О чем эта статья:
- Формулировка и доказательство теоремы косинусов
- Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
- Косинусы углов треугольника
- Определение угла с помощью косинуса
- Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
- Примеры решения задач
- Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
- Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
- Тригонометрия: Тригонометрический круг
- Основное тригонометрическое тождество
- Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
- Тригонометрия: градусы и радианы
- Тригонометрия: Формулы приведения
- Тригонометрия: Теорема синусов
- Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
- Тригонометрия: Теорема косинусов
- Примеры решений заданий из ОГЭ
- Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
- 1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла
- 🎬 Видео
Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Формулировка и доказательство теоремы косинусов
Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Формула Теоремы Пифагора:
a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.
В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:
В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).
cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.
BC 2 = a 2 = (b cos α — c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α — 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) — 2bc cos α + c 2
Что и требовалось доказать.
Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.
С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:
- Когда b 2 + c 2 — a 2 > 0, угол α будет острым.
- Когда b 2 + c 2 — a 2 = 0, угол α будет прямым.
- Когда b 2 + c 2 — a 2
Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.
Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:
- AD = b × cos α,
- DB = c – b × cos α.
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
- h 2 = b 2 — (b × cos α) 2
- h 2 = a 2 — (c – b × cos α) 2
Приравниваем правые части уравнений:
- b 2 — (b × cos α) 2 = a 2 — (c — b × cos α) 2
- a 2 = b 2 + c 2 — 2bc × cos α
Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.
Определим стороны b и c:
- b 2 = a 2 + c 2 — 2ac × cos β;
- c 2 = a 2 + b 2 — 2ab × cos γ.
Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать
Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:
a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α
b 2 = c 2 + a 2 — 2ca cos β
c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos γ
Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.
Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать
Косинусы углов треугольника
Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:
Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать
Определение угла с помощью косинуса
А теперь обратим внимание на углы.
Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).
Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.
Видео:Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.Скачать
Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.
Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α
Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля — Синус, косинус, тангенс и котангенс острого углаСкачать
Примеры решения задач
При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.
Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.
∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.
- Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
Из треугольника АВС найдем cos B:
Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°. Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно. Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись! Содержание страницы: Видео:Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэСкачать Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий. Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе. sin α = Противолежащий катет гипотенуза Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе. cos α = Прилежащий катет гипотенуза Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу). tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу). ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °: sin ∠ A = C B A B cos ∠ A = A C A B tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B sin ∠ B = A C A B cos ∠ B = B C A B tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C Видео:Спидран: Как запомнить таблицу синусов и косинусов за 1 минуту? Евгений ДолжкевичСкачать Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга. Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 ) На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы. Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A . Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) . Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y . Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B : cos α = O B O A = O B 1 = O B sin α = A B O A = A B 1 = A B Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O . Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат). Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° : Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный . Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y . Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла . Ещё одно замечание. Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная. Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный . Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный . Видео:Как найти sin, cos, tg, ctg угла по двум сторонам треугольника. Как построить угол по sin, cos, tg.Скачать sin 2 α + cos 2 α = 1 Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B : A B 2 + O B 2 = O A 2 sin 2 α + cos 2 α = R 2 sin 2 α + cos 2 α = 1 Видео:Зачем нужны синусы и косинусы?Скачать Видео:8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео! Видео:Теорема СинусовСкачать Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок, можно заметить, что: sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 ° sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 ° sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 ° sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 ° cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 ° cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 ° cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 ° cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 ° Рассмотрим тупой угол β : Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства: sin ( 180 ° − α ) = sin α cos ( 180 ° − α ) = − cos α tg ( 180 ° − α ) = − tg α ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α Видео:Почему синус это синусСкачать В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов. a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C Видео:СИНУС И КОСИНУС ЛЮБЫХ УГЛОВ | ТригонометрияСкачать Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности. a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Видео:Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике. sin, cos, tg, ctgСкачать Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C Видео:SIN COS в треугольникеСкачать Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией. Видео:Синус, косинус и тангенс Решение задач по геометрииСкачать Это тема 10-11 классов. Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности! Видео:Геометрия 8. Урок 11- Синус, Косинус, Тангенс и Котангенс угла в прямоугольном треугольнике.Скачать Видеоурок: Синус, косинус, тангенс и котангенс угла Лекция: Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла Синус, косинус произвольного угла Чтобы понять, что такое тригонометрические функции, обратимся к окружности с единичным радиусом. Данная окружность имеет центр в начале координат на координатной плоскости. Для определения заданных функций будем использовать радиус-вектор ОР , который начинается в центре окружности, а точка Р является точкой окружности. Данный радиус-вектор образует угол альфа с осью ОХ . Так как окружность имеет радиус, равный единице, то ОР = R = 1 . Если с точки Р опустить перпендикуляр на ось ОХ , то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице. Если радиус-вектор двигается по часовой стрелке, то данное направление называется отрицательным, если же он двигается против движения часовой стрелки — положительным. Синусом угла данной окружности, образованного радиусом-вектором ОР, является ордината точки Р вектора на окружности. То есть, для получения значения синуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой У на плоскости. Как данное значение было получено? Так как мы знаем, что синус произвольного угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, получим, что В единичной окружности значение ординаты не может быть меньше -1 и больше 1, значит, Синус принимает положительное значение в первой и второй четверти единичной окружности, а в третьей и четвертой — отрицательное. То есть, для получения значения косинуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой Х на плоскости. Косинус произвольного угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, получим, что В единичной окружности значение абсциссы не может быть меньше -1 и больше 1, значит, Косинус принимает положительное значение в первой и четвертой четверти единичной окружности, а во второй и в третьей — отрицательное. Тангенсом произвольного угла считается отношение синуса к косинусу. Если рассматривать прямоугольный треугольник, то это отношение противолежащего катета к прилежащему. Если же речь идет о единичной окружности, то это отношение ординаты к абсциссе. Судя по данным отношениям, можно понять, что тангенс не может существовать, если значение абсциссы равно нулю, то есть при угле в 90 градусов. Все остальные значения тангенс принимать может. Тангенс имеет положительное значение в первой и третьей четверти единичной окружности, а во второй и четвертой является отрицательным. Рассматривая прямоугольный треугольник — отношение прилежащего катета к противолежащему, то есть абсциссы к ординате. Так как ордината находится в знаменателе дроби, то котангенс не может существовать при угле альфа, равном нулю градусов. Котангенс принимает те же значения в четвертях единичной окружности, что и тангенс. Все перечисленные функции являются периодичными. Косинус и синус имеют период 360 градусов, то есть 2Пи, а тангенс и котангенс 180 градусов, то есть Пи.Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Тригонометрия: Тригонометрический круг
Основное тригонометрическое тождество
Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° sin α 0 1 2 2 2 3 2 1 cos α 1 3 2 2 2 1 2 0 tg α 0 3 3 1 3 нет ctg α нет 3 1 3 3 0 Тригонометрия: градусы и радианы
Тригонометрия: Формулы приведения
Тригонометрия: Теорема синусов
Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
Тригонометрия: Теорема косинусов
Примеры решений заданий из ОГЭ
Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла
🎬 Видео
КОСИНУС НА ПАЛЬЦАХ 🖐 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать