Сколько треугольников в икосаэдре

Икосаэдр.

Икосаэдр — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, один из тел Платона.

Ранее мы писали о додекаэдре , сейчас поговорим о другом похожем двадцатиграннике – икосаэдре .

Все 20 граней являются равносторонними треугольниками. количество ребер

соответствует 30, количество вершин — 12. Икосаэдр состоит из 59

Все 12 вершин икосаэдра являются вершинами 5 равносторонних

треугольников, значит, сумма углов у вершины = 300°.

Сколько треугольников в икосаэдре

У икосаэдра 30 ребер. Как и у всех правильных многогранников ребра икосаэдра имеют равную длину,

а грани — равную площадь.

У икосаэдра, как и додекаэдра, 15 осей симметрии, все проходят через

середины противолежащих параллельных ребер. Точка пересечения этих

осей икосаэдра – это и есть его центр симметрии.

Сколько треугольников в икосаэдре

Так же как и у додекаэдра, у икосаэдра 15 плоскостей симметрии.

Плоскости симметрии проходят через четыре вершины, которые лежат в

одной плоскости, и середины противоположных параллельных ребер.

Пусть длина ребра икосаэдра будет а тогда:

Сумма длин всех ребер:

Площадь икосаэдра:

Сколько треугольников в икосаэдре

Объем икосаэдра:

Сколько треугольников в икосаэдре

Радиус вписанной в икосаэдр сферы:

Сколько треугольников в икосаэдре

Радиус описанной вокруг икосаэдра сферы:

Сколько треугольников в икосаэдре

Свойства икосаэдра.

  • Каждая из 12 вершин икосаэдра лежит по 3 в 4-х параллельных плоскостях, образуя во всех
  • 10 вершин икосаэдра находятся в 2-х параллельных плоскостях, и образуют в них 2 правильных

5-ти угольника, а оставшиеся 2 — противоположны друг другу и находятся в 2-х концах диаметра

описанной вокруг икосаэдра сферы, который перпендикулярен параллельным плоскостям.

  • Икосаэдр возможно вписать в куб, тогда 6 взаимо-перпендикулярных ребер икосаэдра будут

находиться соответственно на 6-ти гранях куба, оставшиеся 24 ребра находятся внутри куба, все 12

вершин икосаэдра будут находиться на ше6-ти гранях куба.

  • В икосаэдр можно вписать тетраэдр, таким образом, чтобы 4 вершины тетраэдра станут

совмещены с 4-мя вершинами икосаэдра.

  • Икосаэдр возможно вписать в додекаэдр, тогда вершины икосаэдра совместятся с центрами
  • В икосаэдр возможно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней
  • Усечённый икосаэдр можнополучить, срезав 12 вершин с образованием граней вида правильных

5-ти угольников. Тогда количество вершин нового многогранника увеличится в 5 раз (12×5=60), 20

треугольных граней становятся правильными шестиугольниками (количество граней

теперь 20+12=32), а рёбер — 30+12×5=90.

  • Сделать икосаэдра можно из 20 тетраэдров.
  • Нельзя сделать икосаэдр из правильных тетраэдров, потому что радиус описанной сферы вокруг

икосаэдра и длина бокового ребра (вершины-центр такой сборки) тетраэдра меньше ребра икосаэдра.

Усечённый икосаэдр.

Усечённый икосаэдр — это многогранник, который состоит из 12 правильных 5-ти угольников и 20

правильных 6-ти угольников. У усеченного икосаэдра икосаэдрический тип симметрии.

Примеры икосаэдров в мире:

  • Обычный футбольный мяч является усечённым икосаэдром.
  • Капсиды большинства вирусов (например, бактериофаги, мимивирус).
Сколько треугольников в икосаэдре
Молекула фуллерена C60 — усечённый икосаэдр.Сколько треугольников в икосаэдре

Развертка икосаэдра.

Сколько треугольников в икосаэдре

Как сделать икосаэдр.

Способ № 1 Икосаэдр из заготовки

Распечатываем готовое изображение развертки икосаэдра, вырезаем и склеиваем по границам. Далее

на ваше усмотрение окрашиваете в любой цвет и украшаете.

Способ № 2 Икосаэдр своими руками

Вам понадобится бумага, карандаш, линейка (удобней будет циркуль), ножницы, клей ПВА (или другой).

При помощи линейки, циркуля и карандаша рисуем на бумаге несколько треугольников (как на рисунке

ниже). Чтоб было легче, можете нарисовать 5 параллелограммов, а после каждый прямоугольник

разделить на 4 равносторонних треугольника. Далее вырезаем, оставив места для склейки и

Видео:Видеоурок по математике "Понятие правильного многогранника"Скачать

Видеоурок по математике "Понятие правильного многогранника"

Икосаэдр

Сколько треугольников в икосаэдре

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Икоси» означает двадцать, «хедра» — означает грань (Икосаэдр – двадцатигранник).

Видео:Пра́вильный икоса́эдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «основание») - одно из Платоновых телСкачать

Пра́вильный икоса́эдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «основание») - одно из Платоновых тел

Поэтому на вопрос — «что такое икосаэдр?», можно дать следующее определение: » Икосаэдр это геометрическое тело из двадцати граней, каждая их которых — правильный треугольник «.

Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел .
Икосаэдр имеет следующие характеристики:

  • Тип грани – правильный треугольник;
  • Число сторон у грани – 3;
  • Общее число граней – 20;
  • Число рёбер, примыкающих к вершине – 5;
  • Общее число вершин – 12;
  • Общее число рёбер – 30.

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300° (60° x 5).
Икосаэдр имеет центр симметрии — центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Видео:Многогранники : Тетраэдр, Октаэдр, Икосаэдр, Гексаэдр, ДодекаСкачать

Многогранники : Тетраэдр, Октаэдр, Икосаэдр, Гексаэдр, Додека

Математические характеристики икосаэдра

Сколько треугольников в икосаэдре

Икосаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы икосаэдра

Сколько треугольников в икосаэдре

где a — длина стороны.

Сколько треугольников в икосаэдре

Сфера может быть вписана внутрь икосаэдра.

Радиус вписанной сферы икосаэдра

Сколько треугольников в икосаэдре

Сколько треугольников в икосаэдре

Сколько треугольников в икосаэдре

Для наглядности площадь поверхности икосаэдра можно представить в виде площади развёртки.

Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон икосаэдра (это площадь правильного треугольника) умноженной на 20. Либо воспользоваться формулой:

Сколько треугольников в икосаэдре

Сколько треугольников в икосаэдре

Объем икосаэдра определяется по следующей формуле:

Сколько треугольников в икосаэдре

Видео:Платоновы тела. Октаэдр. Додекаэдр. Икосаэдр | МатематикаСкачать

Платоновы тела. Октаэдр. Додекаэдр. Икосаэдр | Математика

Вариант развертки

Икосаэдр можно изготовить самостоятельно. Бумага или картон самый подходящий вариант. Для сборки потребуется бумажная развёртка — единая деталь с линиями сгибов.

Сколько треугольников в икосаэдре

Древнегреческий философ Платон ассоциировал икосаэдр с «земным» элементом вода, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали голубой цвет.

Сколько треугольников в икосаэдре

Заметим, что это не единственный вариант развертки.

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf и распечатать на листе формата А4:
— если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере — цветная развертка
— если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон — развертка

Кроме того, существуют два классических варианта окраски многогранника, когда каждая из соседних граней окрашена в свой цвет. Либо используется определенное количество цветов раскраски, причем одинаковые цвета не граничат друг с другом.

Представляем Вашему вниманию два варианта окраски 20 граней икосаэдра с использованием пяти цветов.

Икосаэдр


Икосаэдр – (от греческого ico — шесть и hedra — грань) правильный выпуклый многогранник, составленный из 20 правильных треугольников. Каждая из 12 вершин икосаэдра является вершиной 5 равносторонних треугольников, поэтому сумма углов при вершине равна 300 . Если принять длину ребра за а , то получим следующие формулы:

Радиус описанной сферы

Радиус вписанной сферы

Элементы симметрии додекаэдра

Правильный икосаэдр имеет 15 осей симметрии , каждая из которых проходит через середины противоположных параллельных ребер. Точка пересечения всех осей симметрии икосаэдра является его центром симметрии .

Плоскостей симметрии также 15 . Плоскости симметрии проходят через четыре вершины, лежащие в одной плоскости, и середины противолежащих параллельных ребер.

🔍 Видео

Икосаэдр из бумаги. Чертёж развертки икосаэдра.Скачать

Икосаэдр из бумаги. Чертёж развертки икосаэдра.

#203. Правильные многогранники: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдрСкачать

#203. Правильные многогранники: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр

Математический факт, который не помнят 98 выпускников школСкачать

Математический факт, который не помнят 98 выпускников школ

Платоновы тела: Тетраэдр, Куб, Октаэдр, Икосаэдр, ДодекаэдрСкачать

Платоновы тела: Тетраэдр, Куб, Октаэдр, Икосаэдр, Додекаэдр

Геометрический трип. Икосаэдр.Скачать

Геометрический трип. Икосаэдр.

Платоновы тела - ИкосаэдрСкачать

Платоновы тела - Икосаэдр

Гороховый конструктор: октаэдр и икосаэдр. 3D конструктор своими руками. Геометрия для детейСкачать

Гороховый конструктор: октаэдр и икосаэдр. 3D конструктор своими руками. Геометрия для детей

Solidworks. Правильный икосаэдрСкачать

Solidworks. Правильный икосаэдр

Правильные и полуправильные многогранникиСкачать

Правильные и полуправильные многогранники

Многоугольники и многогранники. Женя КацСкачать

Многоугольники и многогранники. Женя Кац

Тема 2. Правильные, полуправильные и звёздчатые многогранники. 10 классСкачать

Тема 2. Правильные, полуправильные и звёздчатые многогранники. 10 класс

Лист Мёбиуса, проективная плоскость и икосаэдр // Михаил ТёмкинСкачать

Лист Мёбиуса, проективная плоскость и икосаэдр // Михаил Тёмкин

икосаэдрСкачать

икосаэдр

Разметка икосаэдраСкачать

Разметка икосаэдра

Икосаэдр из бумаги/Paper icosahedron/Правильный многогранник/DIYСкачать

Икосаэдр из бумаги/Paper icosahedron/Правильный многогранник/DIY

Ошемков А. А. - Наглядная геометрия и топология. Лекции - Лекция 6Скачать

Ошемков А. А. - Наглядная геометрия и топология. Лекции - Лекция 6
Поделиться или сохранить к себе: