В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать
Определение равностороннего треугольника
Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.
Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.
Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Свойства равностороннего треугольника
Свойство 1
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.
Свойство 2
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.
CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.
Свойство 3
В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.
Свойство 4
Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.
Свойство 5
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.
- R – радиус описанной окружности;
- r – радиус вписанной окружности;
- R = 2r.
Свойство 6
В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:
1. Высоту/медиану/биссектрису:
2. Радиус вписанной окружности:
3. Радиус описанной окружности:
4. Периметр:
5. Площадь:
Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Пример задачи
Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.
Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:
Видео:Свойства равностороннего треугольникаСкачать
Свойства равностороннего треугольника
Основные свойства равностороннего треугольника непосредственно следуют из свойств равнобедренного треугольника, частным случаем которого он является.
Свойства равностороннего треугольника
2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:
AK — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;
BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;
CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.
Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой:
Если a — сторона треугольника, то
3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).
4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин:
5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан
до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности:
6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности:
7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.
8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:
Видео:Геометрия Равносторонний треугольникСкачать
55. Планиметрия Читать 0 мин.
Видео:РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК и его свойства. §9 геометрия 7 классСкачать
55.162. Треугольники
Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.
СВОЙСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА:
1. Сумма углов в треугольнике равна α + β + γ = 180°.
2. Против большей стороны находится больший угол; против меньшего угла находится меньшая сторона. Отсюда следует, что если:
Если это правило не выполняется — треугольник не существует.
4. Формулы площади треугольника:
1 (через высоту)
2 (через две стороны и синус угла между ними)
3 (формула Герона)
$S = displaystylefrac12 a h_a$
$S = displaystylefracab,sin alpha$
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними.
Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения его полупериметра на разности полупериметра и каждой из его сторон.
5. Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
6. Теорема синусов: Отношения сторон треугольника к синусам противоположных им углов равны. Это отношение равно 2R, где R — радиус описанной окружности.
7. Внешний угол треугольника — δ, является смежным с одним из внутренних углов (сумма = 180°). Из этого следует, что внешний угол равен сумме двух внутренних, но не смежных с ним, углов треугольника (α + β = δ).
ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ:
- остроугольными (если все его углы острые),
- тупоугольными (если один из его углов тупой),
- прямоугольными (если один из его углов прямой).
- равнобедренным, если две его стороны равны;
- равносторонним, если все три стороны равны;
- разносторонним, если все его стороны разные.
ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА:
БИССЕКТРИСА
Биссектриса ― луч, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной, при этом разделяя угол на две равные части.
Свойства биссектрисы треугольника:
1. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр вписанной в треугольник окружности.
2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
3. Формулы для биссектрисы треугольника. Если а и b — стороны треугольника, γ — угол между ними, l — биссектриса треугольника, проведённая из вершины этого угла, а а’ и b’ — отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону треугольника, то
МЕДИАНА
Медиана ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Свойства медианы треугольника:
1. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.
- Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
- Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
- В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
- Формула для медианы треугольника. Если стороны треугольника a и b, mc — медиана треугольника, проведённая к стороне c, то
ВЫСОТА
Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (точнее, на прямую, содержащую противоположную сторону).
В зависимости от типа треугольника высота может содержаться:
- внутри треугольника (для остроугольного треугольника),
- совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника),
- проходить вне треугольника (для тупоугольного треугольника).
Свойства высоты треугольника:
1. Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.
2. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
3. Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.
4. Если CC₁ и АА₁ — высоты треугольника АВС, то треугольник ВА₁С₁ подобен треугольнику АВС, причём коэффициент подобия равен cos B.
Сложные теоремы:
5. Если Н — точка пересечения высот треугольника AВС, а О — центр его описанной окружности, то отрезок АН вдвое больше расстояния от точки О до середины стороны ВС. То есть AH = 2OM.
6. Если Н — точка пересечения высот треугольника AВС, М — точка пересечения медиан треугольника AВС, а О — центр его описанной окружности, то точки О, H и М лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причём точка М лежит на отрезке ОН и ОМ : МН = 1 : 2.
СРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР
Срединный перпендикуляр треугольника — прямая, перпендикулярная стороне треугольника и проходящая через его середину.
Все три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной около треугольника окружности.
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника
Свойства средней линии треугольника:
- Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине:
- В любом треугольнике три средних линии, при пересечении которых образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 1/2.
$bigtriangleup AMN = bigtriangleup NKB = bigtriangleup NMK = bigtriangleup MCK$
ПОДОБИЕ И РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Подобные треугольники
Равные треугольники
Треугольники подобны, если их углы равны. В подобных фигурах сохраняется отношение между соответствующими сторонами и другими линейными величинами (высоты, медианы, биссектрисы и периметры):
Также сохраняется внутреннее отношение длин:
$displaystylefrac=frac или frac=frac$
Два треугольника равны, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны (треугольники равны, если их можно совместить наложением).
Признаки подобия треугольников:
1. По двум пропорциональным сторонам и углу между ними:
3. По двум равным углам (тогда и третьи тоже будут равны)
5. По трем пропорциональным сторонам:
Признаки равенства треугольников:
1. По двум сторонам и углу между ними:
2. По стороне и двум прилежащим к ней углам.
3. По трем сторонам.
ОСОБЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ И ИХ СВОЙСТВА:
«Особенными», то есть обладающими какими — то дополнительными свойствами, считаются:
- равнобедренный,
- равносторонний
- прямоугольный треугольники.
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Равнобедренный треугольник ― это треугольник, у которого две стороны равны (АВ = АС).
Равные стороны (АВ и АС) в таком треугольнике называются боковыми, а оставшаяся третья сторона (ВС) ― основанием.
Свойства равнобедренного треугольника:
1. Углы при основании равны (∠АВС = ∠АСВ).
2. Медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой. То есть она не только делит противолежащую сторону пополам (ВМ = МС), но и падает на неё под углом 90°, а кроме того делит угол, из которого выходит, пополам (∠ВАМ = ∠МАС).
Посмотрим на пример конкретной задачи. В равнобедренном треугольнике внешний угол равен 80°, необходимо найти все углы треугольника. Сразу возникает вопрос ― внешний угол при каком угле треугольника? Предположим, что это внешний угол при угле В (с нашего первого рисунка). Но в таком случае выходит, что сам ∠В = 100° (по сумме смежных углов). Значит, и ∠С = 100°, так как треугольник равнобедренный. Но тогда сумма только двух углов получается 200°, чего быть никак не может. Значит, речь идёт о внешнем угле при угле А треугольника. Тогда ∠А = 100°, а ∠В = ∠С = 40°.
РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Равносторонний треугольник ― треугольник, у которого все три стороны равны
Свойства равностороннего треугольника:
1. Кроме равенства сторон в таком треугольнике равны и все углы (каждый из которых по 60° ― так как 180°/3 = 60°).
2. Медиана, проведённая из любого угла, будет являться биссектрисой и высотой (другими словами, равносторонний треугольник с любой стороны является равнобедренным).
1. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
2. Формулы 2 и 3 для площади треугольника превращаются в одну формулу:
— Через синус (так как все стороны равны и каждый угол равен 60°):
— Формула Герона (так как все стороны равны):
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Прямоугольный треугольник ― треугольник, у которого один угол равен 90° (собственно, это и есть прямой угол, дающий название всему треугольнику). Сторона, лежащая против такого угла, называется гипотенузой (АВ), а две другие стороны ― катетами (АС и ВС).
Свойства прямоугольного треугольника:
1. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета (против большего угла лежит большая сторона, и наоборот).
2. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
Теорема, обратная теореме Пифагора: Если для сторон произвольного треугольника выполняется отношение АВ 2 = АС 2 + ВС 2 , то треугольник является прямоугольным.
3. Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности всегда лежит на середине гипотенузы (доказательство: прямой ∠С становится вписанным, а против вписанного угла в 90° всегда лежит диаметр ― значит, гипотенуза является диаметром).
Высота, проведенная к гипотенузе, разбивает треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику: $bigtriangleup ACHsimbigtriangleup HCBsimbigtriangleup ABC$
4. Высота, проведенная к гипотенузе, равна:
- Произведению катетов, деленному на гипотенузу
- Среднему геометрическому из произведений отрезков, на которые гипотенуза делится высотой
5. Медиана, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы, то есть радиусу описанной около треугольника окружности.
6. Формулы площади прямоугольного треугольника:
1
2
3
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на опущенную к ней высоту.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катета, гипотенузы и синуса угла между ними.
ЗОЛОТОЙ И СЕРЕБРЯНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИКИ:
Серебряный треугольник
— треугольник с углами 45°, 45° и 90° (разрубленный по диагонали квадрат)
Отношение сторон в серебряном треугольнике:
Золотой треугольник
🎥 Видео
Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать
Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать
МЕРЗЛЯК-7 ГЕОМЕТРИЯ РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК И ЕГО СВОЙСТВА ПАРАГРАФ-9Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать
Геометрия 7 класс - равнобедренный треугольник и его свойстваСкачать
Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№32 - Повторение. Равнобедренный треугольник и его свойства.)Скачать
Равносторонний треугольник в окружностиСкачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Равнобедренный треугольник и его свойстваСкачать
Геометрия. 7 класс. Равнобедренный треугольник, его свойства и признаки /10.12.2020/Скачать
Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать
Равносторонний треугольникСкачать
Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать