Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C таким образом, что OABC — ромб. Найдите угол OCB. Ответ дайте в градусах.
Проведём диагональ BO Рассмотрим треугольник OBC,OB и OC равны как радиусы окружности. Все стороны ромба равны, поэтому BC = OC, получаем, что OC = BC = BO, следовательно, треугольник BOC — равносторонний, поэтому все его углы, в том числе и угол OCB, равны 60°.
Радиус вписанной окружности, представляющий собой половину высоты, теоретически участвует в образовании прямоугольного треугольника, из которого можно найти сторону ромба, как отношение удвоенного радиуса к синусу угла α. a=2r/sin〖α 〗
Высота ромба будет равна удвоенному радиусу вписанной окружности. Площадь, ка произведение высоты и стороны ромба, через радиус вписанной окружности и угол α будет представлена произведением соответствующих выражений. Чтобы вычислить периметр, нужно будет эквивалент стороны умножить на четыре. h=2r S=(4r^2)/sin〖α 〗 P=8r/sin〖α 〗
Углы ромба онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти углы ромба по известным элементам. Для нахождения углов ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.
Открыть онлайн калькулятор
1. Углы ромба через сторону и высоту
Пусть известны сторона и высота ромба (Рис.1).
Покажем, что углы ромба через сторону и высоту вычисляются по формулам
( small alpha= mathrmfrac )
(1)
( small beta= 180°-alpha )
(2)
(small frac=frac.)
(3)
(small sin alpha=frac)
(4)
(small alpha=mathrmfrac)
(5)
Поскольку сумма соседних углов ромба равна 180° (свойство 4 статьи Ромб), то угол β вычисляется из формулы (2).
2. Углы ромба ромба через площадь и высоту
Рассмотрим ромб с высотой h и площадью S (Рис.2).
Покажем, что углы ромба через площадь и высоту вычисляются по формулам:
( small alpha= mathrmfrac, )
(6)
( small beta= 180°-alpha . )
(7)
Площадь ромба через сторону и высоту вычисляется из формулы:
( small S=a cdot h. )
(8)
Найдем a из формулы (8) и подставим в (1):
( small alpha= mathrmfrac=mathrmfrac<large frac> ) ( small =mathrmfrac )
(9)
Как отметили в параграфе 1, соседний угол β вычисляется по формуле (7).
3. Углы ромба через площадь и сторону
Пусть известны площадь и сторона ромба (Рис.3).
Чтобы найти формулу углов ромба через площадь и сторону, из формулы (8) найдем h и подставим в (1):
( small alpha= mathrmfrac=mathrmfrac<large frac> ) ( small =mathrmfrac .)
Следовательно угол α ромба через площадь и сторону вычисляется из формулы:
( small alpha =mathrmfrac. )
(10)
Как отметили выше, соседний угол β вычисляется по формуле (7).
4. Углы ромба через диагонали
Пусть известны диагонали d1 и d2 ромба (Рис.4). Выведем формулу вычисления углов α и β ромба.
(small h=frac<large sqrt>.)
(11)
(small a=frac<large sqrt>.)
(12)
Подставляя (11) и (12) в (4), получим:
(small sin alpha=frac) ( small =frac<frac<large sqrt>><frac<large sqrt>> ) ( small =frac .)
(13)
(small alpha=mathrm frac .)
(14)
Как отметили выше, соседний угол β вычисляется по формуле (7).
5. Углы ромба через сторону и диагональ
Пусть известны сторона a=AB ромба и диагональ d=AC (Рис.5).
Найдем углы ромба. Учитывая свойства 5, 6 и 7 ромба, получаем, что треугольник AOB прямоугольный и ( small angle ABO =frac .) Тогда для треугольника AOB имеют места следующие равненства:
(small frac=sin frac,)
(small frac=cos frac)
(small sin frac=frac)
(15)
(small cos frac=frac.)
(16)
Формулы половинного угла для синуса и косинуса имеют следующий вид:
(small sin frac=±sqrt<frac>,)
(17)
(small cosfrac=±sqrt<frac>.)
(18)
Найдем из формул (17),(18) ( small cos alpha ) и ( small cos beta: )
(small cos alpha=1-2cdot sin^2 frac,)
(19)
(small cos beta=2cdot sin^2 frac-1,)
(20)
Подставляя (15),(16) в (19),(20), получим формулы углов ромба через сторону и диагональ:
(small cos alpha=1- frac,)
(21)
(small cos beta=frac-1.)
(22)
(small alpha=mathrm left(1- frac right),)
(23)
(small beta=mathrm left( frac-1 right).)
(24)
Отметим, что полученный угол α находится напротив диагонали d, а угол β делится диагональю d на две равные части.
6. Углы ромба через сторону и радиус вписанной окружности
Пусть известны сторона ромба и радиус вписанной окружности (Рис.6). Найдем углы ромба.
В статье Высота ромба мы вывели формулу высоты ромба через радиус вписанной октужности:
(small h=2 cdot r.)
(25)
Подставляя (25) в (4) и (5) параграфа 1 данной статьи, получим:
(small sin alpha=frac)
(26)
(small alpha=mathrmfrac)
(27)
Как отметили выше, соседний угол β ромба вычисляется по формуле:
