Шаблон окружности по тригонометрии (7 видео)

Тригонометрический круг.

Содержание

Скачать шаблоны для тригонометрии.
Примеры.
Замечание.
mathematichka@yandex.ru
Тригонометрический круг. Основные значения тригонометрических функций
Единичная окружность
Единичная окружность в тригонометрии
🔍 Видео

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Скачать шаблоны для тригонометрии.

Здесь голубая сетка — линии декартовой системы координат. Масштаб — 1:10. В этом масштабе радиус окружности, равный единице, составляет 10 клеточек. sin30° = 1/2 составляет 5 клеточек, и т.п. Можно примерно (на глаз) отмечать или определять значения синусов и косинусов.
Зеленая радиальная сетка — лучи с шагом 15° или, что одно и то же, с шагом π/12. Удобно рисовать углы в радианах или градусах и ориентироваться в их величинах и расположении относительно четвертей круга.

Лучше всего использовать смешанную сетку — рисунок слева. Этот рисунок вы можете скачать себе на компьютер и распечатать на черно-белом принтере. Получится тонкая сетка линий, как бы нарисованных карандашом, поверх которой вам будет удобно делать свои чертежи для решения задач по тригонометрии. На втором рисунке показан пример использования такой смешанной сетки для того, чтобы проверить правильно ли определены значения sin(−π/3) и cos(−π/3). Остальные примеры и пояснения к ним расположены ниже.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Примеры.

4/π ≈ 4/3,14 ≈ 1,28
Значит 4 радиана это угол 1π + 0,28π. Кусочек 0,28π больше, чем π/4 = 0,25π, и меньше, чем π/3 ≈ 0,33π
Рисуем луч внутри сектора с границами π + π/4 и π + π/3. (Здесь серым шаблон — то, что получится после распечатки, фиолетовым — то, что отметите вы вручную.)

Отмечаем проекцию на вертикальную ось — ось синусов. Попали на отрицательный участок оси в 8-ю клеточку из 10-ти. Следовательно, sin4 ≈ −8/10 = −0,8.
Для сравнения — с помощью калькулятора получим ответ −0,7568.

Те, кто лучше ориентируется при измерении углов в градусах, могут вспомнить, что 1 радиан равен приблизительно 57,3 градуса. Соответственно, 4 рад ≈ 229º. Попробуйте самостоятельно начертить этот луч на круге.

Пример 2. Требуется убедиться, что правильно запомнились табличные значения тригонометрических функций для характерных («геометрических») углов.

Вспоминаем, что:
1/2 = 0,5 = 5/10 – пять клеток от центра окружности;
√2 _ /2 ≈ 1,4142/2 = 0,707 ≈ 7/10 – семь клеток от центра окружности (чуть дальше, чем граница седьмой клетки);
√3 _ /2 ≈ 1,7321/2 = 0,866 ≈ 8,7/10 – чуть дальше, чем середина девятой клетки.
Отмечаем значения синусов и косинусов на синей сетке, значения углов — на зелёной.
Совмещаем обе сетки. Если всё правильно, то в результате получатся картинки, аналогичные следующим.

Замечание.

Не забывайте – значения синусов и косинусов любых углов по абсолютной величине не превышают 1. Если вы пытаетесь записать в ответ большее число, то ищите ошибку. Возможно, вы пишите ответ в клеточках, а не в заданных единицах?

mathematichka@yandex.ru

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Внимание, © mathematichka. Копирование рисунков на других сайтах запрещено. Ставьте ссылку.

Видео:🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать

Тригонометрический круг. Основные значения тригонометрических функций

Если вы уже знакомы с тригонометрическим кругом , и хотите лишь освежить в памяти отдельные элементы, или вы совсем нетерпеливы, – то вот он, тригонометрический круг :

Мы же здесь будем все подробно разбирать шаг за шагом + показать

Тригонометрический круг – не роскошь, а необходимость

Тригонометрия у многих ассоциируется с непроходимой чащей. Вдруг наваливается столько значений тригонометрических функций, столько формул… А оно ведь, как, – незаладилось вначале, и… пошло-поехало… сплошное непонимание…

Очень важно не махать рукой на значения тригонометрических функций, – мол, всегда можно посмотреть в шпору с таблицей значений.

Если вы постоянно смотрите в таблицу со значениями тригонометрических формул, давайте избавляться от этой привычки!

Нас выручит тригонометрический круг ! Вы несколько раз поработаете с ним, и далее он у вас сам будет всплывать в голове. Чем он лучше таблицы? Да в таблице-то вы найдете ограниченное число значений, а на круге – ВСЕ!

К примеру, скажите, глядя в стандартную таблицу значений тригонометрических формул , чему равен синус, скажем, градусов, или .

Никак. можно, конечно, подключить формулы приведения… А глядя на тригонометрический круг, легко можно ответить на такие вопросы. И вы скоро будете знать как!

А при решении тригонометрических уравнений и неравенств без тригонометрического круга – вообще никуда.

Знакомство с тригонометрическим кругом

Давайте по порядку.

Сначала выпишем вот такой ряд чисел:

И, наконец, такой:

Конечно, понятно, что, на самом-то деле, на первом месте стоит , на втором месте стоит , а на последнем – . То есть нас будет больше интересовать цепочка .

Но как красиво она получилась! В случае чего – восстановим эту «лесенку-чудесенку».

И зачем оно нам?

Эта цепочка – и есть основные значения синуса и косинуса в первой четверти.

Начертим в прямоугольной системе координат круг единичного радиуса (то есть радиус-то по длине берем любой, а его длину объявляем единичной).

От луча «0-Старт» откладываем в направлении стрелки (см. рис.) углы .

Получаем соответствующие точки на круге. Так вот если спроецировать точки на каждую из осей, то мы выйдем как раз на значения из указанной выше цепочки.

Это почему же, спросите вы?

Не будем разбирать все. Рассмотрим принцип, который позволит справиться и с другими, аналогичными ситуациями.

Треугольник АОВ – прямоугольный, в нем . А мы знаем, что против угла в лежит катет вдвое меньший гипотенузы (гипотенуза у нас = радиусу круга, то есть ).

Значит, АВ= (а следовательно, и ОМ=). А по теореме Пифагора

Надеюсь, уже что-то становится понятно?

Так вот точка В и будет соответствовать значению , а точка М – значению

Аналогично с остальными значениями первой четверти.

Как вы понимаете, привычная нам ось (ox) будет осью косинусов , а ось (oy) – осью синусов . Про тангенс и котангенс позже.

Слева от нуля по оси косинусов (ниже нуля по оси синусов) будут, конечно, отрицательные значения.

Итак, вот он, ВСЕМОГУЩИЙ тригонометрический круг , без которого никуда в тригонометрии.

А вот как пользоваться тригонометрическим кругом, мы поговорим в следующей статье.

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Единичная окружность

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Единичная окружность в тригонометрии

Все процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.

Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.

Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.

В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.

Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA.

Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности.

Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:

Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cos, отрицательны.
В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.

Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:

Радиан — одна из мер для определения величины угла.

Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.

Число радиан для полной окружности — 360 градусов.

Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.

Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.

Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:

2π радиан = 360°
1 радиан = (360/2π) градусов
1 радиан = (180/π) градусов
360° = 2π радиан
1° = (2π/360) радиан
1° = (π/180) радиан

Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. Эти определения дают возможность раскрыть свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Уравнение единичной окружности

При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество: