Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Задание 17. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 3√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности (см. красная линия на рисунке ниже), то есть,

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата (половина синей линии), то есть,

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:2134 около окружности радиус которой равен 16 корней из 2Скачать

2134 около окружности радиус которой равен 16 корней из 2

Свойства квадрата

  • Длины всех сторон квадрата равны.
  • Все углы квадрата прямые.
  • Диагонали квадрата равны.
  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
  • Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2.(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Ответ: Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Видео:17 задание ОГЭ по математикеСкачать

17 задание ОГЭ по математике

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Видео:Задание 16 Часть 3Скачать

Задание 16  Часть 3

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Ответ: Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Видео:2071 радиус окружности вписанной в правильный треугольник равен корень из 3 на 2Скачать

2071 радиус окружности вписанной в правильный треугольник равен корень из 3 на 2

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Ответ: Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Видео:СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностейСкачать

СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностей

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадратаСкачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадрата

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2(5)

Из формулы (5) найдем R:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2(6)

или, умножая числитель и знаменатель на Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2, получим:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2.(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Ответ: Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2.(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2в (8), получим:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Ответ: Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2(9)

где Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2− сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2. Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2в (9), получим:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Ответ: Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Видео:ОГЭ 2020 задание 17Скачать

ОГЭ 2020 задание 17

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2(13)

Из (13) следует, что

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

Нахождение радиуса вписанной в квадрат окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в квадрат. Также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Через сторону квадрата

Радиус r вписанной в квадрат окружности равняется половине длины его стороны a.

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Через диагональ квадрата

Радиус r вписанной в квадрат окружности равняется длине его диагонали d, деленной на произведение числа 2 и квадратного корня из двух.

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Примеры задач

Задание 1

Найдите радиус вписанной в квадрат окружности, если известно, что длина его стороны равняется 7 см.

Воспользуемся первой формулой, подставив в него известное значение:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 21 корней из 2

Задание 2

Известно, что радиус вписанной в квадрат окружности составляет 12 см. Найдите длину его диагонали.

Формулу для нахождения диагонали можно вывести из формулы для расчета радиуса круга:

🎥 Видео

Геометрия с нуля! / Выпуск № 6. Формула квадрата, вписанного в окружность / ОГЭ по математике 2022Скачать

Геометрия с нуля! / Выпуск № 6. Формула квадрата, вписанного в окружность / ОГЭ по математике 2022

Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.Скачать

Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

Геометрия ОГЭ задача Теорема синусовСкачать

Геометрия ОГЭ задача Теорема синусов

ОГЭ математика вторая часть (21-26) #10.19🔴Скачать

ОГЭ математика вторая часть (21-26) #10.19🔴
Поделиться или сохранить к себе: