Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Углы, связанные с окружностью
Равны ли углы опирающиеся на хорду окружностиВписанные и центральные углы
Равны ли углы опирающиеся на хорду окружностиУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Равны ли углы опирающиеся на хорду окружностиДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголРавны ли углы опирающиеся на хорду окружности
Вписанный уголРавны ли углы опирающиеся на хорду окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголРавны ли углы опирающиеся на хорду окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголРавны ли углы опирающиеся на хорду окружностиДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголРавны ли углы опирающиеся на хорду окружностиВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаРавны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиРавны ли углы опирающиеся на хорду окружностиРавны ли углы опирающиеся на хорду окружности
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаРавны ли углы опирающиеся на хорду окружностиРавны ли углы опирающиеся на хорду окружности
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияРавны ли углы опирающиеся на хорду окружностиРавны ли углы опирающиеся на хорду окружности
Угол, образованный касательной и секущейРавны ли углы опирающиеся на хорду окружностиРавны ли углы опирающиеся на хорду окружности
Угол, образованный двумя касательными к окружностиРавны ли углы опирающиеся на хорду окружностиРавны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности
Формула: Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности
Формула: Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

В этом случае справедливы равенства

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

В этом случае справедливы равенства

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Задача 6 №27857 ЕГЭ по математике. Урок 103Скачать

Задача 6 №27857 ЕГЭ по математике. Урок 103

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Какие из следующих утверждений верны?

1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.

2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.

3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.

4) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.» — неверно, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны, если их вершины лежат по одну сторону от хорды.

2) «Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.» — неверно, окружности имеют две общие точки.

3) «Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.» — верно, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая и окружность имеют две общие точки.

4) «Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.» — верно, вписанный угол измеряется половиной дуги,на которую он опирается.

Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Углы, связанные с окружностью.

Центральный угол — угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её.

Вписанный угол в два раза меньше центрального , опирающегося на ту же дугу.

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Все вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Все вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Все вписанные углы , опирающиеся на диаметр, прямые.

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Любые два вписанных угла , опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°.

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Угол между пересекающимися хордами измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами.

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Угол между касательной и секущей, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Угол между касательными к окружности измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Равны ли углы опирающиеся на хорду окружности

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равняется половине центрального угла, опирающегося на данную хорду:

📹 Видео

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную r окрСкачать

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную r окр

Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?Скачать

Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Простая и быстрая подготовка к ЕГЭ | ЕГЭ Профиль: задание 6Скачать

Простая и быстрая подготовка к ЕГЭ | ЕГЭ Профиль: задание 6

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105

Шпаргпалка для ЕГЭ. Вписанные в окружность углы.Скачать

Шпаргпалка для ЕГЭ. Вписанные в окружность углы.

№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. НайдитеСкачать

№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

ОГЭ математика +21,22,24 #8.18 Задача 17🔴Скачать

ОГЭ математика +21,22,24 #8.18 Задача 17🔴

🔴 Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

ЕГЭ. Задачи на окружность. ХордаСкачать

ЕГЭ. Задачи на окружность. Хорда

✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис Трушин
Поделиться или сохранить к себе: