- Определение
- Формулы
- Радиус вписанной окружности в треугольник
- Радиус описанной окружности около треугольника
- Площадь треугольника
- Периметр треугольника
- Сторона треугольника
- Средняя линия треугольника
- Высота треугольника
- Свойства
- Доказательство
- Равнобедренный треугольник вписан в окружность найдите угол
- Задача 36687 Равнобедренный треугольник ДЕF с.
- Условие
- Решение
- 📽️ Видео
Видео:Треугольник ABC вписан в окружность с центром O Угол BAC равен 32°Скачать
Определение
Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.
На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.
ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.
O — центр вписанной в треугольник окружности.
Видео:ОГЭ по математике. Треугольник вписан в окружность . (Вар. 4) √ 17 модуль геометрия ОГЭСкачать
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
r — радиус вписанной окружности.
- Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:
Радиус описанной окружности около треугольника
R — радиус описанной окружности.
- Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:
Площадь треугольника
S — площадь треугольника.
- Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:
[ S = fracab cdot sin angle C ]
Периметр треугольника
P — периметр треугольника.
- Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:
Сторона треугольника
a — сторона треугольника.
- Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:
Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:
Средняя линия треугольника
l — средняя линия треугольника.
- Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:
Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:
Высота треугольника
h — высота треугольника.
- Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:
[ h = b cdot sin alpha ]
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:
Видео:№703. В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС. Найдите углы треугольникаСкачать
Свойства
- Центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении биссектрис. - В треугольник, вписанный в окружность,
можно вписать окружность, причем только одну. - Для треугольника, вписанного в окружность,
справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
и Теорема Пифагора. - Центр описанной около треугольника окружности
находится на пересечении серединных перпендикуляров. - Все вершины треугольника, вписанного
в окружность, лежат на окружности. - Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
- Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
формуле Герона.
Видео:Окружность описана около равнобедренного треугольника. Найти центральный уголСкачать
Доказательство
Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.
окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.
окружность описана
около треугольника.
- Проведем серединные
перпендикуляры — HO, FO, EO. - O — точка пересечения серединных
перпендикуляров равноудалена от
всех вершин треугольника. - Центр окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров — около
треугольника описана окружность — O,
от центра окружности к вершинам можно
провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.
окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.
Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.
Видео:№228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°Скачать
Равнобедренный треугольник вписан в окружность найдите угол
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
Воспользуемся теоремой косинусов:
(здесь a и b — боковые стороны равнобедренного треугольника, c — основание.
Диаметр описанной окружности найдем по обобщенной теореме синусов:
Вместо того, чтобы искать основание треугольника, можно было найти угол при основании. Действительно, сумма углов при основании данного равнобедренного треугольника равна 60°. Эти углы равны, поэтому каждый из них равен 30°. Применяя обобщенную теорему синусов для боковой стороны и противолежащего ей угла, получаем:
Приведем решение Андрея Ларионова.
Угол при основании равен
Следовательно, дуга описанной окружности, на которую он опирается, равна 2 · 30° = 60°. Эту дугу стягивает боковая сторона треугольника.
Хорда, стягивающая дугу в 60°, равна радиусу окружности, поэтому радиус описанной окружности равен боковой стороне треугольника, тогда D = 2 · 4 = 8.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Задача 36687 Равнобедренный треугольник ДЕF с.
Условие
Равнобедренный треугольник ДЕF с основанием ДF вписан в окружность с центром в точке О.Угол ЕОF равен 120 градусов.Найдите угол ДЕF
Решение
Равнобедренный треугольник ДЕF с основанием ДF ⇒
боковые стороны равны между собой
DE=EF
Δ DOE = Δ EOF по трем сторонам
DE=EF
DO=EO=OF=R
Из равенства треугольников следует равенство углов
∠ DOE= ∠ EOF=120^(o)
∠ DOE+ ∠ EOF+∠ DOF=360^(o) ⇒ ∠ DOF= [b]120^(o) [/b]
∠ DOF- центральный, измеряется дугой, на которую опирается.
Значит, ∪ DF=120^(o)
∠ DEF — вписанный, измеряется половиной дуги, на которую опирается.
∠ DEF= [b]60^(o) [/b]
📽️ Видео
Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать
2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABCСкачать
№702. В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ — диаметр окружности. Найдите углыСкачать
Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать
Равносторонний треугольник вписан в окружность. Найти площадь меньшего сегмента.Скачать
Найти угол равнобедренного треугольникаСкачать
В угол C величиной 83° вписана окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
№254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.Скачать
2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать
Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Геометрия Вершины равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) делят описанную около него окружностьСкачать
Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать
Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружностьСкачать
2034 треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O точки O и C лежат в одной полуплоскостиСкачать