Решение задач на построение окружность геометрия 7 класс

Окружность

Предложение, в котором разъясняется смысл того или иного выражения или названия, называется определением. Мы уже встречались с определениями, например с определением угла, смежных углов, равнобедренного треугольника и т. д. Дадим определение ещё одной геометрической фигуры — окружности.

Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности (рис. 77). Из определения окружности следует, что все радиусы имеют одну и ту же длину.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется её диаметром.

На рисунке 78 отрезки АВ и EF — хорды окружности, отрезок CD — диаметр окружности. Очевидно, диаметр окружности в два раза больше её радиуса. Центр окружности является серединой любого диаметра.

Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. На рисунке 79 ALB и АМВ — дуги, ограниченные точками А и В.

Для изображения окружности на чертеже пользуются циркулем (рис. 80).

Чтобы провести окружность на местности, можно воспользоваться верёвкой (рис. 81).

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом (рис. 82).

Построения циркулем и линейкой

Мы уже имели дело с геометрическими построениями: проводили прямые, откладывали отрезки, равные данным, чертили углы, треугольники и другие фигуры. При этом мы пользовались масштабной линейкой, циркулем, транспортиром, чертёжным угольником.

Оказывается, что многие построения можно выполнить с помощью только циркуля и линейки без масштабных делений. Поэтому в геометрии специально выделяют те задачи на построение, которые решаются с помощью только этих двух инструментов.

Что можно делать с их помощью? Ясно, что линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. Выполняя эти несложные операции, мы сможем решить много интересных задач на построение:

построить угол, равный данному;
через данную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой;
разделить данный отрезок пополам и другие задачи.

Начнём с простой задачи.

На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.

Изобразим фигуры, данные в условии задачи: луч ОС и отрезок АВ (рис. 83, а). Затем циркулем построим окружность радиуса АВ с центром О (рис. 83, б). Эта окружность пересечёт луч ОС в некоторой точке D. Отрезок OD — искомый.

Примеры задач на построение

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

Построение угла, равного данному

Отложить от данного луча угол, равный данному.

Данный угол с вершиной А и луч ОМ изображены на рисунке 84. Требуется построить угол, равный углу А, так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом ОМ.

Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С (рис. 85, а). Затем проведём окружность того же радиуса с центром в начете данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D (рис. 85, б). После этого построим окружность с центром D, радиус которой равен ВС. Окружности с центрами О и D пересекаются в двух точках. Одну из этих точек обозначим буквой Е. Докажем, что угол МОЕ — искомый.

Рассмотрим треугольники АВС и ODE. Отрезки АВ и АС являются радиусами окружности с центром А, а отрезки OD и ОЕ — радиусами окружности с центром О (см. рис. 85, б). Так как по построению эти окружности имеют равные радиусы, то AB = OD, АС = ОЕ. Также по построению ВС = DE.

Следовательно, ΔАВС = ΔODE по трём сторонам. Поэтому ∠DOE = ∠BAC, т. е. построенный угол МОЕ равен данному углу А.

То же построение можно выполнить и на местности, если вместо циркуля воспользоваться верёвкой.

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Построение биссектрисы угла

Построить биссектрису данного угла.

Данный угол ВАС изображён на рисунке 86. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А. Она пересечёт стороны угла в точках В и С.

Затем проведём две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках В и С (на рисунке изображены лишь части этих окружностей). Они пересекутся в двух точках, из которых хотя бы одна лежит внутри угла. Обозначим её буквой Е. Докажем, что луч АЕ является биссектрисой данного угла ВАС.

Рассмотрим треугольники АСЕ и АВЕ. Они равны по трём сторонам. В самом деле, АЕ — общая сторона; АС и АВ равны как радиусы одной и той же окружности; СЕ = BE по построению.

Из равенства треугольников АСЕ и АВЕ следует, что ∠CAE = ∠BAE, т. е. луч АЕ — биссектриса данного угла ВАС.

Можно ли с помощью циркуля и линейки разделить данный угол на два равных угла? Ясно, что можно, — для этого нужно провести биссектрису этого угла.

Данный угол можно разделить также на четыре равных угла. Для этого нужно разделить его пополам, а затем каждую половину разделить ещё раз пополам.

А можно ли с помощью циркуля и линейки разделить данный угол на три равных угла? Эта задача, получившая название задачи о трисекции угла, в течение многих веков привлекала внимание математиков. Лишь в XIX веке было доказано, что для произвольного угла такое построение невозможно.

Построение перпендикулярных прямых

Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Данная прямая а и данная точка М, принадлежащая этой прямой, изображены на рисунке 87.

На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в двух точках: Р и Q.

Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР (см. рис. 87), и докажем, что эта прямая — искомая, т. е. что она перпендикулярна к данной прямой а.

В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ является также высотой, то PM ⊥ а.

Построение середины отрезка

Построить середину данного отрезка.

Пусть АВ — данный отрезок. Построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. Проведём прямую PQ. Точка О пересечения этой прямой с отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ.

В самом деле, треугольники APQ и BPQ равны по трём сторонам, поэтому ∠1 =∠2 (рис. 89).

Следовательно, отрезок РО — биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. е. точка О — середина отрезка АВ.

Задачи

143. Какие из отрезков, изображённых на рисунке 90, являются: а) хордами окружности; б) диаметрами окружности; в) радиусами окружности?

144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности. Найдите ∠POM.

146. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что СВ = 13 см, АВ = 16 см.

147. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВС — диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.

148. На прямой даны две точки А и В. На продолжении луча В А отложите отрезок ВС так, чтобы ВС = 2АВ.

149. Даны прямая а, точка В, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на прямой а так, чтобы BM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?

150. Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на окружности так, чтобы AM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?

151. Даны острый угол ВАС и луч XY. Постройте угол YXZ так, чтобы ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Дан тупой угол АОВ. Постройте луч ОХ так, чтобы углы ХОА и ХОВ были равными тупыми углами.

153. Даны прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а.

Построим окружность с центром в данной точке М, пересекающую данную прямую а в двух точках, которые обозначим буквами А и В (рис. 91). Затем построим две окружности с центрами А и В, проходящие через точку М. Эти окружности пересекаются в точке М и ещё в одной точке, которую обозначим буквой N. Проведём прямую MN и докажем, что эта прямая — искомая, т. е. она перпендикулярна к прямой а.

В самом деле, треугольники AMN и BMN равны по трём сторонам, поэтому ∠1 = ∠2. Отсюда следует, что отрезок МС (С — точка пересечения прямых а и MN) является биссектрисой равнобедренного треугольника АМВ, а значит, и высотой. Таким образом, MN ⊥ АВ, т. е. MN ⊥ а.

154. Дан треугольник АВС. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника. 155. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 45°; б) 22°30′.

Ответы к задачам

152. Указание. Сначала построить биссектрису угла АОВ.

Видео:7 класс, 23 урок, Примеры задач на построениеСкачать

Задачи на построение. Окружность. Геометрия 7 класс Атанасян

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Урок 2 1. Задачи на построение. Окружность

Познавательные: умеют самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение.

Регулятивные: понимают сущность алгоритмических предписаний и умеют действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

• Задания для теста

Проверить правильность выполнения домашнего задания

1. Сообщить результаты самостоятельной работы.

2. Проверить правильность выполнения домашнего задания

II этап. Учебно-познавательная деятельность

Задания для самостоятельной работы

Ввести понятия окружности и ее элементов

Понятие окружности и ее элементов вводится в курсе математики пятого класса, поэтому изучение нового материала можно организовать следующим образом:

1. Прочитать самостоятельно § 21.

2. Выполнить задания теста (см. Ресурсный материал) .

(На каждую парту раздаются листки с тестовым заданием. Учитель читает задание, учащиеся предлагают верный ответ.)

III этап. Закрепление изученного материала

Отработать навыки решения задач по изученной теме

1. Решить задачу № 143 (устно) .

2. Решить задачу № 144 на доске и в тетрадях.

3. Решить задачу № 146 на доске и в тетрадях.

4. Решить задачу № 147 на доске и в тетрадях.

Указание : рекомендовать учащимся после изображения окружности начертить прямой угол с вершиной
в точке О – центре этой окружности, а затем отметить на окружности точки А и В пересечения сторон прямого угла с окружностью

IV этап. Самостоятельная работа

Задания для самостоятельной работы

Проверить уровень усвоения теоретического материала и умения его применять при решении задач

Отрезки KМ и ЕF являются диаметрами окружности с центром О . Докажите, что:

а)  FEM =  KМЕ ; б) отрезки KЕ и МF равны.

Отрезки МЕ и РK являются диаметрами окружности с центром О . Докажите, что:

а)  EMР =  МРK ; б) отрезки МK и РЕ равны.

В окружности с центром О проведены диаметр АС и радиус ОВ так, что хорда ВС равна радиусу. Найти  АОВ , если  ВСО = 60°.

В окружности с центром О проведены хорды АВ и СD . Докажите, что АВ = СD , если  АОС =  ВОD

V этап. Итоги урока. Рефлексия

– Дайте определение окружности.

– Перечислите все элементы окружности.

– Составьте синквейн к уроку

(И) Домашнее задание: изучить п. 21 из § 4; ответить на вопрос 16 на с. 49; решить задачи № 145, 162; принести на следующий урок циркули и линейки.

АВ и CD – два диаметра окружности с центром в точке О . Луч ОЕ – биссектриса угла АОС . ОЕ пересекает окружность в точке K , причем KЕ = KО . Периметр треугольника KСО в три раза больше радиуса окружности.

Докажите, что точки Е , А , С и О лежат на одной окружности

1) Вычеркнуть ненужные слова текста в скобках.

а) Окружность – это (абстрактная, геометрическая, плоская) фигура, состоящая из (множества, всех) точек, расположенных на (одинаковом, заданном) расстоянии от (некоторой, центральной) точки.

б) Радиусом окружности называется (линия, прямая, отрезок), соединяющая центр окружности с (заданной, какой-либо) точкой окружности.

2) Закончить определение: диаметр окружности – это.

а) два радиуса, лежащие на одной прямой;

б) хорда, проходящая через центр окружности;

в) прямая, проходящая через две точки и центр окружности.

3) Закончить определение: центр окружности – это.

а) точка, куда ставится ножка циркуля при начертании окружности;

б) середина окружности;

в) точка, равноудаленная от всех точек окружности.

4) Закончить определение: дуга окружности – это.

а) часть окружности, выделенная точками;

б) часть окружности, ограниченная двумя точками;

в) часть окружности, ограниченная хордой.

5) Определить, на сколько дуг делят окружность две точки, лежащие на окружности:

а) на одну; б) на две.

6) Как изображается хорда на чертеже окружности? Выбрать правильный ответ:

а) прямой линией;

б) дугой окружности;

в) отрезком с концами, лежащими на окружности.

7) Как называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности? Выбрать правильный ответ:

а) длина окружности;

б) радиус окружности;

в) половина диаметра окружности.

8) Найти на рисунке:

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 989 человек из 79 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Геометрия 7 Примеры задач на построениеСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 523 574 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Геометрия. 7-9 класс», Волович М.Б., Атанасян Л.С.

Глава 4. Окружность

Другие материалы

• 01.02.2018
• 1268
• 8

• 01.02.2018
• 594
• 1

• 01.02.2018
• 1465
• 4

• 01.02.2018
• 3359
• 124

• 01.02.2018
• 775
• 0

• 01.02.2018
• 2123
• 65

• 01.02.2018
• 1817
• 123

• 01.02.2018
• 3324
• 469

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 31.01.2018 7545
• DOCX 54 кбайт
• 101 скачивание
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Товранович Анастасия Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 9 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 61100
• Всего материалов: 3

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ. §22 геометрия 7 классСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Ставропольских школьников с 1 по 8 класс перевели на дистанционное обучение

Время чтения: 2 минуты

Школы Москвы будут самостоятельно принимать решение о длительности карантина

Время чтения: 1 минута

В России планируют создадут сеть центров для подростков «группы риска»

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Петербургских школьников с 7 по 11 классы перевели на дистанционное обучение

Время чтения: 1 минута

Новые курсы: педагогический дизайн, ФГОС 2021, управление школой и другие

Время чтения: 14 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать

Урок геометрии по теме «Задачи на построение». 7-й класс

Класс: 7

Презентация к уроку

Цели уроков:

Образовательные:

• Познакомить учащихся с основными задачами на построение с использованием циркуля и линейки без делений;
• Рассмотреть основные геометрические построения: деление отрезка пополам, построение угла равного данному, построение биссектрисы угла, построение перпендикуляра к прямой.

Развивающие:

• развивать память, внимание, логическое мышление
• развить практические умения и навыки в использовании чертёжных инструментов при решении геометрических задач.

Воспитательные:

• сформировать познавательный интерес к предмету;
• продолжить формирование культуры общения и коммуникативных умений учащихся;
• повысить активность и самостоятельность учащихся при выполнении заданий.

Тип уроков: урок ознакомления с новым материалом, урок отработки практических навыков, урок закрепления навыков и умений.

1. Вступительная лекция:

• Исторические сведения;
• Инструменты для построения;

2. План решения задач на построение;

3. Выполнение простейших задачи на построение;

4. Решение задач на построение;

5. Примеры задач на построение

1. Вступительная лекция (слайд 3):

Задачи на построение вошли в практику задолго до того, как геометрия и вообще математика стала настоящей теоретической наукой. И в Вавилоне, и в Древнем Египте в IV-II тысячелетиях до н.э. уже существовала практическая математика (в виде правил записи чисел, т.е. системы счисления, и правил различных вычислений), и практическая геометрия — геометрия в изначальном смысле слова: измерение земли. Но и при измерениях, и при строительных работах нужны были построения. Египтяне, по-видимому, знали, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 — прямоугольный, так что с помощью веревки, разделенной узлами на 12 = 3 + 4 + 5 частей, можно построить прямой угол. Древние греки так и называли египетских геометров «гарпедонаптами» — дословно, «натягивателями веревок». С другой стороны, уже вавилоняне рассматривали геометрические задачи теоретического характера, использовали подобие фигур, знали «теорему Пифагора» более чем за тысячу лет до Пифагора. Однако математические и геометрические знания в Вавилоне, Египте, да и в Греции вплоть до VII в. до н.э. были эмпирическими, основанными только на опыте и наблюдениях.

Геометрия как наука, да и вообще наука как таковая, появилась во времена Фалеса (VII-VI вв. до н.э.), который впервые осознал необходимость доказательства математических теорем. После Аристотеля (IV в. до н.э.) название «геометрия» закрепилось за математической наукой, а «землемерию» было дано свое наименование: «геодезия» — деление, межевание земель. К концу IV века до н.э. в математике, которая и сводилась, главным образом, к геометрии, накопилось много понятий, фактов, доказательств, методов и даже теорий — таких, как метод исчерпывания и теория отношений Евдокса, теория конических сечений и др. Аристотелем уже были разработаны основные принципы построения общей аксиоматической теории. И на рубеже IV и III веков Евклид создал 13-томный труд, «Stoicheia» — стихии, элементы по-гречески, «Elementa» (элементы) на латыни, «Начала» по-русски. «Начала» вот уже третье тысячелетие служат образцом научного трактата (аксиоматического изложения теории) и учебника, и не только по геометрии.

Зачем Евклиду потребовались построения? Зачем вообще в геометрии построения? Зачем нужно учиться решать задачи на построение (Евклид называл их проблемами, в отличие от теорем)?

Доказательства, да и вычисления в геометрии, как правило, опираются на какие-то дополнительные построения. Конечно, их можно просто описать, но нужно быть уверенными, что они действительно возможны. Еще важнее то, что определения геометрических объектов и понятий при строгом изложении теории должны сопровождаться доказательствами их существования. А главный метод доказательства существования в геометрии — конструктивный, т. е. построение нужного объекта с последующим доказательством, что построенный объект удовлетворяет нужным условиям.

Решение задач на построение развивает геометрическое мышление гораздо полнее и острее, чем решение задач на вычисление, и способно вызвать увлечение работой, которое приводит к усилению любознательности и к желанию расширить и углубить изучение геометрии.

Несмотря на богатое историческое прошлое, проблема решения задач на построение остается актуальной и в 21-м веке. В наше время бурно развиваются компьютерные технологии с применением графических редакторов для рисования геометрических объектов. Средства создания геометрических объектов изменились в связи с появлением новых компьютерных технологий. Однако, как и в глубокой древности, основными элементами при построении геометрических объектов остаются окружность и прямая, другими словами циркуль и линейка. С появлением новых компьютерных технологий возникли новые проблемы построения с использованием тех же объектов — прямой и окружности. Вот почему проблема решения задач на построение становится ещё более актуальной.

Инструменты для построения: (слайд 4):

Инструменты, употребляемые для выполнения геометрических построений, весьма разнообразны. К основным инструментам принадлежат линейка и циркуль, служащие для проведения прямых линий, одиночных, параллельных и перпендикулярных, и окружностей. Угольник есть вспомогательный инструмент, так как, имея линейку и циркуль, можно строить параллельные и перпендикулярные прямые. К вспомогательным инструментам относится также миллиметровая шкала, которую можно построить с помощью циркуля и линейки, отложив на прямой линии циркулем одинаковые сантиметровые отрезки и разделив каждый из этих отрезков на 10 равных между собою частей. Транспортир есть уже самодеятельный инструмент, так как точное в геометрическом смысле градуирование любой дуги на произвольное число равных частей с помощью линейки и циркуля невозможно.

С глубокой древности повелось допускать к исполнению геометрических построений только циркуль и линейку, т. е. приборы, позволяющие проводить прямые линии и окружности.

Задачи на построение с помощью циркуля и линейки — это задачи, в которых были очень сильны древнегреческие математики. Линейка считается без делений, даже если они на ней указаны. С помощью линейки можно проводить прямые линии, но нельзя измерять и откладывать отрезки, нельзя также, пользуясь ее краями, проводить параллельные линии. Таким образом, линейку можно использовать для проведения произвольной прямой, прямой через данную точку, прямой через две данные точки.

С помощью циркуля можно провести произвольную окружность, можно провести окружность с данным центром и данного радиуса. Можно также на данной прямой отложить отрезок, равный данному.

2. План решения задач на построение (слайд 5)

Решение задач на построение — это описание последовательности шагов с использованием основных простейших построений, которая приводит к построению искомой фигуры. Чтобы найти эту последовательность шагов, т.е. составить план решения задачи, обычно поступают так. Предполагают, что задача решена, делают примерный чертеж искомой фигуры, отмечают те отрезки и углы, которые известны из условия задачи, и стараются определить, к нахождению какой точки (прямой, угла) сводится решение задачи. После этого стремятся найти такую зависимость между данными и искомыми величинами, которая позволяет построить искомую точку (прямую, угол), и составляют план построения. Составление плана — самая важная часть задачи, ее называют анализом.

Выполнив анализ, наметив план, описывают само построение. Оно может содержать лишь основные построения и элементарные действия с циркулем и линейкой.

Далее требуется привести доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи и, кроме того, проделать исследование, т.е. выяснить, всегда ли (при любых ли данных) описанное построение возможно, нет ли частных случаев, в которых построение упрощается или делается невозможным.

Таким образом, решение задачи на построение состоит из 4-х частей: анализ, построение, доказательство, исследование. Анализ опускается в простых задачах или в тех, решение которых уже известно.

3. Выполнение простейших задачи на построение

Построение 1: построить треугольник по трем сторонам, т.е. построить треугольник, стороны которого равны трем данным отрезкам а, b и с. Построение треугольника по трем сторонам сводится к построению последовательно трех отрезков, равных данным (слайд 6).

Доказательство следует непосредственно из равенства сторон построенного треугольника заданным отрезкам.

Построение 2: построить угол, равный данному, от данной полупрямой в данную полуплоскость (слайды 7-8).

Построение 3: построить биссектрису данного угла (слайды 9-10).

Построение 4: деление отрезка пополам (одновременное построение серединного перпендикуляра данного отрезка) (слайд 11).

Построение 5: через точку O провести прямую, перпендикулярную данной прямой a. Рассмотреть два возможных случая (слайды 12-14).

Построение 6: построение прямой, проходящей через данную точку А параллельно данной прямой а. (слайд 15).

4. Решение задач на построение;

Задача 1. Построить равнобедренный треугольник по углу при основании и высоте, опущенной на основание (слайд 16).

Анализ. ( рис. 1) Предположим, что задача решена, и построен равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС, в котором угол ВАС = a и высота BD = отрезку h.

В равнобедренном треугольнике высота BD, проведенная к основанию, является медианой, поэтому AD = DC. Значит, сначала необходимо построить прямоугольный треугольник ABD. Для этого строим угол А, равный углу a , затем нужно найти точку В, лежащую на одной из сторон угла на расстоянии h от другой стороны. Точку В можно получить как пересечение стороны угла и прямой, параллельной другой стороне и проходящей от нее на расстоянии h.

Проводим прямую l, выбираем точку А, на луче AN откладываем угол 1, равный данному углу a . (используем построение 2)

Через точку А проводим прямую, перпендикулярную прямой AN (построение 5), и на построенной прямой откладываем отрезок АМ = h (в той же полуплоскости, в которой построен угол).

Через точку М проводим прямую, параллельную прямой AN (построение 6), точку ее пересечения со стороной угла обозначаем В.

Из точки В опускаем перпендикуляр BD на прямую AN (построение 5) и откладываем DC = DA. Соединяем В и С.

Доказательство: Треугольник АВС — искомый, т.к. он удовлетворяет всем условиям задачи. Действительно, по построению МВ || AD, поэтому 1 = 2; по построению АМ AD, МВ || AD, следовательно, АМ МВ. В прямоугольных треугольниках ABD и ВАМ общая гипотенуза АВ и равные углы 1 и 2, эти треугольники равны, значит BD = AM, т.е. BD = h. Далее, по построению DC = DA, поэтому ABD = СВD (по двум катетам), откуда следует, что С = А = a и BD = h.

Исследование: В равнобедренном треугольнике угол при основании острый, поэтому построение возможно, если заданный угол острый.

Построение единственно, т.к. точка В находится единственным образом. Задача имеет только одно решение.

Задача 2. Построить треугольник по данному периметру и двум углам (слайд 17).

Анализ (рис. 3) Предположим, что такой треугольник АВС построен.

АВ +ВС + АС = Р, А = a , В = . На прямой АВ отложим отрезки АА₁= АС и ВВ₁ = ВС, тогда А₁В₁ = Р. Треугольник А₁АС равнобедренный, 1 = 2, а по теореме о внешнем угле треугольника ВАС = 1 + 2. Таким образом, 1 = 2 = a /2.

Аналогично 3 = 4 = /2. В треугольнике А₁В₁С известны два угла 1 и 3 и сторона между ними А₁В₁ = Р. Такой треугольник можно построить, тогда точки А и В найдутся, как точки пересечения серединных перпендикуляров отрезков А₁С и В₁С с прямой А₁В₁.

Построение: Делим данные углы a и пополам (построение 3).

1. Проводим произвольную прямую и на ней откладываем отрезок А₁В₁, равный отрезку Р. От луча А₁В₁ откладываем угол 1, равный a /2, а от луча В₁А₁ в ту же полуплоскость откладываем угол 3, равный /2 (построение 2), точку пересечения сторон этих углов обозначим С.
2. Строим серединные перпендикуляры отрезков А₁С и В₁С (построение 4), точки их пересечения с прямой А₁В₁ обозначим А и В. Соединяем точки А и В с точкой С. Треугольник АВС — искомый.

Доказательство: По построению А₁D = DC, AD А₁С, следовательно, А₁АD = CAD (по первому признаку) и А₁А = АС.

Аналогично КВ В₁С, В₁К = КС, поэтому ВВ₁ = ВС и АС + АВ +ВС = АА₁ + АВ + ВВ₁ = Р. Кроме того, САВ = 3 + 4 = b .

Исследование: Построение возможно всегда, если только сумма двух углов меньше 180° (сумма двух углов треугольника всегда меньше 180° ). Решение единственно, т.к. точка С, а затем точки А и В определяются единственным образом.

Замечание: В этой задаче была задана сумма сторон треугольника, при решении как бы «развернули» стороны треугольника, пока они не легли на одну прямую — получили отрезок А₁В₁, равный данному. Этот прием называют методом спрямления и применяют в задачах, в которых задана сумма (либо разность) сторон треугольника.

Задача 3. Дан отрезок m и острый угол a . Построить прямоугольный треугольник с углом a, в котором разность катетов равна m (слайд18).

Анализ (рис. 4): Предположим, что построен прямоугольный треугольник АВС с углом А, равным a, и разностью катетов, равной m.

Применим метод спрямления: отложим на прямой АС от точки С отрезок СК, равный ВС, тогда АК = m. В треугольнике АКВ известна сторона АК и два прилежащих угла: ВАК = a и ВКА = 135°. Такой треугольник можно построить, а точку С найти как основание перпендикуляра из точки В на прямую АК.

На прямой l выбираем точку А и откладываем отрезок АК = m. Через точку К проводим перпендикуляр KL к прямой АК (построение 5).

Проводим биссектрису КР угла, дополнительного к прямому углу АКL (построение 3).

От луча АК откладываем угол КАМ, равный данному углу a (построение 2), точку пересечения с прямой КР обозначаем В.

Из точки В опускаем перпендикуляр ВС на прямую АК (построение 5). Треугольник АВС — искомый.

Доказательство: А = a , C=90° , ВКС=45° (по построению), следовательно, ВС = СК и АС = ВС = АС — СК = АК = m.

Исследование: Указанное построение выполнимо, если прямая АМ пересекает биссектрису КР прямого угла, т.е. если a — средняя линия и точки А₁ и С₁ — середины сторон АВ и СВ, а отрезки СА₁ и АС₁ — медианы. По построению СА₁ = m, а из параллелограмма АС₁КС следует, что и АС₁ = m.

Расставим равные углы в треугольнике А₁СК и в параллелограмме АС₁КС. Теперь заметим, что С₁АС = А₁СА (по двум сторонам а и m и углу между ними). Следовательно, С₁С = А₁А и СВ = АВ — треугольник равнобедренный.

Исследование: Построение возможно, если существует треугольник А₁КС со сторонами А₁С = СК = m и А₁К =а, что возможно лишь при условии а . Построение единственно, все точки определяются единственным образом.

5. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Через данную точку провести прямую под данным углом к данной прямой (слайд 20).

Указание к решению задачи: Построить угол, равный данному в произвольной точке данной прямой, одна из сторон которого лежит на этой прямой; затем через данную точку провести параллельную прямую.

Задача 2. описать окружность, которая проходила бы через данную точку А и касалась бы данной прямой в данной на ней точке В (слайд 21).

Указание к решению задачи: К данной прямой восстановить перпендикуляр из данной точки В, построить серединный перпендикуляр к отрезку АВ (А — другая данная точка). Их пересечение — точка О — центр искомой окружности, ОВ — радиус.

Задача 3. Провести в треугольнике прямую, параллельную основанию так, чтобы отрезок, заключенный между боковыми сторонами был равен сумме отрезков боковых сторон, считая от основания (слайд 22).

Указание к решению задачи (слайд):Через точку пересечения биссектрис провести прямую MN, параллельную основанию. Получим равнобедренные треугольники ONC и ОМА (теорема о накрест лежащих углах при параллельных прямых, свойства сторон и углов в равнобедренном треугольнике).

Задача 4. На прямой АВ найти такую точку С, чтобы лучи СМ и СN, проведенные из С через данные точки М и N, расположенные по одну сторону от АВ, составляли с лучами СА и СВ равные углы (слайд 23).

Указание к решению задачи (рис. 16): Точка С — пересечение прямых M’N и АВ, где M’ — точка, симметричная М относительно АВ.

🌟 Видео

Задачи на построение с помощью циркуля и линейки - 7 класс геометрияСкачать

Окружность и задачи на построениеСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

ОКРУЖНОСТЬ задачи на построение 7 класс АтанасянСкачать

7 класс - Геометрия - Задачи на построение. Окружность. Деление отрезка пополам.Скачать

Примеры задач на построение | Геометрия 7-9 класс #24 | ИнфоурокСкачать

Геометрия 7. Урок 10 - Построение циркулем и линейкойСкачать

7 класс, 21 урок, ОкружностьСкачать

Построение угла, равного данному. 7 класс.Скачать

23. Примеры задач на построениеСкачать

Смежные и вертикальные углы. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать

Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать