Следствие из неравенства треугольника

Неравенство треугольника

Теорема 1 Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.1).

Следствие из неравенства треугольника

Докажем, что ( small AC lt AB+BC .) На продолжении стороны AB отложим отрезок BD равный стороне BC. Полученный треугольник BCD равнобедренный. тогда ( small angle 1= angle 2.) Рассмотрим треугольник ADC. В этом треугольнике ( small angle ACD gt angle 1 ) и учитывая, что ( small angle 1= angle 2, ) получим ( small angle ACD gt angle 2. ) По теореме 1 статьи Соотношения между сторонами и углами треугольника, против большего угла треугольника лежит большая сторона. Следовательно в треугольнике ADC имеет место неравенство:

Следствие из неравенства треугольника.(1)
Следствие из неравенства треугольника.(2)

Тогда из (1) и (2) получим:

Следствие из неравенства треугольникаСледствие из неравенства треугольника

Следствие 1. Для любых точек A, B, C, не расположенных на одной прямой справедливы следующие неравенства:

Следствие из неравенства треугольника, Следствие из неравенства треугольника, Следствие из неравенства треугольника.(3)

Неравенства (3) называются неравенствами треугольника.

Видео:Неравенства треугольника. 7 класс.Скачать

Неравенства треугольника. 7 класс.

Неравенство треугольника — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Неравенство треугольника:

Опыт нам подсказывает, что путь из точки А в точку С по прямой АС короче, чем по ломаной ABC (рис. 255), т. е. АС 12+21 (рис. 258).

Следствие из неравенства треугольника

Замечание. Из неравенств треугольника Следствие из неравенства треугольникаследует, что Следствие из неравенства треугольникато есть любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон. Так, для стороны а справедливо Следствие из неравенства треугольника

Пример:

Внутри треугольника ABC взята точка М (рис. 259). Доказать, что периметр треугольника АМС меньше периметра треугольника ABC.

Следствие из неравенства треугольника

Решение:

Так как у треугольников ABC и АМС сторона АС — общая, то достаточно доказать, что AM + МС Следствие из неравенства треугольникаB (рис. 108, а).

2) Отложим на стороне АВ отрезок АF, равный стороне AC (рис. 108, б).

Следствие из неравенства треугольника

3) Так как АF Следствие из неравенства треугольника1.

4) Угол 2 является внешним углом треугольника ВFС, следовательно, Следствие из неравенства треугольника2 > Следствие из неравенства треугольникаB.

5) Так как треугольник FАС является равнобедренным, то Следствие из неравенства треугольника1 = Следствие из неравенства треугольника2.

Таким образом, Следствие из неравенства треугольникаBСА > Следствие из неравенства треугольника1, Следствие из неравенства треугольника1 = Следствие из неравенства треугольника2 и Следствие из неравенства треугольника2 > Следствие из неравенства треугольникаB.

Отсюда получаем, что Следствие из неравенства треугольникаВСА > Следствие из неравенства треугольникаB.

Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

1) Пусть в треугольнике АBС Следствие из неравенства треугольникаС > Следствие из неравенства треугольникаB. Докажем, что АВ > АС (см. рис. 108, а). Доказательство проведем методом от противного.

2) Предположим, что это не так. Тогда: либо АВ = АС, либо АВ Следствие из неравенства треугольникаC.

В каждом из этих случаев получаем противоречие с условием: Следствие из неравенства треугольникаC > Следствие из неравенства треугольникаB. Таким образом, сделанное предположение неверно и, значит, АВ > АС.

Из данной теоремы следует утверждение: в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы.

Действительно, гипотенуза лежит против прямого угла, а катет — против острого. Поскольку прямой угол больше острого, то по теореме 2 получаем, что гипотенуза больше катета.

Теорема 3 (признак равнобедренного треугольника). Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике два угла равны. Тогда равны стороны, лежащие против этих углов. В самом деле, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то по теореме 1 угол, лежащий против этой стороны, будет больше угла, лежащего против другой стороны, что противоречит условию равенства углов.

Значит, наше предположение неверно и в треугольнике две стороны равны, т. е. треугольник является равнобедренным.

Неравенство треугольника

Докажем, что длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

Теорема 4. Длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.

1) Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, например, что выполняется неравенство АВ Следствие из неравенства треугольникаl, следовательно, верно неравенство Следствие из неравенства треугольникаАВF > Следствие из неравенства треугольника2.

4) Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона (теорема 2), то АВ

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:✓ Неравенство треугольника | Ботай со мной #126 | Борис ТрушинСкачать

✓ Неравенство треугольника | Ботай со мной #126 | Борис Трушин

Неравенство треугольника

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Следствие из неравенства треугольника

Данный видеоурок предназначен для самостоятельного ознакомления с темой «Неравенство треугольников», которая входит в школьный курс геометрии за седьмой класс. На занятии учитель познакомит с неравенством треугольника, вытекающим из теоремы о сторонах и углах треугольника.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть уроки «Связь числа и геометрии. Часть 2. Треугольники. Координаты», «Основы геометрии»

📺 Видео

7 класс, 34 урок, Неравенство треугольникаСкачать

7 класс, 34 урок, Неравенство треугольника

Неравенство треугольникаСкачать

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника. Геометрия 7 класс. Доказательство. Задачи по рисункам.Скачать

Неравенство треугольника. Геометрия 7 класс. Доказательство. Задачи по рисункам.

Неравенство треугольникаСкачать

Неравенство треугольника

Геометрия 7 класс (Урок№24 - Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треуг.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№24 - Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треуг.)

Неравенства треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Неравенства треугольника. Практическая часть. 7 класс.

Неравенства треугольникаСкачать

Неравенства треугольника

№ 020 Неравенство треугольника (следствие)Скачать

№ 020 Неравенство треугольника (следствие)

Неравенство треугольника | Геометрия 7-9 класс #34 | ИнфоурокСкачать

Неравенство треугольника | Геометрия 7-9 класс #34 | Инфоурок

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Геометрия 7 класс. Треугольник. Определение, неравенство треугольника. Виды треугольников.Скачать

Геометрия 7 класс. Треугольник. Определение, неравенство треугольника. Виды треугольников.

ТРЕУГОЛЬНИКИ 1. Треугольник. Неравенство треугольника. Периметр треугольникаСкачать

ТРЕУГОЛЬНИКИ 1. Треугольник.  Неравенство треугольника. Периметр треугольника

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Неравенство треугольника | ВидеоурокСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Неравенство треугольника | Видеоурок

неравенство треугольникаСкачать

неравенство треугольника

Неравенство треугольникаСкачать

Неравенство треугольника

28012014 Неравенства треугольникаСкачать

28012014 Неравенства треугольника

Неравенство треугольника ★ Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторонСкачать

Неравенство треугольника ★ Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

неравенство треугольника #SHORTSСкачать

неравенство треугольника #SHORTS
Поделиться или сохранить к себе: