Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Вписанные и описанные окружности шпаргалка
Содержание
  1. Описанная и вписанная окружность
  2. теория по математике 📈 планиметрия
  3. Описанная окружность
  4. Вписанная окружность
  5. Вписанный и описанный треугольники
  6. Вписанный и описанный четырехугольники
  7. Вписанные и описанные окружности шпаргалка
  8. Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения
  9. Описанная и вписанная окружности треугольника
  10. Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности
  11. Вписанные и описанные четырехугольники
  12. Окружность, вписанная в треугольник
  13. Описанная трапеция
  14. Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника
  15. Обобщенная теорема Пифагора
  16. Формула Эйлера для окружностей
  17. Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника
  18. Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
  19. Описанная и вписанная окружность
  20. теория по математике 📈 планиметрия
  21. Описанная окружность
  22. Вписанная окружность
  23. Вписанный и описанный треугольники
  24. Вписанный и описанный четырехугольники
  25. 🔥 Видео

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Описанная и вписанная окружность

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Описанная окружность

Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Вписанный и описанный треугольники

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейЦентр вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Вписанный и описанный четырехугольники

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейУсловие вписанной в 4-х угольник окружности

Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Вписанные и описанные окружности шпаргалка

Ключевые слова: окружность, описанная окружность, центр окружности, вписанная окружность, треугольник, четырехугольник, вневписанная окружность

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.
Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.

Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.
Для треуголь ника это всегда возможно.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности

  • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
  • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
  • Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: $$r = frac

Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.

  • Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
  • В любом треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла.
  • Площадь треугольника равна отношению произведения длин всех его сторон к учетверенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника: $$R =frac $$, где S — площадь треугольника.
  • Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов, при вершинах касаемой стороны, и биссектрисы угла при третей вершине.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

  • Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
  • Радиус равен половине гипотенузы: $$R = frac $$.
  • Радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе: $$R = m_ $$.

Четырехугольник, вписанный в окружность

  • Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих углов равна $$180^circ: alpha + beta + gamma +delta = 180^circ$$.
  • Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равны $$180^circ$$.
  • Сумма произведений противолежащих сторон четырехугольника ABCD равна произведению диагоналей: $$ABcdot DC + AD cdot BC = BD cdot AC$$.
  • Площадь: $$S = sqrt $$, где $$p = frac $$ — полупериметр четырехугольника.

Окружность, вписанная в ромб

  • В любой ромб можно вписать окружность.
  • Радиус r вписанной окружности: $$r = frac $$, где h — высота ромба или $$r = frac cdot d_ > $$, где a — сторона ромба, d1 и d2 — диагонали ромба.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Содержание:

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

2. Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейгде Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— радиус вписанной окружности треугольника,

3. Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейгде R — радиус описанной окружности Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Найдем радиус Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейвневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейПо свойству касательной Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейИз подо­бия прямоугольных треугольников АОЕ и Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(по острому углу) следуетШпаргалка по вписанным и описанным окружностейТак как Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейто Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейоткуда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Пример:

Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Видео:Все о вписанных и описанных окружностях с нуля | PARTAСкачать

Все о вписанных и описанных окружностях с нуля | PARTA

Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

На рисунке 90 изображена окружность с ради­усом R и центром Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейописанная около треугольни ка АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

На рисунке 92 изображена окружность с цент­ром О и радиусом Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейвписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
Так как Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи по свойству касательной к окружности Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейШпаргалка по вписанным и описанным окружностейто центр вписанной окружности равно­удален от сторон треугольника.

Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точ­ку пересечения любых двух из них.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейгде Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— полупериметр треугольника, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Пусть дан треугольник АВС со сторонами Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точ­ку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейРадиусы Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейпроведенные в точки касания, будут высотами этих тре­угольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Следствие:

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
(рис. 95).

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— иско­мый радиус. Поскольку Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(как прямо­угольные с общим острым углом СВК), то , Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейоткуда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(см. рис. 95) Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейиз Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейоткуда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейДальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейкак вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное меж­ду гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейоткуда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
Ответ: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейсм.
Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружно­сти, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, про­веденной к основанию, или на ее продолжении».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Полезно запомнить!
Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейа высоту, проведенную к основанию, — Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейто получится пропорция Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей.
Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окруж­ности, описанной около равнобедренного треугольника:

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре­угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейпо теореме Пифагора Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(см), откуда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— общий) следует:Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. Тогда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейШпаргалка по вписанным и описанным окружностей(см).
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(см. рис. 97) Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, из Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейШпаргалка по вписанным и описанным окружностейоткуда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей‘ откуда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей= 3 (см).

Способ 4 (формула Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей). Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейИз формулы площади треугольника Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейследует: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
Ответ: 3 см.

Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в тре­угольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейего вписанной окружности.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейПоскольку ВК — высота и медиана, то Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейИз Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, откуда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей.
В Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейкатет ОК лежит против угла в 30°, поэтому Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейВысоту равностороннего треугольника можно найти по формуле Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. Откуда

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Ответ: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейто Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейЗначит, сторона равностороннего
треугольника в Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейраз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейразделить на Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейгде с — гипотенуза.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейгде с — гипотенуза.
Теорема доказана.

Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, где Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— искомый радиус, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— катеты, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— гипотенуза треугольника.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи гипотенузой Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейкасается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейШпаргалка по вписанным и описанным окружностейЧетырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. Тогда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейШпаргалка по вписанным и описанным окружностейТак как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейНо Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, т. е. Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, откуда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Следствие: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейгде р — полупериметр треугольника.

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Формула Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейв сочетании с формулами Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейдает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

Пример. Дан прямоугольный треугольник, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейНайти Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей.

Решение:

Так как Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейто Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
Из формулы Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейследует Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. По теореме Виета (обратной) Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— посторонний корень.
Ответ: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей= 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— квадрат, то Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
По свойству касательных Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
Тогда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейПо теореме Пифагора

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Следовательно, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
Радиус описанной окружности Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейзначения Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейполучим Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейПо теореме Пифагора Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, т. е. Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейТогда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейрадиус вписанной в него окружности Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейНайти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейгипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейвписанной окружности, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— высота Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейпо катету и гипотенузе.
Площадь Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейравна сумме удвоенной площади Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи площади квадрата CMON, т. е.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Способ 2 (алгебраический). Из формулы Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейследует Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейШпаргалка по вписанным и описанным окружностейВозведем части равенства в квадрат: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейШпаргалка по вписанным и описанным окружностейТак как Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейШпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Способ 3 (алгебраический). Из формулы Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейследует, что Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейИз формулы Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейследует, что Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейДуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейАналогично доказывается, что Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейто около него можно описать окружность.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейили внутри нее в положении Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейто в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейне была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейкоторый касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейШпаргалка по вписанным и описанным окружностейчто противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Для описанного многоугольника справедлива формула Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, где S — его площадь, р — полупериметр, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейТак как у ромба все стороны равны , то Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейоткуда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейИскомый радиус вписанной окружности Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейнайдем площадь данного ромба: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейС другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейПоскольку Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(см), то Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейОтсюда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейШпаргалка по вписанным и описанным окружностей(см).

Ответ: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейсм.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейделит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).
Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейНеобходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейтрапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейТогда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейПо свойству описанного четырехугольника Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейОтсюда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейТак как Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейкак внутренние односторонние углы при Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи секущей CD, то Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(рис. 131). Тогда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— прямоугольный, радиус Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейявляется его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейили Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейВысота Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейописанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейТак как по свой­ству описанного четырехугольника Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейто Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейШпаргалка по вписанным и описанным окружностейНайти величину угла ВАС (рис. 132, а).
Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейкак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейВ прямоугольном треугольнике ABM Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейоткуда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейто Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейШпаргалка по вписанным и описанным окружностейТак как АВ = AM + МВ, то Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейоткуда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейт. е. Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. После преобразований получим: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейАналогично: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейШпаргалка по вписанным и описанным окружностей Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
Ответ: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейШпаргалка по вписанным и описанным окружностейШпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Замечание. Если Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(рис. 141), то Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейШпаргалка по вписанным и описанным окружностей(см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейПусть в трапеции ABCD основания Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— боковые стороны, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. Известно, что в равнобедренной трапеции Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейШпаргалка по вписанным и описанным окружностейОтсюда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейОтвет: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейбоковой стороной с, высотой h, средней линией Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи радиусом Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейвписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143
Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейкак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейто около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей» . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейпроведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(рис. 148). Тогда теорема Пифагора Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейможет звучать так: сумма квадратов гипотенуз Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейтреугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— соответствующие линейные элемен­ты Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейто можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:
Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Действительно, из подобия указанных треугольников Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейоткуда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Пример:

Пусть Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(см. рис. 148). Найдем Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейПо обобщенной теореме Пифагора Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейотсюда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
Ответ: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей= 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, и Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). ТогдаШпаргалка по вписанным и описанным окружностей— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейгде b — боковая сторона, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейРадиус вписанной окружности Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейТак как Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейто Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейИскомое расстояние Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
А теперь найдем d по формуле Эйлера: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейоткуда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейКак видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

  1. Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
  2. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
  3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
  4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей
  5. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
  6. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
  7. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейгде Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— полупериметр, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— радиус вписанной окружности.

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— центр окружности, описанной около треугольника Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, поэтому Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей.

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейсуществует точка Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейбудет центром описанной окружности, а отрезки Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— ее радиусами.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

На рисунке 299 изображен произвольный треугольник Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. Проведем серединные перпендикуляры Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейсторон Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейсоответственно. Пусть точка Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— точка пересечения этих прямых. Поскольку точка Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейпринадлежит серединному перпендикуляру Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, то Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. Так как точка Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейпринадлежит серединному перпендикуляру Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, то Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. Значит, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейШпаргалка по вписанным и описанным окружностей, т. е. точка Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейравноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, отрезки Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— радиусы, проведенные в точки касания, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейсуществует точка Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейбудет центром окружности радиуса г, которая касается сторон Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

На рисунке 301 изображен произвольный треугольник Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. Проведем биссектрисы углов Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— точка их пересечения. Так как точка Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейпринадлежит биссектрисе угла Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, то она равноудалена от сторон Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(теорема 19.2). Аналогично, так как точка Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейпринадлежит биссектрисе угла Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, то она равноудалена от сторон Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. Следовательно, точка Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейравноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, где Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— радиус вписанной окружности, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— катеты, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— гипотенуза.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Решение:

В треугольнике Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей(рис. 302) Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, точка Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— центр вписанной окружности, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— точки касания вписанной окружности со сторонами Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейсоответственно.

Отрезок Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей.

Так как точка Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— центр вписанной окружности, то Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— биссектриса угла Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейи Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. Тогда Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей— равнобедренный прямоугольный, Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей. Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположение точек и прямых
  • Сравнение и измерение отрезков и углов
  • Первый признак равенства треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Ключевые слова: окружность, описанная окружность, центр окружности, вписанная окружность, треугольник, четырехугольник, вневписанная окружность

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.
Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.

Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.
Для треуголь ника это всегда возможно.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности

  • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
  • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
  • Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: $$r = frac

    $$ , где S — площадь треугольника, а $$p =frac$$ — полупериметр треугольника.

Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Четырехугольник, вписанный в окружность

Окружность, вписанная в ромб

Описанная и вписанная окружность

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Описанная окружность

Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

Вписанный и описанный треугольники

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность: Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейЦентр вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Вписанный и описанный четырехугольники

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностейУсловие вписанной в 4-х угольник окружности

Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Шпаргалка по вписанным и описанным окружностей

На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.

🔥 Видео

Вписанная и описанная окружностиСкачать

Вписанная и описанная окружности

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Вписанная и описанная окружности. ЗадачиСкачать

Вписанная и описанная окружности. Задачи

Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольникаСкачать

Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольника

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность
Поделиться или сохранить к себе: