Sinb формула в треугольнике

Теорема синусов. Теорема синусов для треугольника. Теорема синусов формула. Следствия из теоремы синусов

Что такое теорема синусов?

Теорема синусов для треугольника

Sinb формула в треугольнике

Теорема синусов формула

Теорема синусов формула:

Теорема синусов доказательство

Теорема синусов доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC Sinb формула в треугольнике

Высота треугольника ABC равна h. Выразим h через синус угла С:

Площадь треугольника ABC равна половине произведения основания b на высоту h:

Аналогично найдём площадь данного треугольника, используя другие его стороны:

Левые части всех трёх равенств для площади одинаковы, ведь мы искали площадь одного треугольника, значит равны и правые части:

Разделим обе части последнего равенства на произведение sinA*sinC:

Аналогично, приравнивая правые части (1/2)bc sinA = (1/2)ac sinB, получаем:

В результате получаем:

Теорема синусов для треугольника широко применяется при решении задач по геометрии, по кинематике и в других областях.

Следствия из теоремы синусов

Следствия из теоремы синусов.

Следствия из теоремы синусов состоят в том, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона.

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Синус в треугольнике

Что такое синус в треугольнике? Как найти синус острого угла в прямоугольном треугольнике?

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

для угла A треугольника ABC

противолежащий катет — это BC.

Соответственно, синус угла A в треугольнике ABC — это

Sinb формула в треугольнике

Sinb формула в треугольникеДля угла B треугольника ABC

противолежащим является катет AC.

Соответственно, синус угла B в треугольнике ABC

равен отношению AC к AB:

Sinb формула в треугольнике

Таким образом, синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины противолежащего катета на длину гипотенузы. Длины отрезков выражаются положительными числами, поэтому синус угла треугольника также является положительным числом.

Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то синус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.

Синус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:

Sinb формула в треугольнике

Синус угла треугольника зависит не от длин сторон треугольника, а от отношения этих длин.

1) В треугольнике ABC катет BC=3 см, а гипотенуза AB=5 см.

Sinb формула в треугольнике

2) В треугольнике ABC катет BC=21 дм, гипотенуза AB=35 дм.

Sinb формула в треугольнике

Длины сторон треугольника изменилось, но отношения длин остались прежними, поэтому и значение синуса угла A не изменилось.

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

Теорема синусов

Sinb формула в треугольнике

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Sinb формула в треугольнике

Формула теоремы синусов:

Sinb формула в треугольнике

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Sinb формула в треугольнике

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Sinb формула в треугольнике

Sinb формула в треугольнике
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Sinb формула в треугольнике

  • Sinb формула в треугольнике
    bc sinα = ca sinβ
    Sinb формула в треугольнике
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Sinb формула в треугольнике

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:Формулы приведения - как их легко выучить!Скачать

    Формулы приведения - как их легко выучить!

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Sinb формула в треугольнике

    Sinb формула в треугольнике

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Sinb формула в треугольнике

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Sinb формула в треугольнике

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Sinb формула в треугольнике

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Sinb формула в треугольнике

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Sinb формула в треугольнике

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Sinb формула в треугольнике

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Sinb формула в треугольнике

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:✓ Тригонометрические формулы | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Тригонометрические формулы | Борис Трушин

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Sinb формула в треугольнике

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Sinb формула в треугольнике

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Sinb формула в треугольнике

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Sinb формула в треугольнике

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Sinb формула в треугольнике

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Sinb формула в треугольнике

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Sinb формула в треугольнике

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Формула sin(a + b) = sinacosb + sinbcosaСкачать

    Формула sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Sinb формула в треугольнике
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Sinb формула в треугольнике

    Sinb формула в треугольнике

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

    Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Sinb формула в треугольнике

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    🎥 Видео

    ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

    Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

    Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачи

    ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функции

    Доказательство формулы синуса суммы sin(A+B)=cosA*sinB+sinA*cosBСкачать

    Доказательство формулы синуса суммы sin(A+B)=cosA*sinB+sinA*cosB

    Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

    Нахождение стороны прямоугольного треугольника

    Формула sin(a - b) = sinacosb - sinbcosaСкачать

    Формула sin(a - b) = sinacosb - sinbcosa

    9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

    9 класс, 15 урок, Решение треугольников

    Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

    Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

    Доказательство формулы синуса суммы sin(A+B)=cosA*sinB+sinA*cosBСкачать

    Доказательство формулы синуса суммы sin(A+B)=cosA*sinB+sinA*cosB

    Тригонометрия. Повторяем основные формулы. Учимся их использовать. Вебинар | МатематикаСкачать

    Тригонометрия. Повторяем основные формулы. Учимся их использовать. Вебинар | Математика

    вывод формул синус и косинус суммы угловСкачать

    вывод формул синус и косинус суммы углов

    Формула вспомогательного угла синуса (видео 4) | Тригонометрические функции | ГеометрияСкачать

    Формула вспомогательного угла синуса (видео 4) | Тригонометрические функции | Геометрия

    Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

    Формула для биссектрисы треугольника
    Поделиться или сохранить к себе: