 2 an+2 1 an, a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2.

Задача 2.11. Найдите производящую функцию для чисел Фибоначчи с четными номерами n f2n sn.

Задача 2.12. Найдите производящую функцию для последовательности 2, 3, 5, 9, 17. заданную неоднородным линейным рекуррентным соотношением an+1 = 2an 1.

Задача 2.13. Для следующих последовательностей, заданных неоднородными линейными рекуррентными соотношениями, найдите задающие их однородные линейные рекуррентные соотношения и производящие функции: а) an+1 = an + 2, a0 = 1; б) an+2 = an + n + 1, a0 = 1, a1 = 0; в) an+2 = an+1 an + n2 + 1, a0 = 1, a1 = 0.

Задача 2.14. Найдите произведения Адамара функций от s Задача 2.15. Найдите производящие функции для последовательностей, заданных рекуррентными соотношениями а) Jn = Jn1 +2Jn2 (1, 1, 3, 5, 11. );

б) Tn = Tn1 + Tn2 + Tn3 (1, 1, 2, 4, 7. “числа Трибоначчи”).

Задача 2.16. Докажите, что производящая функция ln(1 s) не является рациональной а) воспользовавшись известной асимптотикой ее коэффициентов; б) воспользовавшись тем, что знаменатель ее производной 1/(1 s) имеет в точке s = 1 нуль кратности 1.

Задача 2.17. Докажите, что производящая функция, обратная к функции G(s) = s + s2 (т.е. функция, выражающая s через t = G(s)), не является рациональной.

Задача 2.18. Найдите произведение Адамара Задача 2.19. Докажите, что множество формальных степенных рядов, все коэффициенты которых отличны от 0, образует группу относительно произведения Адамара.

Задача 2.20. Обозначим через an число разбиений полоски шириной 1 и длиной n квадратиков на части, каждая из которых является либо квадратиком 1 1, либо домино 1 2. Например, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 5.

Найдите производящую функцию для последовательности an.

Задача 2.21. Обозначим через bn число разбиений полоски шириной 2 и длиной n квадратиков на домино 1 2. Например, b0 = 1, b1 = 1, b2 = 2, b3 = 3. Найдите производящую функцию для последовательности bn.

Задача 2.22. Обозначим через cn число разбиений полоски шириной 3 и длиной n квадратиков на домино 1 2. Например, c0 = 1, c1 = 0, c2 = 3, c3 = 0. Найдите производящую функцию для последовательности cn.

Задача 2.23. Обозначим через dn число разбиений стоимости n полоски шириной 2 и длиной несколько квадратиков на домино 1 2. Здесь стоимость замощения равна h + 2v, где h количество горизонтальных, а v количество вертикальных доминошек в замощении. Например, d0 = 1, d1 = 0, d2 = 2, d3 = 0, d4 = 4. Найдите производящую функцию для последовательности Задача 2.24. Обозначим через tn число разбиений полоски шириной 1 и длиной n квадратиков на части, каждая из которых является либо квадратиком 1 1, либо домино 1 2, либо тримино 1 3. Например, t1 = 1, t2 = 2, t3 = 4, t4 = 7. Найдите производящую функцию для последовательности Задача 2.25. Найдите производящую функцию для количества лесенок площадью n клеток на клетчатой плоскости (см. Рис. 2.1), состоящих из не более, чем а) двух ступенек; б) трех ступенек. (Высота каждой ступеньки равна 1, и при движении снизу вверх ступеньки укорачиваются.) Рис. 2.1: Лесенка из трех ступенек, состоящая из 10 клеток Задача 2.26. Преобразованием Пфаффа последовательности , n = 1, 2. называется последовательность pn = Pf(), состоящая из пфаффианов (пфаффиан кососимметрической матрицы равен квадратному корню из ее определителя). Например, первые члены преобразования Пфаффа последовательности степеней двойки 1, 2, 4. 2n1. равны Докажите, что преобразование Пфаффа переводит а) последовательность в последовательность единиц 1, 1, 1. ; б) последовательность в последовательность единиц 1, 1, 1. ; в) последовательность Фибоначчи Fibn в последовательность степеней двойки 1, 2, 4. 2n1.

Найдите преобразование Пфаффа последовательностей г) Jn и д) Tn из задачи 2.15.

Задача 2.27. Полимино это область на клетчатой плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной, идущей по сторонам клеток. (Два полимино одинаковы, если одно можно получить из другого сдвигом.) Полимино называется стековым, если нижние горизонтальные отрезки его границы образуют один отрезок (см. рис. 2.2). Докажите, что число стековых полимино с периметром 2n + 2 равно Fib2n2. На рис. 2.3 изображены все стековых полимино с периметром 8 (n = 3).

Задача 2.28. (Фибоначчиева система счисления) Докажите, что любое натуральное число единственным образом представляется в виде a1 f1 +a2 f2 +. где fn числа Фибоначчи, а каждое из чисел ai равно нулю или единице, причем единиц в сумме конечное число и два идущих подряд элемента последовательности ai не могут равняться единице. Придумайте алгоритмы перевода чисел из фибоначчиевой системы счисления в позиционную и обратно, а также алгоритмы сложения и умножения чисел в этой системе счисления.

Задача 2.29. Пусть рациональные производящие функции, заданные несократимыми дробями, их произведение Адамара, представленное в виде несократимой дроби. Что можно сказать про многочлен Q, если многочлены Q1 и Q2 известны?

Задача 2.30. Сколько цифр в десятичной записи числа Фибоначчи с номером а) 100; б) 1000?

Задача 2.31. Какую наибольшую асимптотику может иметь подпоследовательность последовательности коэффициентов производящей функции Глава Перечисление путей на графах Многие последовательности натуральных чисел полезно представлять себе как последовательности, перечисляющие пути в некоторых графах. При этом вид графа оказывается тесно связан со свойствами производящих функций, отвечающих данным последовательностям. Задачи о перечислении путей часто встречаются в статистических моделях математической физики. В этой главе мы рассмотрим примеры таких перечислений.

3.1 Пути в графах Граф представляет из себя набор вершин, некоторые из которых соединены ребрами. Часто удобно представлять себе граф нарисованным на плоскости (см. рис. 3.1). Среди перечислительных задач, о которых мы будем говорить, есть задачи перечисления путей в графе. Например, сосчитаем количество различных путей ладьи из клетки A в клетку B на доске, изображенной на рис. 3.2 а), при условии, что ладья может ходить только вправо или вверх в клетку, соседнюю с той, в которой она находится.

Такие задачи проще всего решаются следующим способом. Поставим 1 в каждую клетку, до которой из A можно дойти за один шаг. Затем поставим числа во все клетки, до которых можно дойти за один шаг из этих клеток.

Эти числа равны суммам всех единиц в клетках, из которых можно попасть в эти. Этот процесс можно продолжить и дальше, пока мы не доберемся до Рис. 3.2: а) Шахматная доска с вырезом и б) подсчет количества путей ладьи, ведущих из клетки A в клетку B; в каждой клетке указано количество путей из A в эту клетку клетки B, см. рис. 3.2 б). Число 100 сумма чисел в соседних клетках слева и снизу, которое должно стоять в этой клетке, и будет интересующим нас количеством различных путей. Разнообразные варианты этого простого рассуждения играют принципиальную роль в решении многочисленных задач.

3.2 Пути, перечисляемые рациональными производящими функциями Построим граф, пути в котором перечисляются последовательностью Фибоначчи. Мы рассмотрим два варианта построения такого графа. В первом варианте расположим (бесконечное) множество вершин графа слева направо и будем считать вершины занумерованными числами 0, 1, 2, 3. Соединим каждую вершину ребром с ее правым соседом, а также с вершиной, следующей за ее правым соседом (см. рис. 3.3). (Мы делаем исключение, не проводя горизонтальную стрелку из первой вершины во вторую начальные значения последовательности Фибоначчи заданы и не подчиняются рекуррентному правилу.) На каждом ребре поставим стрелку, указывающую направление движения по нему. Для каждой вершины графа подсчитаем различные пути, идущие из двух начальных вершин в данную. Ясно, что число различных путей, ведущих из начальных вершин в вершину с номером n + 1, n 1, равно сумме числа путей, ведущих в вершину с номером n 1, и числа путей, ведущих в вершину с номером n. Тем самым, числа путей удовлетворяют тому же рекуррентному соотношению, что и числа Фибоначчи, и тем же начальным условиям; поэтому последовательность этих чисел совпадает с последовательностью Фибоначчи.

Другой способ построения графа состоит в следующем. Нарисуем вместо одной две бесконечные последовательности вершин, одна над другой.

Для удобства мы верхнюю последовательность сдвинем на одну позицию вправо (см. рис. 3.4). Из каждой вершины нижнего ряда выходят стрелки в Рис. 3.3: Бесконечный граф для изображения путей, перечисляемых числами Фибоначчи соседние с ней справа вершины обоих рядов. Из каждой вершины верхнего ряда выходит стрелка в соседнюю справа вершину нижнего ряда. Число путей в этом графе, идущих из начальной точки в точку с номером n в нижнем ряду точек, равно n-ому числу Фибоначчи. Над ним стоит (n 1)-е число Фибоначчи. Пару чисел в графе, стоящих одно над другим, можно рассматривать как координаты двумерного вектора. Тогда преобразование перехода от очередной пары точек, образующих вертикальный столбец, к следующей паре есть не что иное как линейное преобразование, которое мы рассматривали в п. 2.2: верхнее число в новом столбце совпадает с нижним числом предыдущего столбца, а нижнее равно сумме верхнего и нижнего чисел из предыдущего столбца.

B 1 rB 1 rB 2 rB 3 rB 5 rB 8 rB13r21r34r

Видео:Закон БернуллиСкачать

E E E B B B

Рис. 3.4: Бесконечный граф из двух рядов вершин для изображения путей, перечисляемых числами Фибоначчи Обобщим нашу конструкцию с чисел Фибоначчи на произвольные рациональные производящие функции. Обобщению поддаются оба способа построения графа, однако мы будем говорить лишь о втором, который приводит к “более читаемым” картинкам. Согласно теореме 2.3.1, последовательность коэффициентов рациональной функции задается линейным рекуррентным соотношением с постоянными коэффициентами вида (2.8). В качестве примера рассмотрим последовательность, задаваемую соотношением третьего порядка с начальными условиями a0 = 1, a1 = 0, a2 = 2. Вот начало этой последовательности: 1, 0, 2, 5, 10, 22. Поскольку порядок рекурентного соотношения равен 3, вершины графа образуют три последовательности (см.

рис. 3.5). Из каждой вершины двух нижних рядов идет стрелка в вершину следующего ряда, стоящую в следующем столбике. Кроме того, из каждой вершины третьего ряда и из каждой вершины нижнего ряда, начиная с третьей, идет стрелка в вершину нижнего ряда, стоящую в следующем столбике. При этом над горизонтальными стрелками в первом ряду мы ставим число 2 “кратность”, или “вес отрезка пути”. Вместо этого мы могли бы нарисовать две стрелки, однако это загромоздило бы рисунок (загромождение было бы еще более заметно, если бы вместо коэффициента 2 стояло большее число). Точно так же мы могли бы нарисовать стрелки из второго ряда в нижний, поставив на них кратность 0, что тоже не сделало бы рисунок прозрачней.

Видео:#225. КВАТЕРНИОНЫ и углы ЭйлераСкачать

B B B B B B B B

Рис. 3.5: Бесконечный граф для изображения путей, перечисляемых коэффициентами рациональной функции Теперь ясно, как нарисовать граф, отвечающий произвольной рациональной функции. Кратность ребра при этом может быть произвольным числом, не обязательно натуральным (например, кратность может быть дробной или отрицательной). Эта кратность равна соответствующему коэффициенту в рекуррентном соотношении, задающем коэффициенты разложения рациональной функции. С помощью подобного графа легко сосчитать первые члены последовательности. Такой способ подсчета может оказаться эффективнее вычислений с помощью квазимногочленов в том случае, если нули знаменателя рациональной функции не рациональны.

3.3 Числа Каталана Порядок вычислений в арифметических выражениях задается расстановкой скобок, например, Если стереть все элементы выражения, за исключением скобок, то оставшиеся скобки образуют правильную скобочную структуру :

Вот все правильные скобочные структуры с числом пар скобок 1, 2 и 3:

Определение 3.3.1. Числом Каталана cn называется число различных правильных скобочных структур из n пар скобок.

Удобно полагать c0 = 1. Тогда последовательность чисел Каталана начинается так:

Чтобы вывести производящую функцию для чисел Каталана, найдем сначала рекуррентное соотношение для этих чисел.

Всякая правильная скобочная структура удовлетворяет следующим двум условиям:

1. число левых и правых скобок в правильной скобочной структуре одинаково;

2. число левых скобок в любом начальном отрезке правильной скобочной структуры не меньше числа правых скобок.

Наоборот, всякая (конечная) последовательность левых и правых скобок, удовлетворяющая условиям 1 и 2, является правильной скобочной структурой.

В правильной скобочной структуре все скобки разбиваются на пары:

каждой левой скобке соответствует парная ей правая. Парная правая скобка выделяется следующим правилом: это первая правая скобка справа от данной левой скобки, такая, что между выбранными двумя скобками стоит правильная скобочная структура.

Рассмотрим в правильной скобочной структуре из n + 1 пар скобок пару скобок, в которую входит самая левая скобка структуры. Тогда последовательность скобок внутри этой пары образует правильную скобочную структуру и последовательность скобок вне этой пары образует правильную скобочную структуру: (. ). где каждое многоточие обозначает некоторую правильную скобочную структуру. Если число пар скобок во внутренней структуре равно k, то во внешней структуре n k пар скобок. Наоборот, по каждой паре скобочных структур из k и n k пар скобок можно восстановить структуру из n + 1 пар скобок, заключив первую структуру в скобки и приписав к результату справа вторую структуру.

Отсюда мы получаем рекуррентное соотношение для чисел Каталана.

На этот раз соотношение оказывается нелинейным (слагаемые в правой части являются произведениями элементов последовательности):

Например, при n = Рассмотрим производящую функцию для чисел Каталана Возведя ее в квадрат и умножив результат на s, получим что дает нам квадратное уравнение на производящую функцию (Второй корень квадратного уравнения отбрасывается, так как числитель 1 + 1 4s не делится на знаменатель 2s.) Вид производящей функции (3.3) позволяет найти явную формулу для чисел Каталана. Бином Ньютона в применении к выражению (1 4s)1/2 в числителе дает откуда, умножая числитель и знаменатель на n! и сокращая на 2n+1, получаем В частности, производящая функция для чисел Каталана не является рациональной формула для числа cn показывает, что это число не является квазимногочленом от n.

Последняя формула дает и более простое (хотя и с переменными коэффициентами) рекуррентное соотношение для чисел Каталана:

Числа Каталана перечисляют самые разнообразные комбинаторные объекты. Литература, им посвященная, необозрима. Известно несколько десятков их различных определений. Приведем лишь еще две часто встречающиеся их реализации.

Рассмотрим выпуклый (n + 2)-угольник, вершины которого занумерованы против часовой стрелки числами от 0 до n+1. Диагональной триангуляцией назовем разбиение многоугольника на треугольники непересекающимися диагоналями. Всякая такая триангуляция содержит n 1 диагоналей.

На рис. 3.6 приведены все различные диагональные триангуляции четырехугольника и пятиугольника.

число триангуляций (n + 2)-угольника при n 1; положим Пусть tn t0 = 1. Рассмотрим произвольную триангуляцию и выделим треугольник, примыкающий к стороне 01 (см. рис. 3.7 а)). Пусть k номер третьей Рис. 3.6: Диагональные триангуляции 4-х и 5-угольника Рис. 3.7: а) Треугольник, примыкающий к стороне 01, и б) перенумерация вершин многоугольников разбиения вершины этого треугольника. Выделенный треугольник разбивает (n + 2)угольник на k-угольник и (n k + 3)-угольник, каждый из которых триангулирован диагоналями. Перенумеруем вершины этих многоугольников против часовой стрелки так, чтобы нумерация вершин в каждом из них начиналась с 0 (см. рис. 3.7 б)). В результате получим пару триангуляций k-угольника и (n k + 3)-угольника.

Наоборот, каждая пара триангуляций k-угольника и (nk+3)-угольника определяет триангуляцию исходного многоугольника. Поэтому и, поскольку t0 = 1, последовательность чисел tn совпадает с последовательностью Каталана.

Описанная выше процедура сопоставления триангуляции (n+2)-угольника пары триангуляций k-угольника и (n k + 3)-угольника позволяет установить и взаимно-однозначное соответствие между триангуляциями (n+2)угольника и скобочными структурами из n пар скобок. Действительно, предположим, что для всех меньших значений n такое соответствие установлено. Каждой триангуляции (n+2)-угольника мы сопоставили пару триангуляций многоугольников с меньшим числом сторон. По предположению, этой паре триангуляций соответствует пара скобочных структур. Заключим первую из этих скобочных структур в скобки и припишем к ней вторую получим новую скобочную структуру, соответствующую исходной триангуляции всего (n + 2)-угольника.

Еще одна важная реализация чисел Каталана связана с путями Дика на те. Путем Дика1 называется непрерывная ломаная, составленная из векторов (1, 1) и (1, 1), начинающаяся в начале координат и заканчивающаяся на оси абсцисс (см. рис. 3.8).

Рис. 3.8: Путь Дика и соответствующая ему скобочная структура Совершенно ясно, как устанавливается соответствие между путями Дика и правильными скобочными структурами: нужно сопоставить вектору (1, 1) левую скобку, а вектору (1, 1) правую скобку (см. рис. 3.8). Тогда условие того, что путь лежит в верхней полуплоскости и заканчивается на оси абсцисс, и есть в точности условие правильности скобочной структуры.

Поэтому Число путей Дика из 2n звеньев равно n-му числу Каталана cn.

Тем самым, числа Каталана перечисляют пути из начальной вершины в вершины нижней строки в бесконечном графе, изображенном на рис. 3.9. В отличие от графов, пути в которых перечисляются коэффициентами рациональных производящих функций, этот граф содержит бесконечно много строк вершин.

Рис. 3.9: Граф, пути в котором перечисляются числами Каталана Пути Дика и их различные вариации имеют многочисленные интерпретации и не раз еще встретятся нам в этой книге.

1 Названы в честь немецкого математика Walther von Dyck (1856–1934). Произношение и русская транскрипция имени имеют варианты; возможны написания Дайк, Дейк, Дюк.

Задача 3.1. а) В графе на рис. 3.4 в вершину с номером 5 в нижнем ряду ведет 8 различных путей. Нарисуйте все эти пути. б) В графе на рис. 3.5 в вершину с номером 4 в нижнем ряду ведет 10 “различных” путей. Нарисуйте все эти пути.

Задача 3.2. Выпишите все 14 правильных скобочных структур из четырех пар скобок.

Задача 3.3. Пути Моцкина определяются так же, как и пути Дика, только они могут включать в себя горизонтальные векторы (1, 0) (см. рис. 3.10).

значается через mn. Вот начало последовательности Моцкина: m0 = 1, m1 = 1, m2 = 2, m3 = 4. Вычислите несколько следующих членов этой последовательности. Найдите для нее рекуррентное соотношение и производящую функцию.

Задача 3.4. Придумайте алгоритмы последовательного вывода а) правильных скобочных структур; б) путей Моцкина с данным количеством звеньев.

Задача 3.5. Рассмотрим множество путей на прямой, состоящих из шагов длины 1 вправо или влево. Найдите производящую функцию для числа таких путей из n шагов, начинающихся в 0 и а) оканчивающихся в 0; б) оканчивающихся в 0 и не заходящих в отрицательную полупрямую; в) оканчивающихся в фиксированной точке N 0; г) оканчивающихся в фиксированной точке N 0 и не заходящих в отрицательную полупрямую.

Задача 3.6. Рассмотрим множество путей на прямой, состоящих из шагов длины 2 вправо и шагов длины 1 влево. Найдите производящую функцию для числа таких путей из n шагов, начинающихся в 0 и а) оканчивающихся в 0; б) оканчивающихся в 0 и не заходящих в отрицательную полупрямую;

в) оканчивающихся в фиксированной точке N 0; г) оканчивающихся в фиксированной точке N 0 и не заходящих в отрицательную полупрямую.

Задача 3.7. В таблице из двух строк длины n расставлены числа от 1 до 2n, каждое по одному разу, так, что • в каждой строке числа возрастают;

• в каждом столбце числа возрастают (т.е. число, стоящее во второй строке, больше стоящего над ним).

Подсчитайте число таких расстановок.

Задача 3.8. Преобразованием Ганкеля последовательности , n = 0, 1, 2. называется последовательность hn = H(), состоящая из определителей Например, первые члены преобразования Ганкеля последовательности Каталана 1, 1, 2, 5. Catn. равны Докажите, что преобразование Ганкеля переводит а) последовательность Каталана в последовательность единиц 1, 1, 1. ; б) последовательность Каталана, начинающуюся с члена с номером 1, в последовательность единиц 1, 1, 1. ; в) последовательность Моцкина 1, 1, 2, 4. mn. (см. задачу 3.5) в последовательность единиц 1, 1, 1. г) Найдите преобразование Ганкеля последовательности Моцкина 1, 2, 4. mn+1. начинающейся с члена с номером 1.

Задача 3.9. Полимино (см. задачу 2.27) называется параллелограммным, если его граница представляет собой объединение двух ломаных, идущих вправо и вверх из общего левого нижнего конца в общий правый верхний конец, см. рис. 3.11. Докажите, что число параллелограммных полимино периметра 2n + 2 равно числу Каталана Catn.

Рис. 3.11: а) Параллелограммное полимино б) Пять параллелограммных полимино периметра Задача 3.10. Докажите, что производящая функция для чисел Каталана допускает следующее разложение:

Задача 3.11. Рассмотрим множество путей на плоскости, состоящих из векторов (1, 0), (1, 0), (0, 1). Найдите производящую функцию для числа таких путей длины n, начинающихся в 0 и несамопересекающихся (т.е. векторы (1, 0) и (1, 0) не могут идти непосредственно друг за другом).

Задача 3.12. Найдите произведение Адамара производящей функции для чисел Каталана и производящих функций а) 1s ; б) (1s)2 ; в) (1s)3.

Глава Производящие функции нескольких переменных Понятие производящей функции естественным образом распространяется на функции нескольких переменных. Производящие функции двух переменных отвечают двухиндексным последовательностям. Такие последовательности удобно записывать в виде треугольника (соответствующего положительному квадранту целочисленной решетки).

4.1 Треугольник Паскаля Треугольник Паскаля изображен на рис. 4.1. Элементы этого треугольника перечисляют пути, идущие из его вершины в соответствующую клетку. Пути имеют вид ломаных, составленных из векторов единичной длины двух видов: идущих вправо-вниз и идущих влево-вниз.

Числа, стоящие в треугольнике Паскаля, это уже хорошо знакомые нам биномиальные коэффициенты Это несложно доказать индукцией по n. Предположим, что числа в n-й строчке треугольника совпадают с коэффициентами разложения многочлена (1+s)n. Число различных путей, ведущих в точку (n+1, k), равно сумме числа путей, ведущих в точку (n, k 1), и числа путей, ведущих в точку (n, k), cn+1,k = cn,k1 + cn,k. Поэтому число cn+1,k совпадает с коэффициентом при sk в многочлене (1 + s) · (1 + s)n = (1 + s)n+1.

Производящая функция может быть сопоставлена треугольнику Паскаля несколькими способами. Например, можно рассмотреть производящую Рис. 4.1: Треугольник Паскаля а), пути, которые он перечисляет б) и возможные нумерации его элементов в), г) функцию Второй способ соответствует нумерации элементов треугольника числом отрезков каждого типа на путях, ведущих в соответствующую точку (рис. 4.1 г)). Для этой нумерации и производящая функция имеет вид На этот раз она оказалась симметричной по переменным x и y.

И, наконец, имеется еще один способ: сопоставить треугольнику Паскаля экспоненциальную производящую функцию. Экспоненциальная произЭкспоненциальные производящие функции водящая функция отличается от обычной тем, что в качестве коэффициентов степенного ряда берутся не элементы последовательности an, а числа an /n!. Экспоненциальные производящие функции заслуживают отдельного обсуждения, к которому мы сейчас и переходим.

4.2 Экспоненциальные производящие функции Зафиксируем произвольную последовательность . Каждой последовательности мы можем сопоставить производящую функцию определяемую последовательностью . Если в последовательности отсутствуют нулевые элементы, то такое сопоставление взаимно однозначно. До сих пор мы пользовались только обычными производящими функциями отвечающими последовательности n 1. В зависимости от преследуемых целей пользу могут принести и другие последовательности. Чаще всего используется последовательность n = n!. Соответствующие ей производящие функции называются экспоненциальными.

Чем отличаются экспоненциальные производящие функции от обычных? Посмотрим на поведение экспоненциальных производящих функций при выполнении операций над ними. Сумма ведет себя обычным образом:

а вот произведение иначе:

Коэффициенты произведения вычисляются по формуле Еще одно существенное отличие экспоненциальных производящих функций от обычных наблюдается при взятии производных (и интегрировании).

Дифференцирование или интегрирование экспоненциальной производящей функции приводит к сдвигу последовательности ее коэффициентов без изменения их величины:

Обычная производящая функция A(s) = a0 +a1 s+a2 s2 +. выражается через экспоненциальную A(t) = a0 + a1 t + a2 t2 +. по формуле Действительно, Теперь мы можем выписать экспоненциальную производящую функцию для треугольника Паскаля:

Треугольник Дика перечисляет пути в положительном квадранте плоскости, выходящие из начала координат и составленные из векторов (1, 1) и (1, 1) (см. рис. 4.2). Пути, оканчивающиеся на оси абсцисс, это пути Дика из раздела 3.3.

Рис. 4.2: Треугольник Дика и пути, которые он перечисляет Нетрудно видеть, что элементы dij треугольника Дика отличны от нуля в том и только в том случае, если i j и i + j четно. Обозначим через D(x, y) производящую функцию Дика двух переменных Правило построения треугольника Дика подсказывает нам уравнение на эту производящую функцию Действительно, коэффициент при любом мономе xi y j, отличном от единичного, представляет собой сумму коэффициентов при мономах xi1 y j Мы знаем, что коэффициенты разложения правой части по степеням переменной x являются многочленами от y, хотя из формулы это совершенно не очевидно.

4.4 Треугольник Бернулли–Эйлера и перечисление up-down перестановок Треугольник Бернулли–Эйлера (рис. 4.3), как и треугольник Паскаля, обладает многими замечательными свойствами. Левая сторона этого треугольника называется стороной Бернулли, правая стороной Эйлера1.

Рис. 4.3: Треугольник Бернулли–Эйлера и пути, которые он перечисляет Элементы треугольника Бернулли–Эйлера тоже числа путей из вершины треугольника в данную клетку. Но при этом рассматриваются только пути, идущие зигзагом: нечетные шаги влево, четные вправо. Поэтому каждое число в треугольнике Бернулли–Эйлера равно сумме чисел предыдущей строки, стоящих слева или справа от него, в зависимости от четности строки.

Можно дать и более простое индуктивное правило определения чисел в треугольнике Бернулли–Эйлера, если чередовать знаки через каждые две строчки (см. рис. 4.4). В таком альтернированном треугольнике каждый 1 Отметим, что есть еще две последовательности чисел, которые также носят имена Бернулли и Эйлера.

элемент равен сумме двух ближайших элементов, стоящих справа и справа сверху от него. Для того чтобы однозначно задать треугольник, необходимо доопределить сторону Эйлера, чем мы сейчас и займемся.

Рис. 4.4: Альтернированный треугольник Бернулли–Эйлера Нам понадобится еще одна интерпретации треугольника Бернулли–Эйлера в терминах up-down перестановок.

Определение 4.4.1. Перестановка на множестве называется пилообразной, или up-down перестановкой, если каждый элемент в ней либо больше, либо меньше обоих своих соседей.

Например, перестановка (3, 2, 7, 1, 6, 4, 5) пилообразная. Вот все пилообразные перестановки для n = 2, 3, 4, 5, в которых последний элемент меньше своего левого соседа (а значит, первый элемент больше своего правого соседа, если n четно, и меньше его, если n нечетно):

(1, 3, 2, 5, 4) (1, 4, 2, 5, 3) (1, 4, 3, 5, 2) (1, 5, 2, 4, 3) (1, 5, 3, 2, 4) (2, 3, 1, 5, 4) (2, 4, 1, 5, 3) (2, 4, 3, 5, 1) (2, 5, 1, 4, 3) (2, 5, 3, 4, 1) (3, 4, 1, 5, 2) (3, 4, 2, 5, 1) (3, 5, 1, 4, 2) (3, 5, 2, 4, 1) (4, 5, 1, 3, 2) (4, 5, 2, 3, 1) Тем самым, последовательность, перечисляющая пилообразные перестановки, последний элемент в которых меньше своего левого соседа, начинается так: 1, 1, 2, 5, 16. Это в точности те числа, которые стоят по сторонам треугольника Бернулли–Эйлера: числа с четными номерами ненулевые элементы стороны Бернулли, а числа с нечетными номерами ненулевые элементы стороны Эйлера. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие пилообразные перестановки, в которых последний элемент меньше своего левого соседа, и не будем это специально оговаривать, называя их просто пилообразными перестановками.

Чтобы понять, откуда берется связь с треугольником Бернулли–Эйлера, рассмотрим пилообразные перестановки, первый элемент в которых равен k.

Лемма 4.4.2. Пусть cn,k число up-down перестановок на множестве , начинающихся с n + 1 k. Тогда cn,k есть k-е число в n-й строке треугольника Бернулли–Эйлера.

Например, как видно из предыдущего списка, среди пилообразных перестановок пяти элементов 5 начинаются с 1, еще 5 с двойки, 4 с тройки, 2 с четверки и ни одна не начинается с пятерки. Строка 0, 2, 4, 5, 5 совпадает с четвертой строкой треугольника Бернулли–Эйлера.

Доказательство. Для первых двух строк треугольника утверждение проверяется непосредственно. Докажем, что если оно верно для n-й строки, то оно верно и для строки с номером n+1. Пусть, для определенности, n+ четно. Тогда n и n+2 нечетны; мы изучаем перестановки из n+1 элементов.

Первый элемент в такой перестановке является локальным максимумом, второй минимумом, поэтому второй элемент меньше первого.

Отбрасывание первого элемента в перестановке после перенумерации остальных элементов с сохранением их относительного порядка дает однозначно определенную up-down перестановку на множестве из n элементов.

Наоборот, по каждой пилообразной перестановке множества , первый элемент в которой равен l k, можно построить пилообразную перестановку множества , первый элемент в которой равен k:

допишем k слева и увеличим на 1 все элементы k, k + 1. n.

Таким образом, Для строки с нечетным номером справедливо аналогичное рассуждение.

Тем самым, числа cn,k удовлетворяют тем же соотношениям, что и элeменты треугольника Бернулли–Эйлера, а значит, именно они и стоят в этом треугольнике.

Выведем теперь производящие функции для сторон треугольника Бернулли–Эйлера. Рассмотрим по отдельности два случая:

• n нечетно; соответствующее число up-down перестановок обозначим через bn и введем экспоненциальную производящую функцию • n четно; соответствующее число up-down перестановок обозначим через en и введем экспоненциальную производящую функцию Выведем рекуррентную формулу для числа up-down перестановок. Максимальный элемент в пилообразной перестановке разделяет ее на две перестановки, каждая из которых является пилообразной нужно лишь перенумеровать элементы в левой и правой части перестановки, сохраняя их относительный порядок. Например, (2, 7, 3, 9, 1, 6, 5, 8, 4) ((2, 7, 3), (1, 6, 5, 8, 4)) ((1, 3, 2), (1, 4, 3, 5, 2)).

В результате мы сопоставили каждой пилообразной перестановке на множестве из n + 1 элементов две пилообразные перестановки на множестве из k и из n k элементов, n k нечетно.

При нечетном n получаем рекуррентное соотношение на числа bn :

Биномиальный коэффициент возникает из-за того, что при склеивании двух up-down перестановок мы должны всеми возможными способами распределить номера по левой и правой частям перестановки, т.е. выбрать из n номеров те, которые соответствуют левой перестановке.

Вспоминая, что для экспоненциальных производящих функций правая часть соответствует квадрату производящей функции B(x), а левая ее же производной, перепишем уравнение (4.1) в виде Нетрудно проверить, что у этого уравнения есть единственное решение, разложение которого начинается с B(x) = x +. Такое решение мы знаем это тангенс, поскольку (tg x) = tg2 x + 1.

Таким образом, сторона Бернулли определяет разложение в ряд тангенса:

Коэффициенты bn в разложении тангенса называются тангенциальными числами. Обратите внимание на то, что единица в вершине треугольника не включается в сторону Бернулли.

Замечание 4.4.3. Уравнение (4.2) несложно и решить непосредственно. Вспомнив, что B (x) = dB/dx, имеем Если же n четно, то рекуррентное соотношение принимает вид и ему соответствует уравнение на производящие функции. Решая последнее уравнение, получаем и сторона Эйлера определяет разложение в ряд секанса. Коэффициенты en этого разложения называются числами Эйлера 2.

Воспользовавшись подстановкой мы можем переписать производящие функции сторон для альтернированного треугольника в виде Теперь у нас есть все необходимое для вычисления экспоненциальной производящей функции альтернированного треугольника Бернулли–Эйлера. Обозначим через bek,l элемент треугольника, имеющий координату k вдоль стороны Бернулли и координату l вдоль стороны Эйлера.

«ЧТО КНИГА ГОВОРИТ О СПОРТЕ СТЮАРТ ВИЕР 1 Эту книгу я посвящаю моим детям, Кристин и Джонатану, чьи занятия спортом были для меня огромным источником радости. 2 ЧТО КНИГА ГОВОРИТ О СПОРТЕ СТЮАРТ ВИЕР 3 БЛАГОДАРНОСТЬ Я признателен всем людям, благодаря которым стало возможным создание этой книги. Я благодарен Наоми Старки из издательства Байбл ридинг феллоушип (BRF) за предложение написать подобную книгу и за е ободрение во время процесса работы над ней. В течение 10 лет я был сотрудником. »

«tv-программа совет чудесная сюрпризы стр. 7-8, 17-18 дает ответ механотерапия осени афиша стр. 3 стр. 22 стр. 12 стр. 16 ОЛГИЕ Издается с августа 2000 года РУДЫ № 38 (127) пятница, 25 сентября 2009 года Еженедельная городская газета http://ia-dolpr.mosoblonline.ru Картинки с выставки С 23 по 26 сентября в Международном выставочном центре Крокус Экспо проходит шестая межотраслевая Международная выставкапрезентация Московской области ПодмосковьеНынешний год для Московской области особенный –. »

«Энциклопедия намаза Издание 2-е Библиотека Рисалат Москва 2011 Редакционный совет: сотрудники канонического отдела ДУМД Курамухаммад-хаджи Рамазанов Мангуев Магомед-хаджи Мутаилов Магди-хаджи Ахмедов Камалудин-хаджи Исаев Ахмед-хаджи Мирзоев Магомед-Шамиль-хаджи Магомедов Мухаммад-Ханапи-хаджи Саадуев Мухаммадрасул-хаджи Давудов Мухаммад-хаджи Гамзатов Зайнулла-хаджи Магомедов Мухаммад-хаджи Канонический редактор: Магомедов Абдуламагомед Магомедович Составитель: Омаров Магомедрасул Магомедович. »

«РОССИЙСКИЙ МОРСКОЙ РЕГИСТР СУДОХОДСТВА УТВЕРЖДАЮ Генеральный директор М.Г. Айвазов 19.07.2013 Условия, принципы и цели сертификации систем менеджмента Организаций НД № 2-070101-008 32B Дата введения в действие: 01.09.2013 Номер документа в СЭД Тезис – 115624 Разработчик: 327 Санкт — Петербург 2013 РОССИЙСКИЙ МОРСКОЙ РЕГИСТР СУДОХОДСТВА Условия, принципы и цели сертификации систем менеджмента Организаций Издание: Оглавление 1 Область распространения 2 Нормативные ссылки 3 Термины. Определения. »

«-1Глория Поло Свидетельство От иллюзии к истине Я стояла перед вратами рая и ада Перевод с немецкого: Dr. Gloria Polo Von der Illusion zur Wahrheit Ich stand an der Pforte des Himmels und der Holle Испанский оригинал: Testimonio de Gloria Polo Интернет: www.gloriapolo.net или Apostolat ANE, Postfach 102 AT-1011 Wien, Austria Перевел с немецкого: Д-р Йосип Марцелич -2СВИДЕТЕЛЬСТВО ГОСПОЖИ ДР. ГЛОРИИ ПОЛ Несчастье, случившееся во время грозы Доброе утро, Слава Богу, дорогие братья и сестры! Я. »

«RU 2 457 002 C1 (19) (11) (13) РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ (51) МПК A61M 16/01 (2006.01) A61B 5/0488 (2006.01) A61K 31/4468 (2006.01) A61B 5/0476 (2006.01) A61K 31/5517 (2006.01) A61K 31/135 (2006.01) A61K 31/05 (2006.01) A61K 31/47 (2006.01) A61K 31/4168 (2006.01) ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ A61K 31/13 (2006.01) A61K 31/02 (2006.01) A61P 23/00 (2006.01) (12) ОПИСАНИЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ К ПАТЕНТУ (21)(22) Заявка: 2011103585/14, 01.02.2011 (72) Автор(ы): Лебедева Майя Николаевна (RU). »

«КАНОНИЧЕСКИЕ ТЕКСТЫ ПУШКИНА В ЛИРИКЕ И РОМАНЕ БОРИСА ПАСТЕРНАКА КОНСТАНТИН ПОЛИВАНОВ 1. Тема с вариациями У Пастернака пушкинские аллюзии и реминисценции встречаются, как у любого поэта ХХ в., на протяжении всего его литературного пути: и в одном из первых опубликованных стихотворных текстов Февраль. Достать чернил и плакать. и в стихотворениях первой книги стихов Венеция и Близнецы (см. [Баевский: 171–188; Гаспаров, Поливанов: 79, 90]), и во многих позднейших текстах. Во второй книге. »

«Эллисон Пирсон И как ей это удается? OCR Альдебаран http://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=121062 И как ей это удается?: Фантом Пресс; Москва; 2004 ISBN 5-86471-345-7 Оригинал: AllisonPearson, “I dont know how she does it” Перевод: Елена Е. Ивашина Аннотация Знакомьтесь: Кейт Редди, фондовый менеджер и мать двоих детей. Она может делать десять дел одновременно: продавать и покупать акции, менять пеленки, выяснять отношения с мужем, отбиваться от тупого босса, стряпать пироги, следить за. »

«R CDIP/13/10 ОРИГИНАЛ: АНГЛИЙСКИЙ ДАТА: 27 МАРТА 2014 Г. Комитет по развитию и интеллектуальной собственности Тринадцатая сессия Женева, 19-23 мая 2014 г. ГИБКИЕ ВОЗМОЖНОСТИ В ПАТЕНТНОЙ СФЕРЕ, ПРЕДУСМОТРЕННЫЕ В МНОГОСТОРОННЕЙ НОРМАТИВНОЙ БАЗЕ, И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВЕ НА НАЦИОНАЛЬНОМ И РЕГИОНАЛЬНОМ УРОВНЕ ЧАСТЬ III подготовлено Секретариатом В контексте обсуждения Рекомендации 14 Повестки дня в области развития на 1. одиннадцатой сессии Комитета по развитию и интеллектуальной. »

«Выпуск № 21, 2013 МЕЖДУНАРОДНЫЙ ЛИТЕРАТУРНЫЙ АЛЬМАНАХ ИЗДАЁТСЯ ПРИ УЧАСТИИ БЕЛОРУССКОГО ФОНДА МИРА ББК 84 Ч82 Коллектив авторов: В. Акатов, О. Биченкова, А. Бондаревский, И. Борисова, И. Брагин, Л. Браташ, Л. Варакина, В. Григоров, А. Гущин, А. Долинов, Г. Ежова, Л. Жеглова, А. Зайнутдинова, С. Земцов, О. Иванова-Захарова, Ю. Ишков, Е. Казмировский, Т. Квитко, И. Киреев, О. Кириллов, Е. Кондратьева, З. Коровин, А. Кудинова, Т. Лагутёнок, К. Ландышева, Д. Либерман, А. Лосева, Т. Лукьянчук, Н. »

«165 Рита Осиповна Мазель учитель русского языка и литературы, исследователь творчества Ф. М. Достоевского (Москва, Российская Федерация) levinanadya@mail.ru. СЦЕНЫ СЧАСТЬЯ В РОМАНАХ ДОСТОЕВСКОГО Аннотация: В предлагаемой статье Достоевский предстает перед чи­ тателем как поэт счастья. Пережив уникальный опыт страданий, он по­ стиг иное измерение жизни. Со страстью первооткрывателя он утвержда­ ет благодать живой жизни. Жизнь — дар, жизнь — счастье, каждая минута может быть веком счастья, — вот. »

«016446 B1 Евразийское (19) (11) (13) патентное ведомство ОПИСАНИЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ К ЕВРАЗИЙСКОМУ ПАТЕНТУ (12) (51) Int. Cl. C07D 401/12 (2006.01) (45) Дата публикации и выдачи патента A61K 31/4545 (2006.01) 2012.05.30 A61P 9/12 (2006.01) (21) Номер заявки 2010000 (22) Дата подачи заявки 2008.06. ПРОИЗВОДНЫЕ N5-(2-ЭТОКСИЭТИЛ)-N3-(2-ПИРИДИНИЛ)-3,5ПИПЕРИДИНДИКАРБОКСАМИДА, ПРЕДНАЗНАЧЕННЫЕ ДЛЯ ПРИМЕНЕНИЯ В КАЧЕСТВЕ ИНГИБИТОРОВ РЕНИНА (56) WO-A-2007/ (31) 07012412.8; 07111290. WO-A-2007/ (32) 2007.06.25;. »

«У Н И В Е Р С И Т Е Т С К А Я Б И Б Л И О Т Е К А А Л Е К С А Н Д Р А П О Г О Р Е Л Ь С К О Г О С Е Р И Я Ф И Л О С О Ф И Я ЭРНСТ МА Х А Н А Л ИЗ О Щ У ЩЕНИЙ И ОТ Н ОШ ЕН ИЕ Ф И З И Ч Е СК О ГО К П С ИХ ИЧЕС К О МУ МОСКВА Т Е Р Р И Т О Р И Я Б УД У Щ Е Г О УДК ББК 87. М СОСТАВИТЕЛИ СЕРИИ: В. В. Анашвили, Н. С. Плотников, А. Л. Погорельский НАУЧНЫЙ СОВЕТ: А. Л. Глазычев, А. И. Уткин, А. Ф. Филиппов, Р. З. Хестанов М 36 Эрнст Мах. Анализ ощущений. »

«Аналитический отчёт LiveInternet для сайта buhgalter.kz за март 2013 г. Базовые месячные показатели посещаемости сайта: Просмотров страниц 192,652 (-24% мес/мес) Посетителей 52,085 (-13% мес/мес) Доля женщин 71.4 % Доля мужчин 28.6 % Посетители младше 18 лет 3.3 % Посетители от 18 до 24 лет 23.5 % Посетители от 25 до 34 лет 31.6 % Посетители от 35 до 44 лет 22.2 % Посетители старше 44 лет 19.3 % Преобладающая страна — Казахстан 79.8 % Структура переходов на страницы сайта: Внутренние 51.1 %. »

«ОРГАНИЗАЦИЯ A ОБЪЕДИНЕННЫХ НАЦИЙ ГЕНЕРАЛЬНАЯ АССАМБЛЕЯ Distr. GENERAL A/HRC/8/41 28 May 2008 RUSSIAN Original: ENGLISH СОВЕТ ПО ПРАВАМ ЧЕЛОВЕКА Восьмая сессия Пункт 6 повестки дня УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ОБЗОР Доклад Рабочей группы по универсальному периодическому обзору Швейцария* * Ранее издан под условным обозначением A/HRC/WG.6/2/L.7; незначительные исправления были внесены по поручению секретариата Совета по правам человека на основе редакционных изменений, сделанных государствами по. »

«ФОНД РУССКИЙ МИР РУССКАЯ ШКОЛЬНАЯ БИБЛИОТЕЧНАЯ АССОЦИАЦИЯ (РШБА) ЧТО ЧИТАТЬ ДОШКОЛЬНИКАМ И МЛАДШИМ ШКОЛЬНИКАМ КРУГ ЧТЕНИЯ * ЧТО ЧИТАТЬ ДОШКОЛЬНИКАМ И МЛАДШИМ ШКОЛЬНИКАМ Рекомендательный указатель детской литературы МОСКВА РШБА * Затраты на реализацию проекта покрыты за счет Гранта, предоставленного фондом Русский мир. СОДЕРЖАНИЕ Об указателе детской литературы ЧТО ЧИТАТЬ ДОШКОЛЬНИКАМ И МЛАДШИМ ШКОЛЬНИКАМ Тихомирова И.И. Обращение к читателям ЧТО ЧИТАТЬ ДОШКОЛЬНИКАМ И МЛАДШИМ ШКОЛЬНИКАМ 1. »

«XIV Всероссийский научный форум 24–27 сентября Мать и Дитя 2013 Москва, МВЦ Крокус Экспо V cъезд акушеров-гинекологов России Научная программа q ОРГАНИЗАТОРЫ: Министерство здравоохранения Российской Федерации ФГБУ Научный центр акушерства, гинекологии и перинатологии имени академика В.И. Кулакова Министерства здравоохранения Российской Федерации Российское общество акушеров-гинекологов Конгресс-оператор ООО МЕДИ Экспо 24–27 сентября, 2013 XIV Всероссийский научный форум V cъезд. »

«RU 2 445 135 C1 (19) (11) (13) РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ (51) МПК A61N 5/00 (2006.01) A61N 2/04 (2006.01) A61K 35/02 (2006.01) A61P 15/02 (2006.01) ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ (12) ОПИСАНИЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ К ПАТЕНТУ (21)(22) Заявка: 2010131765/14, 28.07.2010 (72) Автор(ы): Юрьев Сергей Юрьевич (RU), (24) Дата начала отсчета срока действия патента: Валькевич Ольга Михайловна (RU), 28.07.2010 Рузаева Юлия Федоровна (RU), Большанова Оксана Витальевна (RU), Приоритет(ы): Мустафина. »

«УДК 316.774:39(497.11)2001/2007 32.019.5:39(497.11)2001/2007 Срђан Радовић Етнографски институт САНУ Етнологија у медијима транзиционе Србије Струјање знања и порука спроводи се у многољудним друштвеним заједницама преко читавог низа институционализованих канала комуникације и друштвене социјализације, који – макар одавали утисак демократичности и доступности због своје опште присутности – и у 21. веку већином функционишу захваљујући, пре свега, ограниченом броју креатора и медијатора знања и. »

«Постановление Правительства Республики Казахстан от 16 января 2012 года № 72 Об утверждении Правил предоставления услуг почтовой связи и Правил применения почтового штемпеля на почтовых отправлениях В соответствии с подпунктами 5) и 7) пункта 1 статьи 8 Закона Республики Казахстан от 8 февраля 2003 года О почте Правительство Республики Казахстан ПОСТАНОВЛЯЕТ: 1. Утвердить прилагаемые: 1) Правила предоставления услуг почтовой связи; 2) Правила применения почтового штемпеля на почтовых. »

© 2014 www.kniga.seluk.ru — «Бесплатная электронная библиотека — Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

🔥 Видео

Прямая ЭйлераСкачать

Урок 133. Закон Бернулли. Уравнение БернуллиСкачать

Теорема Эйлера о движении жидкостиСкачать

История изучения кровотока, 18 - нач. 19 века. Гемодинамика: Эйлер, Бернулли, Пуазёйль.Скачать

#234. Формула Эйлера | Свойства отрезков хорд и секущихСкачать

Формула Леонарда Эйлера всегда равна 2 #shortsСкачать

Что же это такое - ЧИСЛО Е и экспонента ??? Простым языком!)Скачать

Математика без Ху!ни. Теория вероятностей. Схема БернуллиСкачать

Уравнение, которое меняет взгляд на мир [Veritasium]Скачать

#161. САМАЯ КРАСИВАЯ ФОРМУЛА В МАТЕМАТИКЕ — ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА: e^(iπ)+1=0Скачать

Уравнение Бернулли гидравликаСкачать

Эйлеров цикл. Эйлеров граф. Теорема об эйлеровых графахСкачать

15. Формула Эйлера-Маклорена и ζ(z) функция (English subtitles)Скачать

11 класс, 49 урок, Задача ЭйлераСкачать

Круги Эйлера в реальной жизни. Математика на QWERTYСкачать

Лекция 7. Числа и многочлены БернуллиСкачать