Сформулируйте свойства биссектрис треугольника

Элементы треугольника. Биссектриса

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.

Сформулируйте свойства биссектрис треугольника

Видео:3 свойства биссектрисы #shortsСкачать

3 свойства биссектрисы #shorts

Свойства биссектрисы

1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.

2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон (Сформулируйте свойства биссектрис треугольника)

3. Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.

4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.

Видео:Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать

Пересечение биссектрис треугольника в одной точке,  Геометрия 7 класс

Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника

Сформулируйте свойства биссектрис треугольника(доказательство формулы – здесь)
Сформулируйте свойства биссектрис треугольника, где
Сформулируйте свойства биссектрис треугольника— длина биссектрисы, проведённой к стороне Сформулируйте свойства биссектрис треугольника,
Сформулируйте свойства биссектрис треугольника— стороны треугольника против вершин Сформулируйте свойства биссектрис треугольникасоответственно,
Сформулируйте свойства биссектрис треугольника— длины отрезков, на которые биссектриса Сформулируйте свойства биссектрис треугольникаделит сторону Сформулируйте свойства биссектрис треугольника,

Приглашаю посмотреть видеоурок, в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.

Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1

Сформулируйте свойства биссектрис треугольника

Возможно, вам будет интересен и этот небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Видео:4 свойства биссектрисы треугольника для ЕГЭ! #ЕГЭ #ОГЭ #Математика #Skyeng_ExamsСкачать

4 свойства биссектрисы треугольника для ЕГЭ! #ЕГЭ #ОГЭ #Математика #Skyeng_Exams

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

Сформулируйте свойства биссектрис треугольника

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

Сформулируйте свойства биссектрис треугольника

Видео:8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы углаСкачать

8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы угла

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Сформулируйте свойства биссектрис треугольника

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Сформулируйте свойства биссектрис треугольника

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Сформулируйте свойства биссектрис треугольника

Сформулируйте свойства биссектрис треугольника

Сформулируйте свойства биссектрис треугольника

Сформулируйте свойства биссектрис треугольника

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Сформулируйте свойства биссектрис треугольника

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

Сформулируйте свойства биссектрис треугольника

  • CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
  • CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
  • DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Видео:Свойства биссектрисы треугольникаСкачать

Свойства биссектрисы треугольника

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Сформулируйте свойства биссектрис треугольника

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Сформулируйте свойства биссектрис треугольника

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Видео:Cекретное свойство биссектрисыСкачать

Cекретное свойство биссектрисы

Свойства биссектрис треугольника

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, вписанной в треугольник

Биссектриса угла треугольника — это луч, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной, при этом разделяя угол на две равные части.

Биссектриса угла треугольника – это множество точек, равноудаленных от его сторон. Это значит, что от любой точки, лежащей на биссектрисе угла, расстояния до сторон угла равны.

Сформулируйте свойства биссектрис треугольника

Пусть точка О лежит на биссектрисе угла АВС. Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, поэтому треугольники ВОС и ВОА на рисунке – прямоугольные.

Здесь отрезки ОА и ОС – расстояния от точки О до сторон ВА и ВС угла АВС.

Прямоугольные треугольники ВОС и ВОА равны по острому углу и гипотенузе. Значит, ОА = ОС и любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Пусть биссектрисы углов А и В треугольника пересекаются в точке Р. Тогда точка Р равноудалена от сторон АВ и АС, поскольку лежит на биссектрисе угла А, а также от сторон ВС и ВА, поскольку лежит на биссектрисе угла В. А это значит, что точка Р равноудалена и от прямых АС и ВС, то есть лежит на биссектрисе угла C.

Сформулируйте свойства биссектрис треугольника

Задача ЕГЭ по теме «Биссектрисы углов треугольника»

В треугольнике ABC угол A равен , угол B равен . AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Сформулируйте свойства биссектрис треугольникаНайдем третий угол треугольника ABC – угол C. Он равен .

Заметим, что в треугольнике AOC острые углы равны половинкам углов CAB и ACB, то есть и .

Угол AOF – внешний угол треугольника AOC. Он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, то есть .

📸 Видео

Свойство биссектрисы треугольникаСкачать

Свойство биссектрисы треугольника

Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

Свойства биссектрисыСкачать

Свойства биссектрисы

СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Секретная формула биссектрисы треугольника плюс Задача из экзамена 9 классСкачать

Секретная формула биссектрисы треугольника плюс Задача из экзамена 9 класс

свойства биссектрис треугольникаСкачать

свойства биссектрис треугольника

Свойство биссектрисы треугольникаСкачать

Свойство биссектрисы треугольника

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Свойство биссектрисы треугольникаСкачать

Свойство биссектрисы треугольника

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Свойства биссектрисы #shortsСкачать

Свойства биссектрисы #shorts

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Свойство биссектрисы внешнего угла треугольникаСкачать

Свойство биссектрисы внешнего угла треугольника
Поделиться или сохранить к себе: