Радиус вписанной прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле (3 видео)

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен

где a и b — катеты, c — гипотенуза.

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC катеты BC=a, AC=b, гипотенуза AB=c.

Проведём радиусы OK, OM, ON к сторонам треугольника.

(как отрезки касательных, проведённых из одной точки).

Отсюда следует, что четырёхугольник CKOM — квадрат, стороны которого равны радиусу вписанной в треугольник ABC окружности: CK=CM=OM=OK=r.

Таким образом, формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности

Содержание

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник онлайн
1. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катеты треугольника
2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и прилегающей к нему острый угол
3. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и противолежащий острый угол
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле
🔍 Видео

Видео:🔴 Радиус вписанной в прямоугольный треугольник ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в любой треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

1. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катеты треугольника

Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности.

Радиус вписанной прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле

Радиус вписанной в треугольник окружности, если известна площадь треугольника S и полупериметр p вычисляется из следующей формулы (статья Радиус вписанной в треугольник окружности, формула (5)):

( small r= frac, )

(1)

( small p= frac. )

(2)

Площадь прямоугольного треугольника по катетам вычисляется из формулы:

( small S= large frac small cdot a cdot b. )

(3)

Подставляя (2) и (3) в (1) получим формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности:

( small r= large frac<fracab><frac(a+b+c)> ) ( small = large frac, )

(4)

( small c= sqrt. )

(5)

Из формулы (4) выведем другую эквивалентную формулу. Умножим числитель и знаменатель формулы (4) на ( small a+b-c ):

( small r= frac ) ( small = frac ) ( small = frac )

(6)

Учитывая (5), формулу (6) можно переписать так:

( small r= frac ) ( small = frac .)

Таким образом другая формула вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности имеет вид:

( small r= frac ,)

(7)

где c вычисляется из (5).

Пример 1. Известны катеты прямоугольного треугольника a=17 и b=5. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся одним из формул (4) и (7). Вычислим, сначала, гипотенузу прямоугольного треугольника из формулы (5):

Подставим значения ( small a=17, ; b=5; c=17.720045 ) в (7):

Ответ:

Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и прилегающей к нему острый угол

Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и прилежащий к нему угол β(Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

( small frac=frac .)

Учитывая, что ( small alpha=90°-beta ) и ( small sin (90°-beta)=cos beta ), получим:

( small frac=frac ) ( small =frac=frac .)

(8)

Тогда из (8) получим:

( small b=frac. )

(9)

Далее, из теоремы синусов:

( small frac=frac ) ( small =frac=frac .)

( small c=frac .)

(10)

Чтобы получить формулу радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности через катет и прилежащий к нему угол, подставим значения ( small b ) и ( small c ) из (9) и (10) в (7):

(11)

Пример 2. Известны катет ( small a=21 ) и прилежащий к нему угол ( small beta=30° ) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11). Подставим значения ( small a=21 ) ( small beta=30° ) в (11):

Ответ:

Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

3. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и противолежащий острый угол

Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и противолежащий угол ( small alpha; ) (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

В предыдущем параграфе мы вывели формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности по катету и прилежащему углу (формула (11)). Учитывая, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, имеем:

( small alpha+beta=90°) ( small beta=90°-alpha )

Тогда (11) можно преобразовать так (подробнее на странице Формулы приведения тригонометрических функций:

(12)

Пример 3. Известны катет ( small a=6 ) прямоугольного треугольника и противолежащий угол ( small alpha=53°. ) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (12). Подставим значение ( small a=6, ; alpha=53° ) в (12):

Ответ:

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле

Формулировка задачи: Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле r = (a + b — c) / 2, где a и b — катеты, а c — гипотенуза треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите b, если даны r, c и a.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 4 (Преобразование выражений).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере и выведем общий способ решения.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле r = (a + b — c) / 2, где a и b — катеты, а c — гипотенуза треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите b, если r = 1,2; c = 6,8 и a = 6.

Выразим b из предложенной формулы. Для этого сначала выразим чему равно делимое a + b – c, а после этого выразим значение самого катета b:

Подставим известные данные в формулу и получим результат:

b = 2 ⋅ 1,2 + 6,8 – 6 = 3,2

В общем виде решение данной задачи выглядит следующим образом:

Осталось лишь подставить конкретные значения и получить ответ.

Поделитесь статьей с одноклассниками «Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле – как решать».

Есть другой способ решения?

Предложите другой способ решения задачи «Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле». Возможно, он окажется более понятным для кого-нибудь: