Sin 150 на окружности

Чтобы найти синус 150 градусов, используем формулу приведения для синуса тупого угла (от 90 до 180 градусов).

На единичной окружности синус угла альфа — это ордината точки, полученной поворотом на угол альфа вокруг точки O из точки (1;0).

Для синуса тупого угла (от 90º до 180º) верна формула приведения

Представим 150 градусов в виде разности

Используя данную формулу приведения и значение синуса 30 градусов, получаем

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

0 °30 °45 °60 °90 °sin α01 22 23 21cos α13 22 21 20tg α03 313нетctg αнет313 30

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Таблица СИНУСОВ для углов от 0° до 360° градусов

СИНУС (SIN α) — это одна из прямых тригонометрических функций для углов, в прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к его единственной гипотенузе.

Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)

α (радианы)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	√3π/2	2π
α (градусы)	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
SIN α (СИНУС)	0	1/2	√ 2/2	√3 /2	1	0	-1	0

Полная таблица синусов для углов от 0° до 360° с шагом всего в 1°

Угол в градусах	Sin (Синус)
0°	0
1°	0.0175
2°	0.0349
3°	0.0523
4°	0.0698
5°	0.0872
6°	0.1045
7°	0.1219
8°	0.1392
9°	0.1564
10°	0.1736
11°	0.1908
12°	0.2079
13°	0.225
14°	0.2419
15°	0.2588
16°	0.2756
17°	0.2924
18°	0.309
19°	0.3256
20°	0.342
21°	0.3584
22°	0.3746
23°	0.3907
24°	0.4067
25°	0.4226
26°	0.4384
27°	0.454
28°	0.4695
29°	0.4848
30°	0.5
31°	0.515
32°	0.5299
33°	0.5446
34°	0.5592
35°	0.5736
36°	0.5878
37°	0.6018
38°	0.6157
39°	0.6293
40°	0.6428
41°	0.6561
42°	0.6691
43°	0.682
44°	0.6947
45°	0.7071
46°	0.7193
47°	0.7314
48°	0.7431
49°	0.7547
50°	0.766
51°	0.7771
52°	0.788
53°	0.7986
54°	0.809
55°	0.8192
56°	0.829
57°	0.8387
58°	0.848
59°	0.8572
60°	0.866
61°	0.8746
62°	0.8829
63°	0.891
64°	0.8988
65°	0.9063
66°	0.9135
67°	0.9205
68°	0.9272
69°	0.9336
70°	0.9397
71°	0.9455
72°	0.9511
73°	0.9563
74°	0.9613
75°	0.9659
76°	0.9703
77°	0.9744
78°	0.9781
79°	0.9816
80°	0.9848
81°	0.9877
82°	0.9903
83°	0.9925
84°	0.9945
85°	0.9962
86°	0.9976
87°	0.9986
88°	0.9994
89°	0.9998
90°	1

Полная таблица синусов для углов от 91° до 180°

Угол в градусах	Sin (Синус)
91°	0.9998
92°	0.9994
93°	0.9986
94°	0.9976
95°	0.9962
96°	0.9945
97°	0.9925
98°	0.9903
99°	0.9877
100°	0.9848
101°	0.9816
102°	0.9781
103°	0.9744
104°	0.9703
105°	0.9659
106°	0.9613
107°	0.9563
108°	0.9511
109°	0.9455
110°	0.9397
111°	0.9336
112°	0.9272
113°	0.9205
114°	0.9135
115°	0.9063
116°	0.8988
117°	0.891
118°	0.8829
119°	0.8746
120°	0.866
121°	0.8572
122°	0.848
123°	0.8387
124°	0.829
125°	0.8192
126°	0.809
127°	0.7986
128°	0.788
129°	0.7771
130°	0.766
131°	0.7547
132°	0.7431
133°	0.7314
134°	0.7193
135°	0.7071
136°	0.6947
137°	0.682
138°	0.6691
139°	0.6561
140°	0.6428
141°	0.6293
142°	0.6157
143°	0.6018
144°	0.5878
145°	0.5736
146°	0.5592
147°	0.5446
148°	0.5299
149°	0.515
150°	0.5
151°	0.4848
152°	0.4695
153°	0.454
154°	0.4384
155°	0.4226
156°	0.4067
157°	0.3907
158°	0.3746
159°	0.3584
160°	0.342
161°	0.3256
162°	0.309
163°	0.2924
164°	0.2756
165°	0.2588
166°	0.2419
167°	0.225
168°	0.2079
169°	0.1908
170°	0.1736
171°	0.1564
172°	0.1392
173°	0.1219
174°	0.1045
175°	0.0872
176°	0.0698
177°	0.0523
178°	0.0349
179°	0.0175
180°	0

Таблица синусов для углов 181° — 270°

Угол	Sin (Синус)
181°	-0.0175
182°	-0.0349
183°	-0.0523
184°	-0.0698
185°	-0.0872
186°	-0.1045
187°	-0.1219
188°	-0.1392
189°	-0.1564
190°	-0.1736
191°	-0.1908
192°	-0.2079
193°	-0.225
194°	-0.2419
195°	-0.2588
196°	-0.2756
197°	-0.2924
198°	-0.309
199°	-0.3256
200°	-0.342
201°	-0.3584
202°	-0.3746
203°	-0.3907
204°	-0.4067
205°	-0.4226
206°	-0.4384
207°	-0.454
208°	-0.4695
209°	-0.4848
210°	-0.5
211°	-0.515
212°	-0.5299
213°	-0.5446
214°	-0.5592
215°	-0.5736
216°	-0.5878
217°	-0.6018
218°	-0.6157
219°	-0.6293
220°	-0.6428
221°	-0.6561
222°	-0.6691
223°	-0.682
224°	-0.6947
225°	-0.7071
226°	-0.7193
227°	-0.7314
228°	-0.7431
229°	-0.7547
230°	-0.766
231°	-0.7771
232°	-0.788
233°	-0.7986
234°	-0.809
235°	-0.8192
236°	-0.829
237°	-0.8387
238°	-0.848
239°	-0.8572
240°	-0.866
241°	-0.8746
242°	-0.8829
243°	-0.891
244°	-0.8988
245°	-0.9063
246°	-0.9135
247°	-0.9205
248°	-0.9272
249°	-0.9336
250°	-0.9397
251°	-0.9455
252°	-0.9511
253°	-0.9563
254°	-0.9613
255°	-0.9659
256°	-0.9703
257°	-0.9744
258°	-0.9781
259°	-0.9816
260°	-0.9848
261°	-0.9877
262°	-0.9903
263°	-0.9925
264°	-0.9945
265°	-0.9962
266°	-0.9976
267°	-0.9986
268°	-0.9994
269°	-0.9998
270°	-1

Таблица синусов для углов от 271° до 360°

Угол	Sin (Синус)
271°	-0.9998
272°	-0.9994
273°	-0.9986
274°	-0.9976
275°	-0.9962
276°	-0.9945
277°	-0.9925
278°	-0.9903
279°	-0.9877
280°	-0.9848
281°	-0.9816
282°	-0.9781
283°	-0.9744
284°	-0.9703
285°	-0.9659
286°	-0.9613
287°	-0.9563
288°	-0.9511
289°	-0.9455
290°	-0.9397
291°	-0.9336
292°	-0.9272
293°	-0.9205
294°	-0.9135
295°	-0.9063
296°	-0.8988
297°	-0.891
298°	-0.8829
299°	-0.8746
300°	-0.866
301°	-0.8572
302°	-0.848
303°	-0.8387
304°	-0.829
305°	-0.8192
306°	-0.809
307°	-0.7986
308°	-0.788
309°	-0.7771
310°	-0.766
311°	-0.7547
312°	-0.7431
313°	-0.7314
314°	-0.7193
315°	-0.7071
316°	-0.6947
317°	-0.682
318°	-0.6691
319°	-0.6561
320°	-0.6428
321°	-0.6293
322°	-0.6157
323°	-0.6018
324°	-0.5878
325°	-0.5736
326°	-0.5592
327°	-0.5446
328°	-0.5299
329°	-0.515
330°	-0.5
331°	-0.4848
332°	-0.4695
333°	-0.454
334°	-0.4384
335°	-0.4226
336°	-0.4067
337°	-0.3907
338°	-0.3746
339°	-0.3584
340°	-0.342
341°	-0.3256
342°	-0.309
343°	-0.2924
344°	-0.2756
345°	-0.2588
346°	-0.2419
347°	-0.225
348°	-0.2079
349°	-0.1908
350°	-0.1736
351°	-0.1564
352°	-0.1392
353°	-0.1219
354°	-0.1045
355°	-0.0872
356°	-0.0698
357°	-0.0523
358°	-0.0349
359°	-0.0175
360°	0

Таблица синусов особенно нужна, когда у вас под рукой нет супер навороченного инженерного калькулятора с маленькой спасительной кнопкой с надписью «sin». В таком случае, чтобы узнать, чему же равняется синус определенного заданного угла, просто найдите информацию о интересующем градусе.

Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите полностью всё таблицу, на выделенном фоне нажмите уже правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

Как пользоваться таблицей? Всё гораздо проще, чем Вы думаете, ищем в левой вертикальной колонке, соответствующий градус, и напротив него и будет указано нужное значение синуса для данного нужного нам угла.

Чему равен синус 45? …

— А вот собственно и сам ответ на поставленную задачку.sin 45 = 0.7071

💡 Видео