Как найти радиус окружности вписанной в сектор

Как найти радиус окружности

Как найти радиус окружности вписанной в сектор

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Содержание
  1. Основные понятия
  2. Формула радиуса окружности
  3. Если известна площадь круга
  4. Если известна длина
  5. Если известен диаметр окружности
  6. Если известна диагональ вписанного прямоугольника
  7. Если известна сторона описанного квадрата
  8. Если известны стороны и площадь вписанного треугольника
  9. Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника
  10. Если известна площадь сектора и его центральный угол
  11. Если известна сторона вписанного правильного многоугольника
  12. Скачать онлайн таблицу
  13. Как в сектор вписать окружность
  14. Как в сектор вписать окружность
  15. Площадь круга
  16. Сектор круга. Площадь сектора
  17. Сегмент. Площадь сегмента
  18. Окружность: вписанная в многоугольник или угол
  19. Вписанная окружность
  20. Свойства вписанной окружности
  21. В треугольник
  22. В четырехугольник
  23. Примеры вписанной окружности
  24. Верные и неверные утверждения
  25. Окружность вписанная в угол
  26. Найдите радиус окружности, вписанной в сектор радиуса 6, периметр которого равен 12 + 2п
  27. Ваш ответ
  28. решение вопроса
  29. Похожие вопросы

Видео:Как найти радиус окружности, вписанной в круговой сектор?Скачать

Как найти радиус окружности, вписанной в круговой сектор?

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.

Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.

Возможно тебе интересно узнать — как найти длину окружности?

Видео:Сможешь найти радиус окружности вписанной в сектор?Скачать

Сможешь найти радиус окружности вписанной в сектор?

Формула радиуса окружности

Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Если известна площадь круга

R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Видео:Площадь сектора и сегмента. 9 класс.Скачать

Площадь сектора и сегмента. 9 класс.

Если известна длина

R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Если известен диаметр окружности

R = D : 2, где D — диаметр.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.

Видео:КАК НАЙТИ РАДИУС КРУГА (ОКРУЖНОСТИ), ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ РАДИУС КРУГА (ОКРУЖНОСТИ), ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

Если известна диагональ вписанного прямоугольника

R = d : 2, где d — диагональ.

Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:

d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Если известна сторона описанного квадрата

R = a : 2, где a — сторона.

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Если известны стороны и площадь вписанного треугольника

R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.

Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника

R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Если известна площадь сектора и его центральный угол

R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.

Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Если известна сторона вписанного правильного многоугольника

R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.

В правильном многоугольнике все стороны равны.

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

Как в сектор вписать окружность

Видео:Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131

Как в сектор вписать окружность

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Центр данной окружности называется центром круга, а расстояние от центра до любой точки окружности — радиусом круга:

Как найти радиус окружности вписанной в сектор

O — центр круга, OA — радиус круга.

Видео:Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Окружность. Как найти Радиус и Диаметр

Площадь круга

Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:

где S — площадь круга, а r — радиус круга.

Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:

D = 2r, значит r =D.
2

Следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:

S = π(D) 2 = πD 2= πD 2.
22 24

Видео:Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

Сектор круга. Площадь сектора

Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Два радиуса разделяют круг на два сектора:

Как найти радиус окружности вписанной в сектор

Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит , надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.

Как найти радиус окружности вписанной в сектор

Формула площади сектора:

S =πr 2· n =πr 2 n,
360360

где S — площадь сектора. Выражение

πr 2 n
360

можно представить в виде произведения

πr 2 n= n ·πr·r,
3601802
гдеnπr— это длина дуги сектора.
180

Следовательно, площадь сектора равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:

S =sr,
2

где S — это площадь сектора, s — длина дуги данного сектора, r — радиус круга.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Сегмент. Площадь сегмента

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой. Любая хорда делит круг на два сегмента:

Как найти радиус окружности вписанной в сектор

Площадь сегмента равна половине радиуса, умноженной на разность между дугой сегмента и половиной хорды двойной дуги.

Как найти радиус окружности вписанной в сектор

Площадь сегмента AMB будет вычисляться по формуле:

S =r(sBC),
2

где S — это площадь сегмента, r — радиус круга, s — длина дуги AB, а BC — длина половины хорды двойной дуги.

Видео:Как Найти Радиус Сегмента на Потолке. Радиус Окружности По Хорде И Высоте СегментаСкачать

Как Найти Радиус Сегмента на Потолке. Радиус Окружности По Хорде И Высоте Сегмента

Окружность: вписанная в многоугольник или угол

Определения

Окружность (S) вписана в угол (alpha) , если (S) касается сторон угла (alpha) .

Окружность (S) вписана в многоугольник (P) , если (S) касается всех сторон (P) .

В этом случае многоугольник (P) называется описанным около окружности.

Теорема

Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе.

Доказательство

Как найти радиус окружности вписанной в сектор

Пусть (O) – центр некоторой окружности, вписанной в угол (BAC) . Пусть (B’) – точка касания окружности и (AB) , а (C’) – точка касания окружности и (AC) , тогда (OB’) и (OC’) – радиусы, проведённые в точки касания, следовательно, (OC’perp AC) , (OB’perp AB) , (OC’ = OB’) .

Значит, треугольники (AC’O) и (AB’O) – прямоугольные треугольники, у которых равны катеты и общая гипотенуза, следовательно, они равны, откуда (angle CAO = angle BAO) , что и требовалось доказать.

Теорема

В любой треугольник можно вписать единственную окружность, причём центр этой вписанной окружности есть точка пересечения биссектрис треугольника.

Доказательство

Проведем биссектрисы углов (angle A) и (angle B) . Пусть они пересеклись в точке (O) .

Как найти радиус окружности вписанной в сектор

Т.к. (O) лежит на биссектрисе (angle A) , то расстояния от точки (O) до сторон угла равны: (ON=OP) .

Т.к. (O) также лежит на биссектрисе (angle B) , то (ON=OK) . Таким образом, (OP=OK) , следовательно, точка (O) равноудалена от сторон угла (angle C) , следовательно, лежит на его биссектрисе, т.е. (CO) – биссектриса (angle C) .

Таким образом, точки (N, K, P) равноудалены от точки (O) , то есть лежат на одной окружности. По определению это и есть вписанная в треугольник окружность.

Данная окружность единственна, т.к. если предположить, что существует другая вписанная в (triangle ABC) окружность, то она будет иметь тот же центр и тот же радиус, то есть будет совпадать с первой окружностью.

Таким образом, попутно была доказана следующая теорема:

Следствие

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема о площади описанного треугольника

Если (a,b,c) – стороны треугольника, а (r) – радиус вписанной в него окружности, то площадь треугольника [S_ =pcdot r] где (p=dfrac2) – полупериметр треугольника.

Доказательство

Как найти радиус окружности вписанной в сектор

Но (ON=OK=OP=r) – радиусы вписанной окружности, следовательно,

Следствие

Если в многоугольник вписана окружность и (r) – ее радиус, то площадь многоугольника равна произведению полупериметра многоугольника на (r) : [S_ >=pcdot r]

Теорема

В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Доказательство

Необходимость. Докажем, что если в (ABCD) вписана окружность, то (AB+CD=BC+AD) .

Как найти радиус окружности вписанной в сектор

Пусть (M,N,K,P) – точки касания окружности и сторон четырехугольника. Тогда (AM, AP) – отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, следовательно, (AM=AP=a) . Аналогично, (BM=BN=b, CN=CK=c, DK=DP=d) .

Достаточность. Докажем, что если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Проведем биссектрисы углов (angle A) и (angle B) , пусть они пересекутся в точке (O) . Тогда точка (O) равноудалена от сторон этих углов, то есть от (AB, BC, AD) . Впишем окружность в (angle A) и (angle B) с центром в точке (O) . Докажем, что эта окружность будет касаться и стороны (CD) .

Как найти радиус окружности вписанной в сектор

Предположим, что это не так. Тогда (CD) либо является секущей, либо не имеет общих точек с окружностью. Рассмотрим второй случай (первый будет доказываться аналогично).

Проведем касательную прямую (C’D’ parallel CD) (как показано на рисунке). Тогда (ABC’D’) – описанный четырехугольник, следовательно, (AB+C’D’=BC’+AD’) .

Т.к. (BC’=BC-CC’, AD’=AD-DD’) , то:

[AB+C’D’=BC-CC’+AD-DD’ Rightarrow C’D’+CC’+DD’=BC+AD-AB=CD]

Получили, что в четырехугольнике (C’CDD’) сумма трех сторон равна четвертой, что невозможно*. Следовательно, предположение ошибочно, значит, (CD) касается окружности.

Замечание*. Докажем, что в выпуклом четырехугольнике не может сторона равняться сумме трех других.

Как найти радиус окружности вписанной в сектор

Т.к. в любом треугольнике сумма двух сторон всегда больше третьей, то (a+x>d) и (b+c>x) . Складывая данные неравенства, получим: (a+x+b+c>d+x Rightarrow a+b+c>d) . Следовательно, сумма любых трех сторон всегда больше четвертой стороны.

Теоремы

1. Если в параллелограмм вписана окружность, то он – ромб (рис. 1).

2. Если в прямоугольник вписана окружность, то он – квадрат (рис. 2).

Как найти радиус окружности вписанной в сектор

Верны и обратные утверждения: в любой ромб и квадрат можно вписать окружность, и притом только одну.

Доказательство

1) Рассмотрим параллелограмм (ABCD) , в который вписана окружность. Тогда (AB+CD=BC+AD) . Но в параллелограмме противоположные стороны равны, т.е. (AB=CD, BC=AD) . Следовательно, (2AB=2BC) , а значит, (AB=BC=CD=AD) , т.е. это ромб.

Обратное утверждение очевидно, причем центр этой окружности лежит на пересечении диагоналей ромба.

2) Рассмотрим прямоугольник (QWER) . Т.к. прямоугольник является параллелограммом, то согласно первому пункту (QW=WE=ER=RQ) , т.е. это ромб. Но т.к. все углы у него прямые, то это квадрат.

Обратное утверждение очевидно, причем центр этой окружности лежит на пересечении диагоналей квадрата.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Вписанная окружность

Как найти радиус окружности вписанной в сектор

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac (a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac (a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Как найти радиус окружности вписанной в сектор
    • Четырехугольник
      Как найти радиус окружности вписанной в сектор
    • Многоугольник
      Как найти радиус окружности вписанной в сектор

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

    Найдите радиус окружности, вписанной в сектор радиуса 6, периметр которого равен 12 + 2п

    Ваш ответ

    решение вопроса

    Похожие вопросы

    • Все категории
    • экономические 43,279
    • гуманитарные 33,618
    • юридические 17,900
    • школьный раздел 606,962
    • разное 16,829

    Популярное на сайте:

    Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

    Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

    Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

    Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

    Поделиться или сохранить к себе: