Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Центр описанной вокруг прямоугольника окружности лежит
Содержание
  1. Описанная и вписанная окружность
  2. теория по математике 📈 планиметрия
  3. Описанная окружность
  4. Вписанная окружность
  5. Вписанный и описанный треугольники
  6. Вписанный и описанный четырехугольники
  7. Описанная окружность
  8. Доказательство
  9. Доказательство
  10. Доказательство
  11. Доказательство
  12. Доказательство
  13. Центр описанной вокруг прямоугольника окружности лежит
  14. Описанная окружность
  15. Доказательство
  16. Доказательство
  17. Доказательство
  18. Доказательство
  19. Доказательство
  20. Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения
  21. Описанная и вписанная окружности треугольника
  22. Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности
  23. Вписанные и описанные четырехугольники
  24. Окружность, вписанная в треугольник
  25. Описанная трапеция
  26. Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника
  27. Обобщенная теорема Пифагора
  28. Формула Эйлера для окружностей
  29. Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника
  30. 🎥 Видео

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Описанная и вписанная окружность

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Описанная окружность

Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Видео:Где лежит центр описанной окружности? 1 задание ЕГЭ ПрофильСкачать

Где лежит центр описанной окружности? 1 задание ЕГЭ Профиль

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Вписанный и описанный треугольники

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаЦентр вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Вписанный и описанный четырехугольники

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаУсловие вписанной в 4-х угольник окружности

Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.

Видео:2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАВС.

Доказать: около Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Точка О равноудалена от вершин Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВ = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАDС, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаD = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАВС, откуда следует Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВ + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаD = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАDС + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАВС = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАDС + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАDС + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАВС = 360 0 , тогда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВ + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаD = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольника360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBАD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВСDвнешний угол Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаСFD, следовательно, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBСD = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВFD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВFD = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD и Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаFDE = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBСD = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаЕF = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаЕF), следовательно, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВСDГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBАD = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВЕD, тогда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBАD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBСDГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольника(Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВЕD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВЕD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD = 360 0 , тогда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBАD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBСDГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольника360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBАD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBСDГде лежит центр описанной окружности около прямоугольника180 0 . Но это противоречит условию Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBАD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

По теореме о сумме углов треугольника в Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВСF: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаС + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВ + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаF = 180 0 , откуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаС = 180 0 — ( Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВ + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаF). (2)

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВ = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаЕF. (3)

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаF и Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВFD смежные, поэтому Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаF + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВFD = 180 0 , откуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаF = 180 0 — Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВFD = 180 0 — Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаС = 180 0 — (Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаЕF + 180 0 — Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD) = 180 0 — Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаЕF — 180 0 + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАDГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаЕF), следовательно, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаСГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаА = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВЕD, тогда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаА + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаСГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольника(Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВЕD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD). Но это противоречит условию Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаА + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиусСкачать

№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус

Центр описанной вокруг прямоугольника окружности лежит

Найдите абсциссу центра окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Найдите абсциссу центра окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно (−2; −2), (6; −2), (6; 4), (−2; 4).

Диагональ прямоугольника образует два прямоугольных треугольника. Диагональ равна диаметру окружности, описанной около треугольника, следовательно, центр окружности лежит на середине диагонали прямоугольника. Тогда можно легко найти координаты центра окружности.

Видео:№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярнаяСкачать

№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярная

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАВС.

Доказать: около Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Точка О равноудалена от вершин Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВ = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАDС, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаD = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАВС, откуда следует Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВ + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаD = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАDС + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАВС = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАDС + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАDС + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАВС = 360 0 , тогда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВ + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаD = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольника360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBАD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВСDвнешний угол Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаСFD, следовательно, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBСD = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВFD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВFD = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD и Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаFDE = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBСD = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаЕF = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаЕF), следовательно, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВСDГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBАD = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВЕD, тогда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBАD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBСDГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольника(Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВЕD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВЕD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD = 360 0 , тогда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBАD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBСDГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольника360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBАD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBСDГде лежит центр описанной окружности около прямоугольника180 0 . Но это противоречит условию Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBАD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

По теореме о сумме углов треугольника в Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВСF: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаС + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВ + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаF = 180 0 , откуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаС = 180 0 — ( Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВ + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаF). (2)

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВ = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаЕF. (3)

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаF и Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВFD смежные, поэтому Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаF + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВFD = 180 0 , откуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаF = 180 0 — Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВFD = 180 0 — Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаС = 180 0 — (Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаЕF + 180 0 — Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD) = 180 0 — Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаЕF — 180 0 + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАDГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаЕF), следовательно, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаСГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаА = Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВЕD, тогда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаА + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаСГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольника(Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВЕD + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВАD). Но это противоречит условию Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаА + Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Содержание:

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

2. Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникагде Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— радиус вписанной окружности треугольника,

3. Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникагде R — радиус описанной окружности Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника
Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Найдем радиус Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникавневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаПо свойству касательной Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаИз подо­бия прямоугольных треугольников АОЕ и Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(по острому углу) следуетГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаТак как Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникато Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаоткуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Пример:

Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ ОПИСАННОЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА АБС ЛЕЖИТ НА СТОРОНЕ АБ РАДИУС 14,5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ ОПИСАННОЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА АБС ЛЕЖИТ НА СТОРОНЕ АБ РАДИУС 14,5

Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

На рисунке 90 изображена окружность с ради­усом R и центром Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаописанная около треугольни ка АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

На рисунке 92 изображена окружность с цент­ром О и радиусом Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникавписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
Так как Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи по свойству касательной к окружности Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникато центр вписанной окружности равно­удален от сторон треугольника.

Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точ­ку пересечения любых двух из них.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникагде Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— полупериметр треугольника, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Пусть дан треугольник АВС со сторонами Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точ­ку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаРадиусы Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникапроведенные в точки касания, будут высотами этих тре­угольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Следствие:

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
(рис. 95).

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— иско­мый радиус. Поскольку Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(как прямо­угольные с общим острым углом СВК), то , Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника
Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаоткуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(см. рис. 95) Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаиз Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаоткуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаДальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникакак вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное меж­ду гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаоткуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника
Ответ: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникасм.
Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружно­сти, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, про­веденной к основанию, или на ее продолжении».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Полезно запомнить!
Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаа высоту, проведенную к основанию, — Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникато получится пропорция Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника.
Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окруж­ности, описанной около равнобедренного треугольника:

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре­угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникапо теореме Пифагора Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(см), откуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— общий) следует:Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. Тогда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольника(см).
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(см. рис. 97) Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, из Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаоткуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника‘ откуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника= 3 (см).

Способ 4 (формула Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника). Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаИз формулы площади треугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаследует: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника
Ответ: 3 см.

Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в тре­угольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаего вписанной окружности.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаПоскольку ВК — высота и медиана, то Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаИз Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, откуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника.
В Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникакатет ОК лежит против угла в 30°, поэтому Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВысоту равностороннего треугольника можно найти по формуле Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. Откуда

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Ответ: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникато Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаЗначит, сторона равностороннего
треугольника в Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникараз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаразделить на Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникагде с — гипотенуза.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникагде с — гипотенуза.
Теорема доказана.

Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, где Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— искомый радиус, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— катеты, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— гипотенуза треугольника.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи гипотенузой Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникакасается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаЧетырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. Тогда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаТак как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаНо Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, т. е. Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, откуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Следствие: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника где р — полупериметр треугольника.

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Формула Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникав сочетании с формулами Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникадает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

Пример. Дан прямоугольный треугольник, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаНайти Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника.

Решение:

Так как Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникато Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника
Из формулы Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаследует Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. По теореме Виета (обратной) Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— посторонний корень.
Ответ: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника= 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— квадрат, то Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника
По свойству касательных Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника
Тогда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаПо теореме Пифагора

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Следовательно, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника
Радиус описанной окружности Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу Где лежит центр описанной окружности около прямоугольниказначения Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаполучим Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаПо теореме Пифагора Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, т. е. Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаТогда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникарадиус вписанной в него окружности Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаНайти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникагипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникавписанной окружности, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— высота Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникапо катету и гипотенузе.
Площадь Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаравна сумме удвоенной площади Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи площади квадрата CMON, т. е.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Способ 2 (алгебраический). Из формулы Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаследует Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВозведем части равенства в квадрат: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаТак как Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Способ 3 (алгебраический). Из формулы Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаследует, что Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаИз формулы Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаследует, что Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаДуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАналогично доказывается, что Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникато около него можно описать окружность.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаили внутри нее в положении Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникато в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникане была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникакоторый касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникачто противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Для описанного многоугольника справедлива формула Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, где S — его площадь, р — полупериметр, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаТак как у ромба все стороны равны , то Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаоткуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаИскомый радиус вписанной окружности Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма Где лежит центр описанной окружности около прямоугольниканайдем площадь данного ромба: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаС другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаПоскольку Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(см), то Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаОтсюда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(см).

Ответ: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникасм.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаделит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).
Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаНеобходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникатрапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаТогда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаПо свойству описанного четырехугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаОтсюда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаТак как Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникакак внутренние односторонние углы при Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи секущей CD, то Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(рис. 131). Тогда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— прямоугольный, радиус Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаявляется его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаили Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВысота Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаописанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаТак как по свой­ству описанного четырехугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникато Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольника
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаНайти величину угла ВАС (рис. 132, а).
Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникакак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаВ прямоугольном треугольнике ABM Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаоткуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникато Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаТак как АВ = AM + МВ, то Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаоткуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникат. е. Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. После преобразований получим: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаАналогично: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольника
Ответ: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Замечание. Если Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(рис. 141), то Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаПусть в трапеции ABCD основания Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— боковые стороны, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. Известно, что в равнобедренной трапеции Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольникаОтсюда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаОтвет: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникабоковой стороной с, высотой h, средней линией Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи радиусом Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникавписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143
Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникакак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникато около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника» . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникапроведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(рис. 148). Тогда теорема Пифагора Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаможет звучать так: сумма квадратов гипотенуз Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникатреугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— соответствующие линейные элемен­ты Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникато можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:
Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Действительно, из подобия указанных треугольников Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаоткуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Пример:

Пусть Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(см. рис. 148). Найдем Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаПо обобщенной теореме Пифагора Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаотсюда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника
Ответ: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника= 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, и Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). ТогдаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольника— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникагде b — боковая сторона, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаРадиус вписанной окружности Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаТак как Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникато Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаИскомое расстояние Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника
А теперь найдем d по формуле Эйлера: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаоткуда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаКак видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

  1. Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
  2. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
  3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника
  4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника
  5. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
  6. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
  7. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникагде Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— полупериметр, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— радиус вписанной окружности.

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— центр окружности, описанной около треугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, поэтому Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника.

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникасуществует точка Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникабудет центром описанной окружности, а отрезки Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— ее радиусами.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

На рисунке 299 изображен произвольный треугольник Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. Проведем серединные перпендикуляры Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникасторон Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникасоответственно. Пусть точка Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— точка пересечения этих прямых. Поскольку точка Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникапринадлежит серединному перпендикуляру Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, то Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. Так как точка Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникапринадлежит серединному перпендикуляру Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, то Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. Значит, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаГде лежит центр описанной окружности около прямоугольника, т. е. точка Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаравноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, отрезки Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— радиусы, проведенные в точки касания, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникасуществует точка Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникабудет центром окружности радиуса г, которая касается сторон Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

На рисунке 301 изображен произвольный треугольник Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. Проведем биссектрисы углов Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— точка их пересечения. Так как точка Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникапринадлежит биссектрисе угла Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, то она равноудалена от сторон Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(теорема 19.2). Аналогично, так как точка Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникапринадлежит биссектрисе угла Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, то она равноудалена от сторон Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. Следовательно, точка Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаравноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, где Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— радиус вписанной окружности, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— катеты, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— гипотенуза.

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Решение:

В треугольнике Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника(рис. 302) Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, точка Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— центр вписанной окружности, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— точки касания вписанной окружности со сторонами Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникасоответственно.

Отрезок Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника.

Так как точка Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— центр вписанной окружности, то Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— биссектриса угла Где лежит центр описанной окружности около прямоугольникаи Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. Тогда Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника— равнобедренный прямоугольный, Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника. Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольника

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположение точек и прямых
  • Сравнение и измерение отрезков и углов
  • Первый признак равенства треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎥 Видео

36 Где лежит центр окружности, описанной около произвольного треугольникаСкачать

36 Где лежит центр окружности, описанной около произвольного треугольника

Как найти центр круга в мастерской (4 способа)Скачать

Как найти центр круга в мастерской (4 способа)

Все типы 2 задание векторы ЕГЭ по математике профиль 2024Скачать

Все типы 2 задание векторы ЕГЭ по математике профиль 2024

ОГЭ 2020 задание 17Скачать

ОГЭ 2020 задание 17

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике #7

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

№704. Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника, а) ДокажитеСкачать

№704. Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника, а) Докажите

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

🔴 Радиус окружности, описанной около треугольника ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 Радиус окружности, описанной около треугольника ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Центр описанной около треугольника окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центр описанной около треугольника окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА
Поделиться или сохранить к себе: