Шестиугольная правильная призма диаметр окружности (8 видео)

ЗАДАНИЕ 9 «ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ»

Образец выполнения задания представлен в приложении 7.

Построить три изображения предмета по его описанию. Выполнить необходимые разрезы и сечения. Предмет изобразить с двумя отверстиями — призматическим и цилиндрическим. Работу выполнить на формате А3.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ.

1. Построив три вида внешней формы предмета, рекомендуется выполнить на главном виде призматическое отверстие по форме и размерам, приведенным в таблице. Затем построить тонкими линиями проекции этого отверстия на видах сверху и сбоку. После этого построить проекции цилиндрического отверстия, начав построение с вида сверху.

2. После построения трек видов нужно выполнить разрезы. При заданных формах предмета потребуется выполнять три разреза — горизонтальный, фронтальный и профильный. Правила обозначения и изображения разрезов должны соответствовать ГОСТ 2.305-68. При симметричных изображениях следует соединить половину разреза с половиной вида. При этом на виде не показывают штриховыми линиями внутренний контур.

3. После построения изображений надо нанести размеры в соответствии с ГОСТ 2.307-68. Обратите внимание на то, что ни один из размеров не должен повториться на других изображениях.

4. Заключительный этап выполнения задания — построение сечения.

Содержание

Практическая часть курса начертательной геометрии при заочной форме обучения состоит из контрольных работ (стр. 14 )
Правильная шестиугольная призма — свойства, признаки и формулы
Общие сведения
Свойства шестигранника
Решение простого примера
Задача высокого уровня
🔍 Видео

Видео:Шестиугольная призма.Ортогональные и изометрическая проекции.Урок 17.(Часть2. ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ)Скачать

Практическая часть курса начертательной геометрии при заочной форме обучения состоит из контрольных работ (стр. 14 )

Шестиугольная правильная призма диаметр окружности

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Продолжение приложения 3

Рис. 15 (окончание)

Окончание приложения 4

Рис. 16 (окончание)

Внешняя форма предмета

Шестиугольная правильная призма. Диаметр окружнocти, описанной вокруг шестиугольника основания, равен 90 мм. Две вершины основания лежат на горизонтальной оси симметрии. Высота призмы 100 мм.

Сквозное отверстие с вертикально расположенной осью, проходящей через центр шестиугольника. Диаметр отверстия 30 мм

Пятиугольная правильная призма. Пятиугольник основания вписан в окружность диаметром 90 мм. Одна из вершин пятиугольника лежит на вертикальной оси симметрии основания и является ближaйшей к глазу наблюдателя. Высота призмы 100 мм.

Диаметр отверстия 30 мм. Вертикально расположенная ось проходит через центр пятиугольника

Четырехугольная правильная призма. Сторона основания квадрата 70 мм. Вершины квадрата лежат на горизонтальной и вертикальной осях симметрии основания. Высота призмы 100 мм.

Диаметр отверстия 25 мм. Вертикально расположенная ось проходит через центр квадрата

Прямой круговой цилиндр. Диаметр основания 90 мм. Высота цилиндра 100 мм.

Вертикально расположенное отверстие диаметром 25 мм проходит до верхней плоскости призматического отверстия

Сфера диаметром 100 мм. На высоте 30 мм от экватора сфера срезана горизонтальной плоскостью

Сквозное отверстие диаметром 30 мм. Ось отверстия совпадает с вертикальной осью сферы

Четырехугольная правильная призма. Сторона квадрата основания 70 мм. Вершины квадрата лежат на горизонтальной и вертикальной осях симметрии основания. Высота призмы 100 мм.

Сквозное отверстие диаметром 30 мм. Вертикально расположенная ось отверстия проходит через центр квадрата

Продолжение таблицы 1

Шестиугольная правильная призма Диаметр окружнocти, вписанной в шестиугольник основания, равен 80 мм. Две вершины основания лежат на вертикальной оси симметрии. Высота призмы 100 мм.

Сквозное отверстие диаметром 25 мм. Вертикально расположенная ось отверстия проходит через центр шестиугольника

Сфера диаметром 100 мм. На уровне 30 мм под экватором сфера срезана горизонтальной плоскостью

Сквозное отверстие диаметром 25 мм. Ось отверстия совпадает с вертикальной осью сферы

Сквозное отверстие диаметром 25 мм. Вертикально расположенная ось проходит через центр пятиугольника

Прямой круговой цилиндр. Диаметр основания 90 мм. Высота цилиндра 100 мм.

Вертикально расположенное отверстие диаметром 30 мм проходит до верхней плоскости призматического отверстия

Окончание приложения 5

Размеры отверстия и расположение его от нижнего основания предмета (или центра сферы)

Видео:ЕГЭ Задание 8 Правильная шестиугольная призмаСкачать

Правильная шестиугольная призма — свойства, признаки и формулы

Одним из фундаментальных объектов в геометрии является многоугольник. Если рассматривать фигуру в трёхмерном пространстве, то с помощью двух таких геометрических тел с шестью углами можно построит правильную шестиугольную призму. При этом боковые грани обязательно будут прямоугольниками. По своему виду такая фигура напоминает пчелиные соты, поэтому она и интересна для изучения архитекторам и математикам.

Видео:Геометрия - Построение шестиугольникаСкачать

Общие сведения

Призма представляет собой многогранную объёмную фигуру. Две стороны её всегда конгруэнтные (равные) и расположены относительно друг друга в параллельных плоскостях. Остальные же грани являются параллелограммами и формируют общие боковые основания с параллельными поверхностями. Четырёхугольники состоят из попарно равноудалённых прямых. Называют их боковыми гранями призмы. Оставшиеся же 2 многоугольника — основанием. По сути, фигура — это частный случай некругового цилиндра.

Кроме основания и граней, в состав стереофигуры входит:

высота — прямая, перпендикулярная плоскостям, лежащим у основания многогранника;
боковые рёбра — стороны, являющиеся общими для боковых граней;
вершины — точки, принадлежащие сразу двум отрезкам и формирующим периметр геометрического тела;
диагонали — отрезки, проходящие через 2 вершины, но при этом несвойственные одной грани;
диагональные плоскости — пересекающие боковые рёбра и диагональ у основания.

Кроме этого, используются такие понятия, как диагональное и ортогональное сечение. Первое представляет собой параллелограмм, полученный при пересечении призмы и диагональной плоскости. Второе же — пересечение многогранника с плоскостью, перпендикулярной боковому ребру.

В зависимости от расположения стенок и вида основания, призмы разделяют на 3 типа. Прямой называют ту, где все грани — прямоугольники. Если у фигуры в основании находится правильный многоугольник, стереофигура считается правильной. Частным случаем её является полуправильная призма. В ней боковые грани образуют квадраты. Когда же у многогранника основания непараллельные, призму называют усечённой.

Полуправильный многогранник, имеющий 2 параллельных основания в виде правильных n-угольников, равных между собой, чьи грани представляют собой ломаную линию, называют антипризмой. В качестве примера такой фигуры можно привести октаэдр, икосаэдр и восьмиугольный октагон.

Видео:Построение правильной шестиугольной призмыСкачать

Свойства шестигранника

Правильную шестиугольную призму принято обозначать большими латинскими буквами: ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Длину основания подписывают маленьким символом a, а длину боковой стороны h. К характеристикам фигуры относят площади основания, боковые грани, полную поверхность, объём многогранника. Всего у геометрического тела 8 граней, 18 рёбер и 12 вершин.

Для успешного вычисления различных параметров фигуры понадобится знать следующие формулы:

Площадь основания. Так как в основе тела лежат правильные шестиугольники, то, используя их свойства, можно получить формулу: S = (3 * a 2 * √ 3) / 2, где: а — сторона многоугольника.

Площадь полной поверхности. Определяется она из равенства: Sb = 6 * a * h + 2 * (3 * a 2 * √ 3) / 2. Из-за того, что площадь плоскости можно получить путём сложения сторон призмы и двух поверхностей её основания, а грань — прямоугольник (S прямоугольника = a * h), то указанная формула будет верной.

Объём. Он равняется произведению площади основания на высоту. Роль последней может играть ребро любой стороны, например, BB1. Учитывая сказанное, формулу можно записать так: V = S * BB 1 = ((3 √ 3) / 2) * (a 2 * h).

Если рассмотреть правильный шестиугольник, лежащий в основе призмы ABCDEF, и провести отрезки AB, CD, EF, у них будет общая точка пересечения. Для удобства обозначить её можно буквой O. Так как, в соответствии со свойствами, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA будут правильными, можно составить равенство: AO = OD = EO = OB = CO = OF = a .

Через точку М можно провести прямую AC и CF. Образованный ранее треугольник AEO будет равнобедренным. В нём отрезок AO равняется по величине OE. Значит, угол EOA будет развёрнутым и равняться 120 градусам. Используя свойства равнобедренного треугольника, можно записать: AE = a * √2 * (1 — cos EOA). То есть: AE = AC = √3 * a.

По аналогии можно найти и стороны: EA1, FB1, AC1, BD1, CE1, DF1. Так как AA1 = h, а из свойств правильной призмы следует, что угол EAA1 — прямой, длины сторон будут равны между собой, и их можно найти, используя формулу: √(AA1 2 + AE 2 )= √(h 2 + 3 * a) = 2 * a. Грань EB1 = FC1 = AD1 = BE1 = CF1 = DA1 = √(BB1 2 + BE 2 ) = √(h 2 + 4 *a) = √5 *a. Сторона FE1 = √(FE 2 + EE 2 ) = √(h 2 + a 2 ) = √2 *a.

Длины диагоналей призмы равняются сумме квадратов высоты и длины основания под корнем. Это легко доказать, если принять, что ЕЕ1 = h, а FE = a. Треугольник FEE1 прямоугольный, значит, FE = √(h 2 + a 2 ), что и следовало доказать.

Видео:Правильная шестиугольная призма | Стереометрия #47 | ИнфоурокСкачать

Решение простого примера

Такого вида задачи обычно даются в учебниках по геометрии для выпускных классов средней школы. Решить их самостоятельно несложно, нужно только знать формулы и представлять, как выглядит та или иная фигура. При этом часто приходится использовать дополнительные построения. Вот один из таких типовых примеров.

Пусть имеется девятиугольная фигура, в которую вписана правильная шестиугольная призма со стандартным обозначением вершин. Сторона основания в ней составляет 4 см, а длина бокового ребра меньше её в 2 раза, то есть равняется 2. Необходимо вычислить расстояние от точки C1 до прямой, соединяющей вершины EF. По условию задачи в основании лежит геометрическое тело, у которого все стороны и углы равны, то есть фигура правильная.

Чтобы понять, что будет представлять искомая прямая, нужно изобразить призму на рисунке и на нём же начертить отрезок. Фактически это будет перпендикуляр, который и является вычисляемым расстоянием. Проекцией точки С1 будет вершина С. Из неё можно построить перпендикуляр, который ограничится точкой E. Таким образом, поставленная задача сводится к поиску длины отрезка C1E.

Найти длину прямой можно как гипотенузу прямоугольного треугольника С1СE. Треугольная фигура будет с прямым углом C. Из условия задачи отрезок С1С в два раза меньше ребра основания, а значит равен 2. Теперь осталось найти, чему равняется длина CE. Геометрическое тело CDE является равнобедренным. По условию CD = ED. Сумму углов шестиугольника можно найти по формуле е = 180 * (n — 2) = 180 * 4 = 720. Получается, что на каждый угол приходится по 120 градусов.

С вершины D можно опустить перпендикуляр DN на CE. Принимая во внимание свойства равнобедренного треугольника, высота DN будет медианной и биссектрисой. Следовательно, угол C равняется 30 градусов, так как CDH — прямоугольный.

Теперь можно найти СH. Сделать это возможно через косинус угла C: cos 30 = CH / CD. Отсюда: CH = 4 * p/2 = 2 √ 3. Так как CH = HE, сторона CE = 2 * 2 √3. К треугольнику CC1E можно применить теорему Пифагора: C1E 2 = C1C 2 + CE = 2 2 + (4 c3) 2 . C1E 2 = √ 52. Таким образом, искомый ответ можно записать так: C1E = 2√13.

Видео:Построение развертки шестигранной призмыСкачать

Задача высокого уровня

Решение примеров повышенного уровня сложности предполагает не только хорошее понимание изучаемого материала, но и знание предыдущих тем. Понадобится вспомнить формулы для нахождения площадей и объёмов плоских фигур и их свойства. Вот пример одной из таких задач.

Пусть имеется шестиугольная объёмная фигура, у которой баковая грань равняется 6, а площадь основания 12. Нужно найти объём геометрического тела с вершинами в точках A, B1, C1, D1, E1, F1.

В таких задачах перед тем как непосредственно приступить к вычислениям, желательно использовать вспомогательный рисунок. На нём нужно изобразить фигуру в трёхмерной системе координат и подписать все её вершины.

Согласно условию, площадь основания Sabcde1f1 = 12, отрезок AA1 = 6. Так как фигура правильная, то все ребра у призмы буду равны. Чтобы найти, сколько будет составлять объём, понадобится обозначить многогранник. Для этого следует построить отрезки F1B, F1A, B1, E1A, D1A, C1A. Получившаяся фигура представляет собой пирамиду.

Формула для нахождения объёма пирамиды записывается так: V = h * S / 3. Её можно привести к виду: V = (AA1 * Sb1c1d1e1f1) / 3. Теперь нужно определить, чему же будет равняться площадь шестиугольника. Так как в основании призмы лежит правильная фигура с шестью углами, радиус описанной окружности будет совпадать с боковой стороной.

Таким образом, искомая площадь будет равняться шести поверхностям правильного треугольника. В свою очередь, его занимаемый размер можно определить как Sтр = (a * b) * sin / 2. Значит, площадь основания призмы равна: S = (6 * R * R * sin 60) / 2. Подставив заданное условием значение из формулы, можно выразить радиус: R 2 = (12 * 2) / 3 √ 3 = 8 /√3.

Площадь треугольника A1B1F1 находится как произведение сторон, умноженное на синус угла и разделённое на 2: S = (a * a * sin120) / 2 = a 2 * sin60 / 2 = (R 2 * √ 3/3) / 2. Подставив значение R, можно получить: S = (½) * (8 / √ 3) * (√3 / 2) = 2. Тогда площадь пятиугольника будет равняться разнице поверхностей шестиугольника и треугольника A1B1F1, то есть S = 12 — 2 = 10. Теперь можно будет подсчитать и объём пирамиды: Vab1c1d1e1f1 = (1 / 3) * 6 * 10 = 20. Задача решена.