Шар катится по окружности (8 видео) | Курс школьной геометрии

Как быстрее скатиться с горки?

Содержание

Решение задачи, представленной экспериментально на Марафоне-2005
Движение по окружности (кинематика, динамика)
Шарик массой m катится с постоянной угловой скоростью ω по внутренней поверхности конуса, описывая горизонтальную окружность радиуса r.
Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
🔍 Видео

Видео:Урок 43. Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности. Центростремительное ускорениеСкачать

Решение задачи, представленной экспериментально на Марафоне-2005

Казалось бы, чем короче путь, тем быстрее доберёшься. Поэтому катиться надо по наклонной плоскости, соединяющей две точки. Но не всё так просто… Как показали экспериментально ученики С.Н.Кириллова, по наклонной плоскости шарик спускался медленнее, чем по изготовленному ими криволинейному профилю с двумя «ямами».* (*См. – стенд НИИ научного мировоззрения). [Одно из возможных объяснений могло быть следующим. Перемещение шарика в обоих случах одно и то же, равно s = (t) . t, и, по крайней мере в случае наклонной плоскости (равноускоренное движение), равно просто площади треугольника, образуемого прямой (t) и осью t. Такая же площадь должна быть и под кривой (t) в случае криволинейной траектории. А поскольку во втором случае скорость шарика местами сильно превышает скорость в первом случае, то время движения должно быть меньше. (На самом деле модуль перемещения где x – проекция скорости шарика на ось Х, направленную вниз вдоль наклонной плоскости. Именно поэтому модуль перемещения численно равен площади фигуры под графиком x(t). Для криволинейной траектории, лежащей под наклонной прямой, может оказаться, что график x(t) лежит выше, чем в случае наклонной прямой, т.е. скорость больше. Значит, то же самое перемещение совершается за более короткое время.) Однако эти, казалось бы, столь очевидные истины при внимательном рассмотрении оказываются не столь очевидными. – Ред.]

Начнём с 1696 г., когда на письмо И.Бернулли, опубликованное в журнале «Acta Eruditorum» с интригующим заглавием «Новая задача, к решению которой приглашаются математики», откликнулись Г.Лейбниц, Г.Лопиталь и Я.Бернулли. Условие задачи было следующим: «В вертикальной плоскости даны точки А и В. Определить путь АМВ, спускаясь по которому под действием собственной тяжести и при отсутствии сил трения, тело М, начав двигаться из точки А, достигнет точки В в кратчайшее время». И.Бернулли предложил называть кривую, соответствующую скорейшему спуску с горы, брахистохроной (от двух греческих слов: – самое короткое – и – время). Прошло некоторое время, и все эти знаменитые учёные решили задачу разными способами, но пришли к одинаковому ответу: брахистохрона – это циклоида.

Между точками А и В необходимо найти траекторию скорейшего спуска под действием только силы тяжести. Тонкой линией обозначена наклонная плоскость, соединяющая эти точки, а жирной – искомая брахистохрона

Что такое циклоида? Одним из первых определение циклоиды дал Паскаль, назвав её кривой, «описываемой в воздухе гвоздём колеса, когда оно катится своим движением с того момента, как гвоздь начал подниматься от земли, до того, когда непрерывное качение колеса не приводит его опять к земле после окончания целого оборота».

Циклоида – жирная кривая, которую описывает жирная точка (гвоздь), лежащая на границе круга радиусом r, катящегося без скольжения по прямой, совпадающей с осью х. Остальные обозначения сделаны для вычисления координат точки циклоиды, соответствующей повороту колеса на угол . Угол между касательной к циклоиде и вертикалью равен

Попробуем сначала расшифровать данное Паскалем определение циклоиды и вывести её уравнение, а потом доказать, что она действительно является брахистохроной. Выберем на плоскости систему координат так, чтобы прямая, по которой катится «колесо», совпала с осью x, и пусть круг катится в положительном направлении этой оси. Предположим, что в начальный момент времени наблюдаемый «гвоздь» занимает положение в начале координат O (0, 0). Если r – радиус колеса, то его центр С будет двигаться по прямой y = r. Через некоторое время гвоздь окажется в точке P, а колесо будет касаться прямой x в точке В. Пусть РА – перпендикуляр, опущенный на x, а отрезок РD параллелен x, тогда легко можно вывести следующие соотношения для координат точек циклоиды:

x = OA = OB – AB = OB – PD = r – r sin;

y = AP = BD = BC + CD = r – r cos , (1)

где = угол PCB, который при движении колеса слева направо увеличивается от 0 до 2. Мы получили так называемое параметрическое задание циклоиды: обе координаты x и y точки Р циклоиды являются функциями некоторой вспомогательной переменной . Исключая из системы уравнений (1) можно получить следующее уравнение циклоиды:

(2)

Зная это уравнение, довольно легко вывести выражение для синуса угла между касательной к ней и вертикалью (см. рисунок), которое нам очень пригодится для доказательства того, что циклоида – это брахистохрона:

(3)

Принцип Ферма и геометрическая оптика. И.Бернулли решил задачу о скорейшем спуске, используя принцип наименьшего действия, сформулированный гениальным математиком XVII в. П.Ферма. В 1650 г. Ферма дал замечательную интерпретацию законов отражения и преломления света на границе двух сред: sinпадения /sinпреломления = n, где n – показатель преломления, константа для фиксированной пары сред. Он предположил, что путь распространения света между двумя точками есть такой путь, для прохождения которого свету требуется наименьшее время по сравнению с любым другим путём между этими точками. Tеперь это утверждение носит название принципа Ферма. Из принципа Ферма следует, в частности, что поскольку скорость света в однородной среде постоянна, то минимальному времени в пути соответствует минимальное расстояние, а это значит, что свет в однородной среде должен распространяться по прямой.

Использование принципа Ферма в тех случаях, когда свет наталкивается на границу раздела сред с разной скоростью распространения, позволяет легко вывести известные законы отражения и преломления света на границе раздела, а также в тех случаях, когда среда состоит из горизонтальных слоёв, в каждом из которых скорость света постоянна: с₁, с₂, с₃… В последнем случае свет будет распространяться по ломаной с вершинами на границах раздела, но для каждой вершины будет соблюдаться следующее равенство: где i – угол, который звено ломаной, лежащее в слое со скоростью света ci, образует с вертикалью.

Распространение света сверху вниз через слои с последовательно уменьшающимся показателем преломления. Обозначены углы падения света на границы раздела (i) и скорости света в этих слоях (ci)

Если же в некоторой неоднородной оптической среде скорость света меняется непрерывно, но зависит только от значения ординаты у, то в этой среде свет распространяется по кривой S, для которой

(4)

где (y) – угол между касательной к кривой S в точке с ординатой y и вертикалью. Отметим, что формула (4) была получена из принципа Ферма в предположении, что скорость света зависит только от вертикального положения точки (высоты).

Принцип Ферма и скорейший спуск. И.Бернулли заметил, что скорость тела v, катящегося с горы под действием силы тяжести, тоже зависит только от перепада высот y:

(5)

Поэтому все выводы из принципа Ферма, сделанные для распространения света в среде с изменяющейся скоростью света, можно перенести на поиск уравнения для брахистохроны. Другими словами, траектория скорейшего спуска между точками А и В должна удовлетворять уравнению (4), где вместо с (y) надо подставить выражение (5) для , после чего уравнение для брахистохроны примет вид:

(6)

Простое сравнение (3) и (6) показывает, что траекторией скорейшего спуска должна быть перевёрнутая циклоида.

Как спуститься быстрее без циклоиды? Чтобы сократить время движения между точками А и В, не обязательно спускаться по циклоиде. Можно, например, заменить наклонную плоскость двумя, расположенными чуть ниже. Кстати, такие же эксперименты ставил Галилей, пытаясь найти брахистохрону задолго до И.Бернулли. Простой расчёт, который мы предлагаем сделать самостоятельно с помощью таблиц Excel, показывает, что время скольжения по такой ломаной наклонной плоскости будет почти всегда меньше, чем по обычной.

Если высота горки h не больше её длины по горизонтали L, то время спуска по любой ломаной наклонной плоскости, лежащей ниже обычной, окажется меньшим. Как показывает расчёт, выигрыш во времени для каждого h/L зависит от того, где находится перегиб и насколько он глубокий.

Выигрыш во времени при спуске по ломаной наклонной плоскости по сравнению с обычным пологим спуском с h/L = 0,2 в тех случаях, когда перелом находится ближе к началу (а), в середине (б) и конце (в) горки; В, С и Н соответствуют верхней, средней и нижней ломаным в каждом случае

Когда мы с самого начала заменяем пологий спуск очень крутым, то быстро разгоняемся до максимальной скорости, а потом уже по инерции преодолеваем вторую, почти горизонтальную часть своего пути до конечной точки. Поэтому неудивительно, что максимальный выигрыш (32,2%) соответствует спуску, когда перелом глубокий и находится в начале горки (случай а).

Выигрыш и проигрыш во времени при спуске по ломаной наклонной плоскости по сравнению с обычным спуском с крутой горки

Когда горка крутая (h > L), то выигрыш от спуска по ломаной наклонной плоскости очень мал и никогда не превышает 7%. Это объясняется тем, что, скатываясь по крутой горке, мы и без излома быстро набираем скорость, а излом значительно удлиняет путь. Поэтому максимальный выигрыш для крутых горок соответствует не самому глубокому перелому, а промежуточному. Так, для горки с h/L = 2, изображённой на рисунке, максимальный выигрыш во времени спуска (2,2%) соответствует верхней ломаной. Когда же изломы при спуске с крутых горок становятся очень глубокими (ломаные С и Н на рисунке), то спуск становится уже невыгодным, и вместо опережения мы получаем запаздывание. Таким образом, спуск по ломаным наклонным плоскостям даёт выигрыш во времени, только если горки пологие (h < L).

Но ведь на горке, показанной на Марафоне, был горб! И такую ситуацию легко объяснить. Сначала заменим обычную наклонную плоскость, соединяющую А и В, ломаной, по которой спуск окажется быстрее. А потом пойдём ещё дальше и заменим каждый из двух линейных участков такой горки циклоидами, и тогда мы получим горбатую горку, удивлявшую всех на Марафоне-2005.

Иногда даже горб на спуске не помешает прийти раньше, чем просто при скатывании по обычной наклонной плоскости

Более подробно об удивительных свойствах циклоиды и брахистохроны можно прочитать в популярных статьях С.Г.Серова, опубликованных в журнале «Квант» в 1975 г. (№ 8 и 12).

Видео:11 класс, 19 урок, Сфера и шарСкачать

Движение по окружности (кинематика, динамика)

Найти линейную скорость Земли v при ее орбитальном движении. Средний радиус земной орбиты R=1,5·10 8 км.

Ответ и решение

Пропеллер самолета радиусом 1,5 м вращается при посадке с частотой 2000 мин -1 , посадочная скорость самолета относительно Земли равна 162 км/ч. Определить скорость точки на конце пропеллера. Какова траектория движения этой точки?

Ответ и решение

v ≈ 317 м/с. Точка на конце пропеллера описывает винтовую линию с шагом h ≈ 1,35 м.

Пропеллер самолета вращается с частотой:

λ = 2000/60 с -1 = 33,33 с -1 .

Линейная скорость точки на конце пропеллера:

Скорость самолета при посадке v = 45 м/с.

Результирующая скорость точки на конце пропеллера равна сумме векторов линейной скорости при вращении пропеллера и скорости самолета при посадке:

v_рез = ≈ 317 м/с.

Шаг винтовой траектории равен:

Диск радиусом R катится без скольжения с постоянной скоростью v. Найти геометрическое место точек на диске, которые в данный момент имеют скорость v.

Геометрическим местом точек на диске, имеющих скорость v в данный момент, является дуга радиуса R, центр которой лежит в точке касания диска с плоскостью, т.е. в мгновенном центре вращения.

Цилиндрический каток радиусом R помещен между двумя параллельными рейками. Рейки движутся в одну сторону со скоростями v₁ и v₂.

Определить угловую скорость вращения катка и скорость его центра, если проскальзывание отсутствует. Решить задачу для случая, когда скорости реек направлены в разные стороны.

; .

По горизонтальной плоскости катится без скольжения с постоянной скоростью v_c обруч радиусом R. Каковы скорости и ускорения различных точек обруча относительно Земли? Выразить скорость как функцию угла между вертикалью и прямой, проведенной между точкой прикосновения обруча с плоскостью и данной точкой обруча.

v_A = 2v_Ccosα. Ускорение точек обода содержит только центростремительную составляющую, равную a_ц = v 2 /R.

Автомобиль движется со скоростью v = 60 км/ч. С какой частотой n вращаются его колеса, если они катятся по шоссе без скольжения, а внешний диаметр покрышек колес равен d = 60 см? Найти центростремительное ускорение а_цс внешнего слоя резины на покрышках его колес.

На горизонтальную плоскость кладут тонкостенный цилиндр, вращающийся со скоростью v₀ вокруг своей оси. Какой будет скорость движения оси цилиндра, когда прекратится проскальзывание цилиндра относительно плоскости?

Совершает ли работу равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равномерно движущемуся по окружности?

Груз массой m может скользить без трения по горизонтальному стержню, вращающемуся вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Груз соединяют с этим концом стержня пружиной, коэффициент упругости которой k. При какой угловой скорости ω пружина растянется на 50% первоначальной длины?

Две точечные массы m₁ и m₂ прикреплены к нити и находятся на абсолютно гладком столе. Расстояния от них до закрепленного конца нити равны l₁ и l₂ соответственно.

Система вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через закрепленный конец, с угловой скоростью ω. Найти силы натяжения участков нити Т₁ и Т₂.

Человек сидит на краю круглой горизонтальной платформы радиусом R=4 м. С какой частотой n должна вращаться платформа вокруг вертикальной оси, чтобы человек не мог удержаться на ней при коэффициенте трения k=0,27?

Тело массой m находится на горизонтальном диске на расстоянии r от оси. Диск начинает раскручиваться с малым ускорением. Построить график зависимости составляющей силы трения в радиальном направлении, действующей на тело, от угловой скорости вращения диска. При каком значении угловой скорости диска начнется соскальзывание тела?

Камень массой m=0,5 кг, привязанный к веревке длиной l=50 см, вращается в вертикальной плоскости. Сила натяжения веревки, когда камень проходит низшую точку окружности, Т=44 Н. На какую высоту h над нижней точкой окружности поднимется камень, если веревку перерезать в тот момент, когда его скорость направлена вертикально вверх?

Спортсмен посылает молот (ядро на тросике) на расстояние l=70 м по траектории, обеспечивающей максимальную дальность броска. Какая сила Т действует на руки спортсмена в момент броска? Масса молота m=5 кг. Считать, что спортсмен разгоняет молот, вращая его в вертикальной плоскости по окружности радиусом R=1,5 м. Сопротивление воздуха не учитывать.

Автомобиль массой М=3*10 3 кг движется с постоянной скоростью v=36 км/ч: а) по горизонтальному мосту; б) по выпуклому мосту; в) по вогнутому мосту. Радиус кривизны моста в последних двух случаях R=60 м. С какой силой давит автомобиль на мост (в последних двух случаях) в тот момент, когда линия, соединяющая центр кривизны моста с автомобилем, составляет угол α=10° с вертикалью?

По выпуклому мосту, радиус кривизны которого R = 90 м, со скоростью v = 54 км/ч движется автомобиль массой m = 2 т. В точке моста, направление на которую из центра кривизны моста составляет с направлением на вершину моста угол α, автомобиль давит с силой F = 14 400 Н. Определить угол α.

Шарик массой m = 100 г подвешен на нити длиной l =1 м. Шарик раскрутили так, что он начал двигаться по окружности в горизонтальной плоскости. При этом угол, составляемый нитью с вертикалью, α = 60°. Определить полную работу, совершаемую при раскручивании шарика.

С какой наибольшей скоростью может двигаться автомобиль на повороте с радиусом закругления R = 150 м, чтобы его не «занесло», если коэффициент трения скольжения шин о дорогу k = 0,42?

1. Каким должен быть максимальный коэффициент трения скольжения k между шинами автомобиля и асфальтом, чтобы автомобиль мог пройти закругление радиусом R = 200 м при скорости v = 100 км/ч?

2. Автомобиль со всеми ведущими колесами, трогаясь с места, равномерно набирает скорость, двигаясь по горизонтальному участку дороги, представляющему собой дугу окружности α = 30° радиусом R = 100 м. С какой максимальной скоростью автомобиль может выехать на прямой участок пути? Коэффициент трения колес о землю k = 0,3.

Поезд движется по закруглению радиусом R = 800 м со скоростью v = 12 км/ч. Определить, на сколько внешний рельс должен быть выше внутреннего, чтобы на колесах не возникало бокового усилия. Расстояние между рельсами по горизонтали принять равным d = 1,5 м.

Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч, делая поворот радиусом кривизны 100 м. На сколько при этом он должен наклониться, чтобы не упасть на повороте?

1. С какой максимальной скоростью v может ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая дугу радиусом R = 90 м, если коэффициент трения скольжения k = 0,4?

2. На какой угол φ от вертикального направления он должен при этом отклониться?

3. Чему будет равна максимальная скорость мотоциклиста, если он будет ехать по наклонному треку с углом наклона α = 30° при том же радиусе закругления и коэффициенте трения?

4. Каким должен быть угол наклона трека α₀ для того, чтобы скорость мотоциклиста могла быть сколь угодно большой?

Самолет совершает поворот, двигаясь по дуге окружности с постоянной скоростью v = 360 км/ч. Определить радиус R этой окружности, если корпус самолета повернут вокруг направления полета на угол α = 10°.

На повороте дороги радиусом R = 100 м равномерно движется автомобиль. Центр тяжести автомобиля находится на высоте h = 1 м, ширина колеи автомобиля а = 1,5 м. Определить скорость v, при которой автомобиль может опрокинуться. В поперечном направлении автомобиль не скользит.

Шофер, едущий на автомобиле, внезапно заметил впереди себя забор, перпендикулярный направлению его движения. Что выгоднее сделать, чтобы предотвратить аварию: затормозить или повернуть в сторону?

В вагоне поезда, идущего равномерно по криволинейному пути со скоростью v = 12 км/ч, производится взвешивание груза на пружинных весах. Масса груза m = 5 кг, а радиус закругления пути R = 200 м. Определить показание пружинных весов (силу натяжения пружины Т).

Найти силу F_ед.об., отделяющую сливки (плотность ρ_с = 0,93 г/см 3 ) от снятого молока (ρ_м = 1,03 г/см 3 ) в расчете на единицу объема, если отделение происходит: а) в неподвижном сосуде; б) в центробежном сепараторе, вращающемся с частотой 6000 мин -1 , если жидкость находится на расстоянии r = 10 см от оси вращения.

Самолет делает «мертвую петлю» с радиусом R = 100 м и движется по ней со скоростью v = 280 км/ч. С какой силой F тело летчика массой М = 80 кг будет давить на сиденье самолета в верхней и нижней точках петли?

Определить силу натяжения Т каната гигантских шагов, если масса человека М = 70 кг и канат при вращении образует со столбом угол α = 45°. С какой угловой скоростью со будут вращаться гигантские шаги, если длина подвеса l = 5 м?

T ≈ 990 Н; ω ≈ 1,68 рад/с.

Найти период Т вращения маятника, совершающего круговые движения в горизонтальной плоскости. Длина нити l. Угол, образуемый нитью с вертикалью, α.

Грузик, подвешенный на нити, вращается в горизонтальной плоскости так, что расстояние от точки подвеса до плоскости, в которой происходит вращение, равно h. Найти частоту и вращения груза, считая ее неизменной.

. Результат не зависит от длины подвеса.

Люстра массой m = 100 кг подвешена к потолку на металлической цепи, длина которой l = 5 м. Определить высоту h, на которую можно отклонить люстру, чтобы при последующих качениях цепь не оборвалась? Известно, что разрыв цепи наступает при силе натяжения Т > 1960 Н.

Шарик массой m подвешен на нерастяжимой нити. На какой минимальный угол α_мин надо отклонить шарик, чтобы при дальнейшем движении нить оборвалась, если максимально возможная сила натяжения нити 1,5 mg?

Маятник отклоняют в горизонтальное положение и отпускают. При каком угле α с вертикалью сила натяжения нити будет равна по величине действующей на маятник силе тяжести? Маятник считать математическим.

Груз массой m, привязанный к нерастяжимой нити, вращается в вертикальной плоскости. Найти максимальную разность сил натяжений нити.

Гимнаст «крутит солнце» на перекладине. Масса гимнаста m. Считая, что вся его масса сосредоточена в центре тяжести, а скорость в верхней точке равна нулю, определить силу, действующую на руки гимнаста в нижней точке.

Один грузик подвешен на нерастяжимой нити длиной l, а другой — на жестком невесомом стержне такой же длины. Какие минимальные скорости нужно сообщить этим грузикам, чтобы они вращались в вертикальной плоскости?

Для нити v_мин = ; для стержня v_мин = .

Шарик массой М подвешен на нити. В натянутом состоянии нить расположили горизонтально и отпустили шарик. Вывести зависимость силы натяжения нити Т от угла α, который образует в данный момент нить с горизонтальным направлением. Проверить выведенную формулу, решив задачу для случая прохождения шарика через положение равновесия, при α = 90°.

Математический маятник длиной l и массой М отвели на угол φ₀ от положения равновесия и сообщили ему начальную скорость v₀, направленную перпендикулярно к нити вверх. Найти силу натяжения нити маятника Т в зависимости от угла φ нити с вертикалью.

Грузик, подвешенный на нити, отводят в сторону так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают. Какой угол с вертикалью α образует пить в тот момент, когда вертикальная составляющая скорости грузика наибольшая?

Одинаковые упругие шарики массой m, подвешенные на нитях равной длины к одному крючку, отклоняют в разные стороны от вертикали на угол α и отпускают. Шарики ударяются и отскакивают друг от друга. Какова сила F, действующая на крючок: а) при крайних положениях нитей; б) в начальный и конечный моменты удара шариков; в) в момент наибольшей деформации шариков?

Математическому маятнику с гибкой нерастяжимой нитью длиной l сообщают из положения равновесия горизонтальную скорость v₀. Определить максимальную высоту его подъема h при движении по окружности, если v₀ 2 = 3gl. По какой траектории будет двигаться шарик маятника после того, как он достиг максимальной высоты подъема h на окружности? Определить максимальную высоту H, достигаемую при этом движении маятника.

; по параболе; .

Маленький шарик подвешен в точке А на нити длиной l. В точке О на расстоянии l/2 ниже точки А в стену вбит гвоздь. Шарик отводят так, что нить занимает горизонтальное положение, и отпускают. В какой точке траектории исчезает сила натяжения нити? Как дальше будет двигаться шарик? До какой наивысшей точки поднимется шарик?

На l/6 ниже точки подвеса; по параболе; на 2l/27 ниже точки подвеса.

Сосуд, имеющий форму расширяющегося усеченного конуса с диаметром дна D = 20 см и углом наклона стенок α = 60°, вращается вокруг вертикальной оси 00₁. При какой угловой скорости вращения сосуда ω маленький шарик, лежащий на его дне, будет выброшен из сосуда? Трение не учитывать.

Сфера радиусом R = 2 м равномерно вращается вокруг оси симметрии с частотой 30 мин -1 . Внутри сферы находится шарик массой m = 0,2 кг. Найти высоту h, соответствующую положению равновесия шарика относительно сферы, и реакцию сферы N.

Внутри конической поверхности, движущейся с ускорением a, вращается шарик по окружности радиусом R. Определить период Т движения шарика по окружности. Угол при вершине конуса 2α.

Небольшое тело массой m соскальзывает вниз по наклонному скату, переходящему в мертвую петлю радиусом R.

Трение ничтожно мало. Определить: а) какова должна быть наименьшая высота h ската, чтобы тело сделало полную петлю, не выпадая; б) какое давление F при этом производит тело на помост в точке, радиус-вектор которой составляет угол α с вертикалью.

Лента конвейера наклонена к горизонту под углом α. Определить минимальную скорость ленты v_мин, при которой частица руды, лежащая на ней, отделяется от поверхности ленты в месте набегания ее на барабан, если радиус барабана равен R.

v_мин = .

Небольшое тело скользит с вершины сферы вниз. На какой высоте h от вершины тело оторвется от поверхности сферы радиусом R? Трением пренебречь.

Найти кинетическую энергию обруча массой m, катящегося со скоростью v. Проскальзывания нет.

Тонкий обруч без проскальзывания скатывается в яму, имеющую форму полусферы. На какой глубине h сила нормального давления обруча на стенку ямы равна его силе тяжести? Радиус ямы R, радиус обруча r.

Маленький обруч катится без скольжения по внутренней поверхности большой полусферы. В начальный момент у ее верхнего края обруч покоился. Определить: а) кинетическую энергию обруча в нижней точке полусферы; б) какая доля кинетической энергии приходится на вращательное движение обруча вокруг его оси; в) нормальную силу, прижимающую обод к нижней точке полусферы. Масса обруча равна m, радиус полусферы R.

Вода течет по трубе, расположенной в горизонтальной плоскости и имеющей закругление радиусом R = 2 м. Найти боковое давление воды. Диаметр трубы d = 20 см. Через поперечное сечение трубы в течение одного часа протекает М = 300 т воды.

Тело соскальзывает из точки А в точку В по двум искривленным наклонным поверхностям, проходящим через точки A и В один раз по выпуклой дуге, второй — по вогнутой. Обе дуги имеют одинаковую кривизну и коэффициент трения в обоих случаях один и тот же.

В каком случае скорость тела в точке B больше?

В случае движения по выпуклой дуге.

Стержень ничтожной массы длиной l с двумя маленькими шариками m₁ и m₂ (m₁ > m₂) на концах может вращаться около оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Определить угловую скорость ω и силу давления F на ось в момент прохождения стержнем с шариками положения равновесия.

; .

На виток цилиндрической спирали, ось которой вертикальна, надевают маленькое колечко массой m. Колечко без трения начинает скользить по спирали. С какой силой F будет колечко давить на спираль после того, как оно пройдет n полных витков? Радиус витка R, расстояние между соседними витками h (шаг витка). Считать h ≪ R.

Замкнутая металлическая цепочка лежит на гладхом горизонтальном диске, будучи свободно насажена на центрирующее ее кольцо, соосное с диском. Диск приведен во вращение. Принимая форму цепочки за горизонтальную окружность, определить силу натяжения Т вдоль цепочки, если ее масса m = 150 г, длина l = 20 см и цепочка вращается с частотой n = 20 с -1 .

Реактивный самолет m = 30 т летит вдоль экватора с запада на восток со скоростью v = 1800 км/ч. На сколько изменится подъемная сила, действующая на самолет, если он будет лететь с той же скоростью с востока на запад?

Видео:Отчего он ходит по кругу?Скачать