Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Свойства квадрата

  • Длины всех сторон квадрата равны.
  • Все углы квадрата прямые.
  • Диагонали квадрата равны.
  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
  • Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2.(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Ответ: Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Видео:Задание 16 Часть 3Скачать

Задание 16  Часть 3

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Ответ: Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Видео:Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Ответ: Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2(5)

Из формулы (5) найдем R:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2(6)

или, умножая числитель и знаменатель на Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2, получим:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2.(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Ответ: Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2.(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2в (8), получим:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Ответ: Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2(9)

где Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2− сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2. Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2в (9), получим:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Ответ: Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Видео:Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2(13)

Из (13) следует, что

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Видео:Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141Скачать

Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Задание 17. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 3√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности (см. красная линия на рисунке ниже), то есть,

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата (половина синей линии), то есть,

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Нахождение радиуса вписанной в квадрат окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в квадрат. Также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:Задача № 27933 ЕГЭ по математике. Урок 147Скачать

Задача № 27933 ЕГЭ по математике. Урок 147

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Через сторону квадрата

Радиус r вписанной в квадрат окружности равняется половине длины его стороны a.

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Через диагональ квадрата

Радиус r вписанной в квадрат окружности равняется длине его диагонали d, деленной на произведение числа 2 и квадратного корня из двух.

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Видео:окружности огэ по математике 2023 / маттаймСкачать

окружности огэ по математике 2023 / маттайм

Примеры задач

Задание 1

Найдите радиус вписанной в квадрат окружности, если известно, что длина его стороны равняется 7 см.

Воспользуемся первой формулой, подставив в него известное значение:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 43 корней из 2

Задание 2

Известно, что радиус вписанной в квадрат окружности составляет 12 см. Найдите длину его диагонали.

Формулу для нахождения диагонали можно вывести из формулы для расчета радиуса круга:

🔥 Видео

Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.Скачать

Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Разбор 16 и 23 задание ОГЭ по математике 2023 | УмскулСкачать

Разбор 16 и 23 задание ОГЭ по математике 2023 | Умскул

Задания с окружностью, тестовая часть ОГЭ (2 серия)Скачать

Задания с окружностью, тестовая часть ОГЭ (2 серия)

Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать

Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Геометрия ОГЭ задача Теорема синусовСкачать

Геометрия ОГЭ задача Теорема синусов
Поделиться или сохранить к себе: