Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
окружность с центральной точкой А;
прямая а — касательная к ней;
радиус АВ, проведенный к касательной.
Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.
Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.
∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).
Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)
Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Ответ: MO = 10 см.
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.
АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°
Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать
Зачет №4 по теме «Окружность»
Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать
Зачет №4 по теме «Окружность»
Проверка теоретических знаний.
У доски: доказать свойство касательной к окружности, теоремы о вписанном угле, об отрезках пересекающихся хорд, о серединном перпендикуляре к отрезку, об окружностях, вписанной в треугольник и описанной около треугольника.
Класс (фронтальная беседа).
Взаимное расположение прямой и окружности. Определение касательной к окружности и ее свойство. Какой угол называется центральным? Какой угол называется вписанным? Чему равна его градусная мера? Четыре замечательные точки треугольника. Какая окружность называется вписанной? Описанной? Какой многоугольник называется описанным? Вписанным? Каким свойством обладают стороны четырехугольника, описанного около окружности? Каким свойством обладают углы четырехугольника, вписанного в окружность? Сформулируйте теорему об отрезках пересекающихся хорд.
Т-1.Заполните пропуски (многоточия), чтобы получилось верное высказывание.
1. Точка, равноудаленная от всех точек окружности, называется ее. .
2. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее.
3. Все радиусы окружности.
4. На рисунке 0(r) — окружность, АВ — касательная к ней; точка В называется.
.
5. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется. к окружности.
6. Угол между касательной к окружности и радиусом, проведенным в точку касания, равен.
7. На рисунке АВ — диаметр окружности, С — точка, лежащая на окружности. Треугольник АСВ. (вид треугольника).
9.На рисунке хорды АВ и CD пересекаются в точке М. Угол ACD равен углу.
10.На рисунке О — центр окружности. Дуга АmВ равна 120°. Угол АВС равен.
11.На рисунке АК = 24 см, KB = 9 см, CK = 12 см. Тогда KD = .
.
12*. На рисунке АВ = ВС = 13 см, высота BD = 12 см. Тогда ВК = . , КС = . .
1. Геометрическая фигура, все точки которой расположены на одинаковом расстоянии от заданной точки, называется.
2. Хорда, проходящая через центр окружности, называется.
3. Все диаметры окружности.
4. На рисунке 0(г) — окружность, В — точка касания прямой АВ и окружности. Прямая АВ называется. к окружности.
5. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется. окружности.
6. Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, .
7. На рисунке АВ — касательная, ОА — секущая, проходящая через центр окружности. Треугольник ОВА. (вид треугольника).
8. На рисунке ОС = СА, АВ — касательная к окружности с центром О. Угол ВАС равен.
9. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке К. Угол ADC равен углу.
10. На рисунке О — центр окружности, угол СВА равен 40°. Дуга СmВ равна.
11. На рисунке AM = 15 см, MB = 4 см, MC = 3 см. Тогда DM = . .
12*. На рисунке АВ = ВС, BD — высота треугольника АВС, ВК = 8 см, КС = 5 см. Тогда BD= . DC = . .
Т-2.Установите, истинны или ложно следующие высказывания.
1. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к этой окружности.
2. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
3. На рисунке изображена окружность. Тогда Ð DAC = Ð DВС.
4. Всякая прямая, проходящая через середину хорды окружности, перпендикулярна к ней.
5. Луч касается окружности, если он имеет с ней только одну общую точку.
6. На рисунке АВ — диаметр окружности, Ð 1 = 30°. Тогда Ð 2 = 60°.
7. На рисунке изображена окружность. Тогда Ð DAB = Ð DOB.
8. На рисунке О — центр окружности. Если ÈВС = 60°, то Ð СВА = 60°.
9. На рисунке диаметр АВ окружности равен 10 см, хорда АС = 8 см. Тогда площадь треугольника АВС равна 24 см2.
10. Две хорды окружности АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = 16 см, ВО = 9 см, OD = 24 см. Тогда СО = 6 см.
11*. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит боковую сторону на отрезки 5 см и 8 см, считая от основания. Тогда площадь треугольника равна 60 см2.
1. Прямая, расстояние до которой от центра окружности равно радиусу этой окружности, является касательной к ней.
2. Радиус, проведенный в точку касания прямой и окружности, перпендикулярен этой прямой.
3. На рисунке изображена окружность. Тогда Ð DAC = Ð DBC.
4. Прямая, перпендикулярная хорде окружности, делит эту хорду пополам.
5. Отрезок касается окружности, если он имеет с ней только одну общую точку.
6. На рисунке АВ — диаметр окружности. Тогда если Ð 2 = 50°, то Ð1 = 40°.
7. На рисунке изображена окружность. Тогда Ð АВС = ÐАОС.
8. На рисунке О — центр окружности. Тогда если ÐCAB — 60°, то È AC = 60°.
9. На рисунке диаметр BD окружности равен 13 см. Тогда если хорда ВС = 5 см, то площадь треугольника CBD равна 30 см2.
10. Две хорды окружности АВ и CD пересекаются в точке М так, что MB = 3 см, МА = 28 см, СМ = 21 см. Тогда MD = 4 см.
11*. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит боковую сторону на отрезки 4 см и 6 см, считая от вершины. Тогда площадь этого треугольника равна 48 см2.
Т-3.В каждом задании установите верный ответ из числа предложенных.
1.На рисунке дуга АС равна 84°. Чему равен угол АВС, опирающийся на эту дугу?
А) 84°; Б) 42°; В) не знаю.
2. На рисунке угол МРК равен 88°. Чему равна дуга МК, на которую опирается угол МРК?
А) 88°; Б) 176°; В) не знаю.
3. Из точки А, находящейся на расстоянии двух радиусов от центра окружности, проведена касательная АВ. Чему равен угол ОАВ?
А) 60°; Б) 30°; В) не знаю.
4. Из точки М окружности проведены две хорды МА и MB. Хорда МА стягивает дугу, равную 80°, а угол АМВ равен 70°. Определите дугу, стягиваемую хордой MB.
А) 210°; Б) 140°; В) не знаю.
5. На рисунке диаметр АВ окружности равен 10 см, хорда ВС = 6 см. Найдите площадь треугольника АСВ.
А) 30 см2; Б) 24 см2; В) не знаю.
6. Из точки К окружности с центром О проведены две взаимно перпендикулярные хорды КМ и KD. Расстояние от точки О до хорды КМ равно 15 см, а до хорды KD равно 20 см. Каковы длины хорд КМ и KD7
A) 30 см и 40 см; Б) 15 см и 20 см; B) не знаю.
7. Две хорды АВ и CD точкой О их пересечения делятся так, что АО = 9 см, OB = 6 см, СО = 3 см. Какова длина отрезка OD7
А) 12 см; Б) 18 см; В) не знаю.
8. Из точки А к окружности проведены касательная АВ и секущая АС, проходящая через центр окружности. Расстояние от А до окружности равно 4 см, а диаметр окружности равен 12 см. Какова длина касательной?
А) 8 см; Б) 6 см; В) не знаю.
9*. Прямая АВ касается окружности с центром О и радиусом 5 см в точке А. Найдите расстояние от точки В до окружности, если длина касательной равна 12 см.
А) 7 см; Б) 8 см; В) не знаю.
1. На рисунке дуга АВ равна 164°. Чему равен угол АСВ, опирающийся на эту дугу?
А) 168°; Б) 82°; В) не знаю.
2. На рисунке угол АВС равен 44°. Чему равна дуга АС, на которую опирается угол АВС?
А) 88°; Б) 44°; В) не знаю.
3. Из точки М, находящейся на расстоянии двух радиусов от центра окружности, проведена касательная МК. Чему равен угол КОМ?
А) 60°; Б) 30°; В) не знаю.
4. Из точки А окружности проведены две хорды AM и АВ. Хорда AM стягивает дугу, равную 120°, а угол МАВ равен 80°. Определите величину дуги, стягиваемую хордой АВ.
А) 80°; Б) 120°; В) не знаю.
5. На рисунке диаметр АС окружности равен 13 см, хорда AB = 12 см. Найдите площадь треугольника АСВ.
А) 78 см2; Б) 30 см2; В) не знаю.
6. Из точки А окружности с центром О проведены две взаимно перпендикулярные хорды АВ и АС. Расстояние от точки О до хорды АВ равно 40 см, а до хорды АС равно 25 см. Каковы длины хорд АВ и АС?
A) 25 см и 40 см; Б) 50 см и 80 см; B) не знаю.
7. Две хорды МК и CD точкой Р их пересечения делятся так, что МР = 8 см, PC = 4 см. КР = 16 см. Какова длина отрезка PD.
А) 24 см; Б) 32 см; В) не знаю.
8. Из точки М к окружности проведены касательная МА и секущая МС, проходящая через центр окружности О. Расстояние от М до центра О равно 20 см, радиус окружности равен 12 см. Чему равна длина касательной?
А) 16 см; Б) 24 см; В) не знаю.
9*. Прямая АВ касается окружности с центром О и радиусом 5 см в точке В. Найдите длину касательной, если расстояние от точки А до окружности равно 8 см.
А) 13 см; Б) 12 см; В) не знаю.
Карточки для индивидуальной работы.
1. Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? Сформулируйте свойство и признак касательной.
2. Отрезок BD — высота равнобедренного треугольника AВС с основанием АС. На какие части окружность с центром В и радиусом BD делит боковую сторону треугольника если АВ= см, BD=5 см?
3. На рисунке изображен прямоугольный треугольник AВС, стороны которого касаются окружности радиуса 1 см. На какие отрезки точка касания делит гипотенузу треугольника, равную 5 см?
1. Какой угол называется вписанным? Сформулируйте теорему о вписанном угле.
2. Вершины треугольника со сторонами 2 см, 5 см и 6 см лежат на окружности. Докажите, что ни одна из сторон треугольника не является диаметром этой окружности.
3. На рисунке изображена окружность с центром О, АВ — касательная, а АС — секущая этой окружности. Найдите углы треугольника АВС, если ÈBD=62°.
1. Сформулируйте теорему об отрезках пересекающихся хорд.
2. Хорды KL и MN окружности пересекаются в точке А. Найдите АК и AL, если АМ=2 дм, AN=6 дм, KL=7 дм.
3. На рисунке изображена окружность с центром О, АС — диаметр, а ВС — касательная к этой окружности. На какие части отрезок АВ делится точкой D, если АС=20 см, ВС=15 см?
1. Сформулируйте теорему об окружности, вписанной в треугольник.
2. Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник.
3. Основание равнобедренного треугольника равно 16 см, боковая сторона равна 17 см. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.
1. Сформулируйте утверждение о свойстве описанного четырехугольника. Верно ли обратное утверждение?
2. Найдите площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, если боковые стороны этой трапеции равны 10 см и 16 см.
3. Площадь четырехугольника ABCD, описанного около окружности радиуса 5 дм, равна 90. Найдите стороны СD и AD этого четырехугольника, если AB=9 дм, ВС=10 дм.
1. Сформулируйте теорему об окружности, описанной около треугольника.
2. Постройте окружность, описанную около данного тупо угольного треугольника.
3. Найдите площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиуса 4 см.
1.Сформулируйте утверждение о свойстве вписанного четырехугольника. Верно ли обратное утверждение?
2. Площадь прямоугольника, вписанного в окружность, равна 48 см2. Найдите радиус окружности, если одна из сторон прямоугольника на 2 см больше другой.
3. На рисунке АМ и СМ — биссектрисы углов А и С треугольника АВС, AN и CN — биссектрисы внешних углов при вершинах A и С этого треугольника. Докажите, что около четырехугольника AMCN можно описать окружность.
По горизонтали: 1. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки. 2. Отображение плоскости на себя. 3. Удвоенный радиус.
По вертикали: 4. Единица измерения угла или 1/60 минуты. 5. Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности круга. 6. Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности. 7. Определение точки окружности.
Примечание: в разработке использованы материалы из газеты «Математика».
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.
Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.
. Угол равен , где — центр окружности. Его сторона касается окружности. Найдите величину меньшей дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол — прямой. Из треугольника получим, что угол равен градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги — тоже градуса.
. Найдите угол , если его сторона касается окружности, — центр окружности, а большая дуга окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.
Это чуть более сложная задача. Центральный угол опирается на дугу , следовательно, он равен градусов. Тогда угол равен . Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол — прямой. Тогда угол равен .
. Хорда стягивает дугу окружности в . Найдите угол между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку . Ответ дайте в градусах.
Проведем радиус в точку касания, а также радиус . Угол равен . Треугольник — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол равен градуса, и тогда угол равен градусов, то есть половине угловой величины дуги .
Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.
. К окружности, вписанной в треугольник , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны , , . Найдите периметр данного треугольника.
Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности: Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника складывается из периметров отсеченных треугольников.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:
. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна . Его периметр равен . Найдите радиус этой окружности.
Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке. Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.
Соедините точку с вершинами . Получились треугольники и . Очевидно, что площадь многоугольника . Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?
см, BD=5 см?
