Решение прямоугольного сферического треугольника (7 видео)

Сферические треугольники решение и формулы (Таблица)

Содержание

Сферические треугольники.
Свойства сферических треугольников.
Решение прямоугольных и четвертных сферических треугольников
Сферический треугольник
Отношение между сторонами и углами сферического треугольника
Правила Непера для прямоугольного сферического треугольника
🔥 Видео

Сферические треугольники.

На поверхности шара кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется вдоль окружности большого круга, т. е. окружности, плоскость которой проходит через центр шара. Вершины сферического треугольника являются точками пересечения трех лучей, выходящих из центра шара, и сферической поверхности. Сторонами а, b, с сферического треугольника называют те углы между лучами, которые меньше 180°. Каждой стороне треугольникасоответствует дуга большого круга на поверхности шара (рис. 1). Углы A, В, С сферического треугольника, противолежащие сторонам а, b, с соответственно, представляют собой, по определению, меньшие, чем 180°, углы между дугами больших кругов, соответствующими сторонам треугольника, или углы между плоскостями, определяемыми данными лучами.

Свойства сферических треугольников.

Каждая сторона и угол сферического треугольника по определению меньше 180°. Геометрия на поверхности шара является неевклидовой; в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и 360°, сумма углов заключена между 180° и 540°. В каждом сферическом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем 180° плюс третий угол.

Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью до преобразования симметрии):

тремя сторонами,
тремя углами,
двумя сторонами и заключенным между ними углом,
стороной и двумя прилежащими к ней углами.

Видео:Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.Скачать

Решение прямоугольных и четвертных сферических треугольников

Прямоугольные и четвертные сферические треугольники являются частным случаем косоугольных сферических треугольников.

Прямоугольным сферическим треугольником называется такой сферический треугольник, у которого один из углов равен 90°.

Четвертным сферическим треугольником называется такой сферический треугольник, у которого одна из сторон равна 90°.

К этим треугольникам применимы все правила и алгоритмы решения косоугольных сферических треугольников.

Прямоугольные треугольники можно решать по основным формулам сферической тригонометрии. Так как один из углов равен 90°, формулы значительным образом упрощаются (sin(90°)=1, cos(90°)=0) и состоят, как правило, из двух множителей. Но более рационально производить решение по правилам Модюи-Непера, почти полностью исключающим промежуточные преобразования, а значит и ускоряющим решение (

Пример 3.2).

Правила Модюи-Непера формулируются следующим образом:

1) В прямоугольном сферическом треугольнике косинус любого среднего элемента равен произведению котангенсов крайних смежных с ним элементов.

2) Косинус отдельно лежащего элемента сферического треугольника равен произведению синусов двух не смежных с ним рядом лежащих элементов.

В обоих правилах принято, что катеты лежат рядом друг с другом и вместо катетов надо брать их дополнения до 90°.

Формул такого вида 10. Все они однотипны, поэтому для примера приведём четыре характерных:

( 3.8)

При А=90°

cos a = ctg B ctg C

cos B = ctg a ctg (90° – c)

( 3.9)

Решение прямоугольного сферического треугольника

cos (90° – c) = sin C sin a

cos a = sin (90° – b) sin (90° – c)

Следовательно, в задаче на прямоугольный треугольник, надо задать два элемента и указать, какой угол равен 90°.

Пример 3.2

1) Выполняем схематический чертёж и помечаем данные и искомые элементы.

2) Подбираем необходимые формулы.

(по основным формулам сферической тригонометрии)

A, B – формула котангенсов;

c – формула косинуса стороны;

1. ctg A sin C = ctg a sin b – cos b cos C

2. ctg B sin C = ctg b sin a – cos a cos C

3. cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

3) Преобразовываем формулы и производим анализ на знаки. После преобразований независимо от первоначальных формул результат одинаков.

ctg A = ctg a sin b

ctg B = ctg b sin a

cos c = cos a cos b

(по правилам Модюи-Непера)

cos (90 – a) = ctg B ctg (90 – b)

cos (90 – b) = ctg A ctg (90 – a)

cos c = sin (90 – b) sin (90 – a)

ctg A = ctg a sin b

ctg B = ctg b sin a

cos c = cos a cos b

Не забываем, что отношение, это разность логарифмов

lg sin A = 9.76234 lg sin B = 9.99528 lg sin С =10,00000

lg sin a = 9.75263 lg sin b = 9.98557 lg sin c = 9.99029

0,00971 0.00971 0.00971

Четвертные сферические треугольники, как и прямоугольные можно решать по основным формулам сферической тригонометрии. Т.к. одна из сторон равна 90°, формулы значительным образом упрощаются (sin(90°)=1, cos(90°)=0) и состоят, как правило, из двух множителей. Возможен и другой путь решения: свести четвертной треугольник к полярному прямоугольному и производить решение по правилам Модюи-Непера.

Сферические треугольники ABC и A₁B₁C₁ называются полярными, если их стороны и углы связаны следующими соотношениями:

т.е. сумма угла данного треугольника с противоположной стороной полярного ему треугольника равна 180°.

Пример 3.3

Дано: a =31°15.2′, C = 120°15.4′

1) Выполняем схематический чертёж и помечаем данные и искомые элементы.

2) Подбираем необходимые формулы. (по основным формулам сферической тригонометрии)

A – теорема синусов

B – формула котангенсов;

c – формула косинуса стороны;

2. ctg B sin C = ctg b sin a – cos a cos C

3. cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

3) Преобразовываем формулы, отделяем неизвестные, а так же производим анализ формулы на знаки.

1. sin A = sin a sin C

2. tg B = — cos a tg C

3. tg b = — ctg a sec C

а 90° sin C (+), sec C и tg C ( – )

Так как во всех формулах результат положителен, все искомые величины находятся в первой четверти.

4) Составляем схему вычислений и производим вычисления с использованием таблиц 5-а МТ-75(63) Таблица 3.6. Подробности использования таблиц приведены в пояснениях к таблицам. Что бы не менять наименования функций для аргументов больших 90° при входе в таблицу берём их дополнения до 180°.

lg	lg	lg
a=31°15.2′ C=120°15.4′	sin sin	9.71502 9.93640	cos tg	9.93191 0.23408	ctg sec	0.21687 0.29768
sin A	9.65142	tg B	0.16599	tg b	0.51455
A	26°37.5′	B	55°41.5′	b	72°59,8′
A=26°37.5′	B=55°41.5′	b=72°59,8′

5) Производим контроль вычислений по теореме синусов. Проверку можно производить как на калькуляторе, так и при помощи таблиц логарифмов[1].

lg sin a = 9.71502 lg sin b = 9.98059 lg sin с =10.00000

lg sin A = 9.65142 lg sin B = 9.91699 lg sin C = 9.93640

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Сферический треугольник

Сферический треугольник ABC расположен на поверхности сферы как показано на рисунках.

Стороны a, b, c (являющиеся дугами больших кругов) измеряются величинами опирающихся на них центральных углов.
A, B, C есть углами, противоположными сторонам a, b, c соответственно.

Площадь сферического треугольника $ABC = (A + B + C — pi)R^2$
где R — радиус сферы.

Отношение между сторонами и углами сферического треугольника

Правило косинусов
cos a = cos b ⋅ cos c + sin b ⋅ sin c ⋅ cos A
cos A = — cos B ⋅ cos C + sin B ⋅ sin C ⋅ cos a
с подобными результатами при использовании других сторон и углов.

с подобными результатами при использовании других сторон и углов.

Подобные утверждения справедливы и для других углов и сторон.

где $S = frac$.
Подобные утверждения справедливы и для других углов и сторон.