Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

Стереометрия. Страница 2

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

  • Главная
  • Репетиторы
  • Учебные материалы
  • Контакты

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

1. Параллельность прямых в пространстве

Теорема. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Доказательство. Пусть b данная прямая и точка А, не лежащая на данной прямой. Проведем через точку А и прямую b плоскость α. А через точку А прямую a, параллельную прямой b. (Рис.1)

Допустим, что существует другая прямая а’, параллельная прямой b и проходящая через точку А. Тогда через них можно провести плоскость β. Отсюда следует, что через точку А и прямую b можно провести две плоскости. А это невозможно согласно теореме о единственности существования плоскости, проведеной через прямую и не лежащую на ней точку. Таким образом, плоскости α и β совпадают. А следовательно, согласно аксиоме, прямые а и a’ совпадают также.

5. Пример 1

Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещиваются.

Доказательство:

Пусть даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD. Проведем через прямую АВ и точку С плоскость α (Рис.5). Так как прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямая CD не лежит в плоскости α, а пересекает ее в одной точке С.

Отсюда следует, что точка D не принадлежит плоскости α. Она лежит вне ее.

Таким образом, если мы проведем прямую АС, то она полностью будет принадлежать плоскости α, так как две ее точки А и С принадлежат плоскости α.

А прямая BD не будет принадлежать плоскости α, так как точка D не принадлежит плоскости α. Прямая BD будет пересекать плоскость α в одной точке В.

Отсюда можно сделать вывод, что прямая АС не может пересекать прямую BD, так как прямая АС полностью принадлежит плоскости α. А прямая BD имеет только одну общую точку с плоскостью α, точку В. Но так как точка В не лежит на прямой АС, следовательно, прямые АС и BD не пересекаются. Они являются скрещивающимися.

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

Рис.5 Задача. Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся.

Пример 2

Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD.

Доказательство:

Пусть даны четыре точки А, В, С, D, которые не лежат в одной плоскости. Проведем плоскость α через точки A, D, C и плосксоть α’ через точки А, В, С (Рис.6). Точки P, S, F, E являются серединами отрезков AB, BC, AD и CD соответственно. Необходимо доказать, что прямая PS параллельна прямой FE.

Рассмотрим треугольник АВС. Он полностью лежит в плоскости α’, так как три его вершины лежат в данной плоскости по построению. Отрезок PS представляет собой среднюю линию треугольника, которая параллельна АС.

Теперь рассмотрим треугольник АСD. Он полностью лежит в плоскости α, так как три его вершины лежат в данной плоскости по построению. Отрезок FE представляет собой среднюю линию треугольника, которая также параллельна АС.

Отсюда можно сделать вывод: если две прямые PS и FE параллельны третьей прямой АС, то они параллельны и между собой. И равны половине основанию АС. Таким образом, PSEF представляет собой параллелограмм.

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

Рис.6 Задача. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости.

Пример 3

Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и ВС, АС и BD, AD и BC пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть даны четыре точки А, В, С, D, которые не лежат в одной плоскости. Проведем отрезки EP, VS, FT, которые соединят середины сторон AB и CD, BC и AD, AC и BD соответственно (Рис.7).

Из предыдущей задачи нам известно, что четырехугольник EVPS, вершины которого являются серединами отрезков АВ, ВС, СD и AD, есть параллелограмм, у которого EP и VS диагонали. Эти диагонали пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Теперь рассмотрим четырехугольник VTSF. Данный четырехугольник также является параллелограммом, так как его вершины — это середины отрезков BC, BD, AC и AD. А его диагонали VS и FT пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Так как у отрезка VS середина одна, т.е. точка О, то все три диагонали EP, VS и FT пересекаются в этой точке.

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

Рис.7 Задача. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости.

Пример 4

Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость α по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости α.

Доказательство:

Пусть даны две плоскости β и γ, пересекающиеся по прямой а (Рис.8). Эти плоскости пересекают плоскость α по параллельным прямым b и с. Необходимо доказать, что прямая а параллельна плоскости α.

Прямая b — это множество точек, которые одновременно принадлежат плоскостям α и γ. Прямая с — это множество точек, которые одновременно принадлежат плоскостям α и β. Так как прямые b и с параллельны, то на этих прямых нет ни одной точки, которая одновременно принадлежала бы трем плоскостям.

Прямая а — это множество точек, которые принадлежат двум плоскостям β и γ. Допустим, что она пересекает плоскость α. Тогда на ней должна быть точка, которая принадлежала бы одновременно трем плоскостям. А следовательно, она одновременно лежала бы на прямых b и с. Но это противоречит условию задачи, так как прямые b и с не пересекаются. Следовательно, прямая а параллельна прямым b и с. А отсюда следует, что она параллельна плоскости α.

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

Рис.8 Задача. Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а.

Пример 5

Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку О, пересекают плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную α и не проходящую через точку О, тоже в вершинах параллелограмма.

Доказательство:

Пусть даны четыре прямые, проходящие через точку О, ОА, ОВ, ОС и OD (Рис.9). Они пересекают плоскость α в точках А, В, С и D соответственно. Проведем плоскость α’, параллельную плоскости α. Тогда прямые ОА, ОВ, ОС и OD пересекут плоскость α’ в точках A’B’C’D’.

Проведем плоскость β через точки А, В, A’, B’. Тогда прямые АВ и A’B’ не пересекаются, так как это прямые пересечения двух параллельных плоскостей α и α’ с секущей плоскостью β.

Отсюда следует, что прямые ВС и В’С’, CD и C’D’, AD и A’D’ параллельны. А так как АВ параллельна CD, а ВС параллельна AD, то следовательно, А’В’ параллельна C’D’, а В’С’ параллельна A’D’.

Таким образом, A’B’C’D’ также является параллелограммом.

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

Рис.9 Задача. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямойШколе NET

Register

Do you already have an account? Login

Login

Don’t you have an account yet? Register

Newsletter

Submit to our newsletter to receive exclusive stories delivered to you inbox!

  • Главная 
  • Вопросы & Ответы 
  • Вопрос 10558738

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

Главный Попко

Видео:10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространстве

Сколько прямых, параллельных данной

прямой, можно провести через точку, не

лежащую на этой прямой?

Видео:№14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость.Скачать

№14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость.

Лучший ответ:

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

Васян Коваль

Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну.

Видео:7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых

Геометрия. 7 класс

Следствия из аксиомы

Выберите все правильные варианты ответа.

Укажите следствия из аксиомы параллельных прямых.

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она не может пересекать другую.

Если три прямые параллельны, то любые две из них параллельны друг другу.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Да или нет

Выберите правильный вариант ответа из выпадающего списка.

Через точку М проведена прямая b, параллельная прямой a.

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

Можно ли через точку М провести еще одну прямую, параллельную данной? .

Можно ли провести две прямых параллельных данной? .

Можно ли это доказать? .

Найдите углы

Впишите недостающие элементы доказательства в таблицу.

Прямая с пересекает прямые а и b так, что ∠2 = 30 о , ∠1 в 5 раз больше. Докажите, что а || b.

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

Какие прямые параллельны?

Введите с клавиатуры пропущенные элементы.

Укажите в тексте параллельные прямые.

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

Если ∠1 =∠4, то прямые и параллельны. Если ∠2 =∠3, то прямые и параллельны.

Взаимное расположение прямых

Выделите цветом верный ответ.

Даны четыре прямые a, b, m, n. Причём прямые a и b перпендикулярны прямой n, прямые a и m параллельны. Каково взаимное положение прямых b и m?

Сколько точек и прямых?

Укажите, сколько точек и прямых можно построить по условию задачи.

Аксиома

Укажите утверждение, которое не является аксиомой.

Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Восстановите последовательность

Восстановите правильную последовательность доказательства.

Дано: ΔABC – прямоугольный

Докажите: AC ║ BD.

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

∠ABK = 180° – 90° – 43° = 47°

∠A = ∠ABK = 47° накрест лежащие при пересечении прямых AC и KD и секущей AB.

∠KBD = 180° развёрнутый.

Пересекающиеся прямые

Вставьте пропущенные элементы текста.

Через вершины A и B ΔABC проведены прямые m и n параллельные сторонам. Докажите, что прямые m и n пересекаются:

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

по условию m BC;

Значит m прямую n

т.к. n AC, согласно следствию из аксиомы параллельных прямых.

Признаки параллельности

Подчеркните правильный вариант ответа.

Продолжите предложение: прямые параллельны, если равны…

Параллельные прямые

Введите с клавиатуры пропущенные элементы текста.

Прямые a, b, c пересечены секущей m так, что: b || c, ∠1 = 57°, ∠2 = 123°. Докажите, что a || b.

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

Так как ∠1 + ∠2 = °, это углы, значит || .

По условию || , согласно следствию 2 из аксиомы параллельных прямых || .

Доказательство

Выделите цветом правильный вариант ответа.

Что доказывает это утверждение?

Дано: прямая a, M не принадлежит прямой a.

Доказать: через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

  1. Через точку M проведем прямую c, перпендикулярную a.
  2. Через точку M проведем прямую b перпендикулярную прямойc.
  3. Так как ac, bc , то ab.

📺 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

Сколько прямых можно провести через две точки? Геометрия 7 класс.Скачать

Сколько прямых можно провести через две точки? Геометрия 7 класс.

Параллельные прямые циркулемСкачать

Параллельные прямые циркулем

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

28. Аксиома параллельных прямыхСкачать

28. Аксиома параллельных прямых

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямыхСкачать

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямых

№ 196 - Геометрия 7-9 класс АтанасянСкачать

№ 196 - Геометрия 7-9 класс Атанасян

7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямойСкачать

7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямой

Урок ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕСкачать

Урок ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

6 и 7 кл.Провести через точки не лежащие на прямой а.,прямые параллельные данной прямойСкачать

6  и 7 кл.Провести через точки не лежащие на прямой а.,прямые параллельные данной прямой

№11. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие черезСкачать

№11. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через
Поделиться или сохранить к себе:
Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 2
Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой
Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой
1.Параллельность прямых в пространстве.
2.Признак параллельности прямых.
3.Признак параллельности плоскостей.
4.Свойства параллельных плоскостей.
5.Примеры.
1 2 3 4 5 6 7 8
Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой
Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

Рис. 1 Параллельность прямых в пространстве.

Видео:№197. Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямыхСкачать

№197. Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых

2.Признак параллельности прямых

Теорема. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Доказательство. Пусть прямые а и b лежат в разных плоскостях и параллельны прямой с. Доказать, что прямые а и b параллельны между собой. (Рис.2)

Проведем через прямую a и c плоскость α. Через прямые b и c плоскость β. Прямая с — прямая пересечения плоскостей α и β. Отметим на прямой а точку А. Проведем через точку А и прямую b плоскость γ. Тогда плоскость γ будет пересекать плоскость α по прямой а’. Прямая a’ либо паралельна прямой c, либо ее пересекает. Допустим прямая а’ пересекает прямую с. Тогда эта точка пересечения принадлежит плоскости β, т.к. прямая с принадлежит двум плоскостям α и β. А т.к. прямая а’ полностью принадлежит плоскости γ, а прямая b есть прямая пересечения плоскостей γ и β, то это означает, что она пересекает и прямую b. А это означает, что прямые b и c пересекаются, т.к. прямая a’ пересекает плоскость β только в одной точке, которая должна принадлежать двум прямым b и с. А это противоречит условию. Следовательно прямая a’ не пересекает прямую с. Она ей параллельна. Согласно аксиоме, на плоскости α, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. И эта прямая а. Т.е. прямые а и а’ совпадают. Это значит, что прямые а и b параллельны.

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

Рис.2 Признак параллельности прямых

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

3. Признак параллельности плоскостей

Теорема: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство.

Пусть α и β данные плоскости. Прямая а параллельна прямой а 1 . Прямая b параллельна b 1 (Рис.3). Допустим, что плоскости α и β пересекаются по прямой с. Тогда прямая с должна пересекать, как минимум, одну из прямых на каждой плоскости. Пусть это будут прямые а и а 1 . Т.к. прямые а и а 1 параллельны, следовательно они пересекают прямую с в разных точках Е и Е 1 . Проведем через две параллельные прямые а и а 1 плоскость γ. Тогда точки Е и Е 1 , которые лежат на прямой с, будут принадлежать плоскости γ. Следовательно, прямая с полностью принадлежит плоскости γ. Отсюда следует, что:

а ∈ α, γ.
а 1 ∈ β, γ.
с ∈ α, β,γ

т.е. плоскости α и γ пересекаются по двум прямым а и с, а плоскости β и γ пересекаются по прямым а 1 и с.

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

Рис. 3 Признак параллельности плоскостей.

Согласно аксиоме стереометрии, это невозможно, т.к. две плоскости могут пересекаться только по одной прямой. И следовательно, наше предположение неверно. Плоскости α и β не пересекаются, они параллельны.

Видео:№196. Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провестиСкачать

№196. Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести

4. Свойства параллельных плоскостей

Теорема: Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Доказательство.

Пусть даны две параллельные плоскости α и β (Рис.4). Плоскость γ пересекает их по прямым а и b.

Допустим, что прямые пересечения плоскостей пересекаются. Это прямые а и b’. Прямая а — это множество точек, принадлежащих плоскостям α и γ. А так как прямая b’ представляет собой множество точек, пренадлежащих двум плоскостям β и γ, то отсюда следует, что существует точка пересечения прямых а и b’, которая принадлежит плоскости α. И следовательно, плоскости α и β имеют общую точку. А это противоречит условию, т.к. плоскости α и β не пересекаются, они параллельны. Следовательно, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Т.е. они тоже параллельны.

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой

Рис. 4 Свойства параллельных плоскостей.

Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку не лежащую на данной прямой