В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
Центр вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
Пример
В приведенном ниже примере, O является центров окружности.
Метод расчета центра окружности вписанного в треугольник
Даны точки вершин треугольника A(5,7), B(6,6) и C(2,-2). Итак, нам известны координаты точек вершин треугольника x1,y1, x2,y2 и x3,y3.
Для нахождения точки центра вписанной окружности необходимо найти уравнение биссектрисы.
Шаг 1 :
Давайте рассчитаем средние точки всех сторон треугольника AB, BC и CA заданных координатами x и y
- Средняя точка стороны = x1+x2/2, y1+y2/2
- Средняя точка AB = 5+6/2, 7+6/2 = (11/2, 13/2)
- Средняя точка BC = 6+2/2, 6-2/2 = (4, 2)
- Средняя точка CA = 2+5/2, -2+7/2 = (7/2, 5/2)
Шаг 2 :
Далее, найдем углы сторон AB, BC и CA используя формулу y2-y1/x2-x1. Пожалуйста, обратите внимание, что угол обозначается буквой ‘m’.
- Угол AB (m) = 6-7/6-5 = -1.
- Угол BC (m) = -2-6/2-6 = 2.
- Угол CA (m) = 7+2/5-2 = 3.
Шаг 3 :
Теперь, давайте вычислить угол биссектрисы сторон AB, BC и CA.
- Угол биссектрисы = -1/угол линии (стороны).
- Угол биссектрисы стороны AB = -1/-1 = 1
- Угол биссектрисы стороны BC = -1/2
- Угол биссектрисы стороны CA = -1/3
Шаг 4 :
После того, как мы находим угол перпендикулярных линий, мы должны найти уравнение перпендикуляра, биссектрис с углом и серединой. Уравнение перпендикуляра АВ с серединами (11/2, 13/2) и углом 1.
Уравнение центра окружности y-y1 = m(x-x1)
Упростив, мы получим уравнение -x + y = 1
Кроме того, мы должны найти уравнение перпендикуляра, биссектрис линий BE и CF.
Для BC с средней точкой (4,2) и углом -1/2 y-2 = -1/2(x-4)
Упростив, мы получим уравнение x + 2y = 8
Для CA с средней точкой (7/2,5/2) и углом -1/3 y-5/2 = -1/3(x-7/2)
Упростив, мы получим уравнение x + 3y = 11
Шаг 5 :
Найдем значения x и y решив любые 2 из указанных 3 уравнений.
В этом примере, значение x и y равны (2,3) которые являются координатами центра (o) вписанной окружности в треугольник.
Центр вписанной в треугольник окружности
Где лежит центр вписанной в треугольник окружности? Что можно сказать о центре окружности, вписанной в многоугольник?
Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.
O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC.
окр. (O; r) — вписанная.
O — точка пересечения биссектрис ∆ ABC.
Обозначим точки касания вписанной в треугольник окружности со сторонами AC, BC и AB соответственно M, K. F.
Соединим отрезками центр окружности с точками A, M и F.
(как радиусы, проведенные в точки касания). Следовательно, треугольники AOF и AOM — прямоугольные.
У них общая гипотенуза AO, катеты OF=OM (как радиусы).
Следовательно, треугольники AOF и AOM равны (по катету и гипотенузе).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠OAF=∠OAM.
Значит, точка O лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины A.
Аналогично из равенства треугольников BOF и BOK, COM и COK доказывается, что точка O лежит на биссектрисах треугольника ABC, проведенных из вершин B и C.
Следовательно, центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечении биссектрис этого треугольника.
Что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы можно основать непосредственно на свойстве биссектрисы угла.
1) OM=OF=OK (как радиусы),
2) OM⊥AC, OM⊥AB, OK⊥BC (как радиусы, проведённые в точку касания).
Значит точка O равноудалена от сторон углов BAC, ABC и ACB.
Так как любая точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе, то AO, BO и CO — биссектрисы треугольника ABC, O — точка их пересечения.
Аналогично, центр вписанной в многоугольник окружности (если в него можно вписать окружность) лежит в точке пересечения биссектрис этого многоугольника.
Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.
Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?
В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.
Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.
Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
— радиус окружности, вписанной в треугольник.
Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :
где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.
Для любого треугольника верна теорема синусов:
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .
Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .
В ответ запишем .
. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
По теореме синусов,
Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .
. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.
, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .
Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .