Радиус вписанной окружности в цилиндр

Вписанные и описанные цилиндры.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Презентация для учащихся 11 класса по теме «Комбинация тел» содержит краткую теорию и примеры решения задач на комбинации цилиндра и щара, цилиндра и призмы.Будет полезна при подготовке к ЕГЭ.

Просмотр содержимого документа
«Вписанные и описанные цилиндры.»

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Сфера, вписанная в цилиндр

Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом цилиндр называется описанным около сферы.

В цилиндр можно вписать сферу, если высота цилиндра равна

диаметру его основания.

Ее центром будет точка O , являющаяся

серединой отрезка, соединяющего центры оснований O 1 и O 2 цилиндра.

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Радиус сферы R будет равен

радиусу окружности основания цилиндра.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

В цилиндр высоты 2 вписана сфера. Найдите ее радиус.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

В цилиндр вписана сфера радиуса 1. Найдите высоту цилиндра.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус основания цилиндра равен 2. Какой должна быть высота цилиндра, чтобы в него можно было вписать сферу?

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Высота цилиндра равна 2. Каким должен быть радиус основания цилиндра, чтобы в него можно было вписать сферу?

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 1 и 2. Можно ли в этот цилиндр вписать сферу?

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Осевым сечением цилиндра является квадрат. Можно ли в этот цилиндр вписать сферу?

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Можно ли вписать сферу в цилиндр, осевым сечением которого является ромб?

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Можно ли вписать сферу в наклонный цилиндр?

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Площадь осевого сечения цилиндра, в который вписана сфера, равна 4 см 2 . Найдите диаметр сферы.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Периметр осевого сечения цилиндра, в который вписана сфера, равен 8 см. Найдите радиус сферы.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Какой наибольший радиус может быть у сферы, помещающейся в цилиндр, радиус основания которого равен 2, и высота 1.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Можно ли сферу радиуса 1 поместить в наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, а боковое ребро равно 2 и наклонено к плоскости основания под углом 60 о .

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Какой наибольший радиус может быть у сферы, помещающейся в наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, а боковое ребро равно 2 и наклонено к плоскости основания под углом 60 о .

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Сфера, описанная около цилиндра

Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около цилиндра.

Около любого цилиндра можно описать сферу. Ее центром будет точка O , являющаяся серединой отрезка, соединяющего центры оснований O 1 и O 2 цилиндра.

Радиус сферы R вычисляется по формуле

где h – высота цилиндра, r – радиус окружности основания.

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 2. Найдите радиус сферы, описанной около этого цилиндра.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Около цилиндра высоты 2 и радиуса основания 1 описана сфера. Найдите ее радиус.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Около цилиндра, радиус основания которого равен 1, описана сфера радиуса 2. Найдите высоту цилиндра.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Около цилиндра, высота которого равна 1, описана сфера радиуса 1. Найдите радиус основания цилиндра.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Найдите наименьший радиус сферы, в которую помещается наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, образующая равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 60 о .

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Цилиндр, вписанный в призму

Ц илиндр называется вписанным в призму, если е го основания в писаны в основани я цилиндра. При этом , призма называется описанной около цилиндра

В призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда

в ее основание можно вписать окружность.

Радиус основания цилиндра равен

радиусу окружности, вписанной в основание призмы.

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Высота цилиндра равна

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Можно ли вписать цилиндр в наклонную призму?

Ответ: Да, наклонный цилиндр.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в эту призму.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в эту призму.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в единичный куб.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

В правильную шестиугольную призму, со стороной основания 1, вписан цилиндр. Найдите радиус окружности основания этого цилиндра.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Цилиндр, описанный около призмы

Ц илиндр называется описанным около призмы, если е го основания о писаны около основани й цилиндра. При этом , п ризма называется вписанной в цилиндр

Около призмы можно описать цилиндр, если около ее оснований можно описать окружности.

Радиус основания цилиндра равен

радиусу окружности, описанной около основания призмы.

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Высота цилиндра равна

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Можно ли описать цилиндр около наклонной призмы?

Ответ: Да, наклонный цилиндр.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

В основании прямой призмы квадрат со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Около правильной шестиугольной призмы, со стороной основания 1, описан цилиндр. Найдите радиус окружности основания этого цилиндра.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Около единичного тетраэдра описан цилиндр так, что вершины тетраэдра принадлежат окружностям оснований цилиндра. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Около единичного октаэдра описан цилиндр так, что две противоположные вершины октаэдра находятся в центрах оснований цилиндра, а остальные вершины принадлежат боковой поверхности цилиндра. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.

Видео:Объём цилиндраСкачать

Объём цилиндра

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Если секущая плоскость пересекает ось цилиндра и не перпендикулярна ей, то в сечении может получиться эллипс (рис. 145) или его некоторая часть (рис. 146, 147). Это следует из того, что параллельной проекцией окружности на плоскость, не параллельную плоскости окружности, является эллипс. ( Вспомните : наклонив цилиндрический стеклянный сосуд с водой, вы видите на поверхности воды эллипс или его часть. )

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось, называется осевым сечением цилиндра. Так как поворот пространства вокруг прямой на угол 180 ° является осевой симметрией относительно оси вращения, то ось прямого кругового цилиндра является его осью симметрии. Значит, осевым сечением цилиндра вращения является прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания и образующей цилиндра (рис. 148). При этом все осевые сечения цилиндра — равные между собой прямоугольники .

Цилиндр, осевое сечение которого — квадрат, называют равносторонним цилиндром (рис. 149).

Так как все образующие цилиндра равны и параллельны друг другу, то любое сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть прямоугольник, высота которого равна образующей цилиндра (рис. 150).

б) Изображение цилиндра. Чтобы построить изображение цилиндра, достаточно построить: 1) прямоугольник AВB 1 A 1 и его ось OO 1 (рис. 151); 2) два равных эллипса, центрами которых являются точки O и O 1 и осями — отрезки АВ и A 1 В 1 . Выделив штрихами невидимые линии, получаем искомое изображение цилиндра.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус вписанной окружности в цилиндр

в) Касательная плоскость к цилиндру.

Определение. Плоскость, проходящая через образующую цилиндра перпендикулярно плоскости осевого сечения, проведённой через эту образующую, называется касательной плоскостью к цилиндру (рис. 152).

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Говорят, что плоскость α касается цилиндра ( цилиндрической поверхности ) по образующей DD 1 , каждая точка образующей DD 1 является точкой касания плоскости α и данного цилиндра.

Через любую точку боковой поверхности цилиндра проходит только одна его образующая. Через эту образующую можно провести только одно осевое сечение и только одну плоскость, перпендикулярную плоскости этого осевого сечения. Следовательно, через каждую точку боковой поверхности цилиндра можно провести лишь одну плоскость, касательную к данному цилиндру в этой точке.

17.3. Развёртка и площадь поверхности цилиндра

Следует заметить, что развёртка поверхности вращения — понятие в определённой мере интуитивное. К тому же не для каждой поверхности тела вращения можно построить её развёртку. Иными словами, не каждую поверхность можно «развернуть» на плоскости. Например, не существует развёртки сферы (см. раздел «Дифференциальная геометрия» в конце этой книги).

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Развёртку цилиндра мы также введём на интуитивном уровне.

Пусть R — радиус основания, h — высота цилиндра.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Полная поверхность цилиндра состоит из его боковой поверхности и двух оснований — равных кругов. Если эту поверхность «разрезать» по образующей DD 1 (рис. 153) и по окружностям оснований, затем боковую поверхность развернуть на плоскости, то получим развёртку полной поверхности цилиндра (рис. 154), состоящую из прямоугольника и двух равных кругов, касающихся противоположных сторон этого прямоугольника (рис. 155).

Попробуйте изготовить развёртку цилиндра и склеить из неё цилиндр.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь её развёртки , т. е. площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника, у которого одна сторона равна длине окружности основания цилиндра, а другая сторона — высоте цилиндра:

Таким образом, доказана следующая теорема.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Теорема 26. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту. ▼

Площадь круга радиуса R равна π R 2 , поэтому S осн = π R 2 . Тогда для нахождения площади полной поверхность цилиндра справедливо:

S полн = S бок + 2 S осн = 2 π Rh + 2 π R 2 = 2 π R ( R + h ) .

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Следствие. Пусть цилиндр образован вращением прямоугольника ABCD вокруг его высоты AD (рис. 156) . Тогда

S бок = 2 π DC • BC . (1)

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Если EF — серединный перпендикуляр к образующей BC, проведённый из точки F оси l цилиндра, то EF = CD. Учитывая, что ВС = AD, получаем: S бок = 2 π EF • AD, т. е. боковая поверхность цилиндра равна произведению высоты цилиндра на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра его образующей, проведённого из точки оcu цилиндра.

Это следствие найдёт своё применение в п. 19.7.

17 . 4 . Призмы, вписанные в цилиндр и описанные около цилиндра

Нам предстоит решать задачи, в которых рассматриваются многогранники, вписанные в фигуры вращения и описанные около них.

Для правильного и наглядного изображения конфигураций из таких многогранников и фигур вращения необходимо верно изображать правильные многоугольники, вписанные в окружность (круг) или описанные около неё.

Определение. Призма называется вписанной в цилиндр, если основания призмы вписаны в основания цилиндра (рис. 157).

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Цилиндр в этом случае называют описанным около призмы.

Боковые рёбра призмы соединяют соответственные вершины её оснований, вписанных в основания цилиндра. Эти вершины лежат на окружностях оснований цилиндра. Образующие цилиндра соединяют соответственные точки окружностей его оснований и параллельны боковым рёбрам призмы. Следовательно, боковые рёбра вписанной в цилиндр призмы — образующие цилиндра.

Определение. Призма называется описанной около цилиндра, если основания призмы описаны около оснований цилиндра.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Цилиндр при этом называют вписанным в призму (рис. 158).

Так как соответственные стороны оснований призмы параллельны друг другу и перпендикулярны радиусам оснований цилиндра, проведённым в точки касания, то плоскости боковых граней призмы являются касательными плоскостями к цилиндру: эти плоскости касаются поверхности цилиндра по образующим , соединяющим точки, в которых стороны оснований призмы касаются окружностей оснований цилиндра.

При изображении правильных призм, вписанных в цилиндр, следует руководствоваться алгоритмами построений изображений правильных многоугольников, вписанных в окружность.

Итак, для построения изображения правильной призмы, вписанной в цилиндр: 1) строим изображение цилиндра; 2) строим изображение правильного многоугольника, вписанного в верхнее основание цилиндра; 3) через вершины построенного вписанного многоугольника проводим образующие цилиндра; 4) в нижнем основании цилиндра последовательно соединяем концы этих образующих; 5) выделяем видимые и невидимые линии (отрезки) изображаемых фигур.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

На рисунке 159 изображены вписанные в цилиндр: призма, в основании которой прямоугольный треугольник (рис. 159, а ); правильная четырёхугольная призма (рис. 159, б ); правильная треугольная призма (рис. 159, в ); правильная шестиугольная призма (рис. 159, г ).

 ЗАДАЧА (3.029). Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра равна a Радиус вписанной окружности в цилиндр. Найти площади боковой и полной поверхностей правильной призмы, вписанной в этот цилиндр, если призма: а) треугольная; б) четырёхугольная; в) шестиугольная.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Решени е. Рассмотрим случай а). Пусть в равносторонний цилиндр вписана правильная призма ABCA 1 B 1 C 1 (рис. 160); CDD 1 C 1 — осевое сечение; OO 1 = h — высота цилиндра; ОС = R — радиус основания цилиндра.

Так как цилиндр — равносторонний, то CDD 1 C 1 — квадрат, значит, высота цилиндра равна диаметру его основания. Тогда в квадрате СDD 1 С 1 находим CD = Радиус вписанной окружности в цилиндр= a = h.

Далее, △ АВС — правильный, вписанный в основание, радиус которого R = Радиус вписанной окружности в цилиндр= Радиус вписанной окружности в цилиндр. Значит, сторона АВ и высота СЕ этого треугольника равны: АВ = R Радиус вписанной окружности в цилиндр= Радиус вписанной окружности в цилиндр, СЕ = Радиус вписанной окружности в цилиндрR = Радиус вписанной окружности в цилиндрa. Откуда

S осн = Радиус вписанной окружности в цилиндр= Радиус вписанной окружности в цилиндр;
S бок = 3 S ABB 1 A 1 = 3 AB • BB 1 = 3 • Радиус вписанной окружности в цилиндр• a = Радиус вписанной окружности в цилиндр.

S полн = S бок + 2 S осн = Радиус вписанной окружности в цилиндр+ 2 • Радиус вписанной окружности в цилиндр= Радиус вписанной окружности в цилиндр.

Ответ: a) Радиус вписанной окружности в цилиндр; Радиус вписанной окружности в цилиндр.

Радиус вписанной окружности в цилиндр

 ЗАДАЧА (3.032). В равносторонний цилиндр, высота которого равна a, вписана правильная призма. Найти расстояние и угол между диагональю боковой грани призмы и осью цилиндра, если призма: а) треугольная; б) четырёхугольная; в) шестиугольная.

Решени е. Рассмотрим случай б). Пусть ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 — вписанная в цилиндр правильная призма (рис. 161). Найдём расстояние и угол между осью OO 1 цилиндра и скрещивающейся с ней (почему?) диагональю АB 1 боковой грани ABB 1 A 1 данной призмы.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проведёнными через эти прямые.

Если точка Е — середина отрезка AD, то расстояние между скрещивающимися прямыми AB 1 и OO 1 равно расстоянию между плоскостью грани ABB 1 A 1 и параллельной ей (почему?) плоскостью сечения EFF 1 E 1 . Это расстояние равно длине отрезка ОK (где точка K — середина АВ ), так как OK ⟂ ( ABB 1 ) и ( ABB 1 ) || ( EFF 1 ) .

Поскольку данный цилиндр — равносторонний, то BDD 1 B 1 — квадрат со стороной BD = ВВ 1 = a. Тогда АВ = Радиус вписанной окружности в цилиндр= Радиус вписанной окружности в цилиндр. Значит, ОK = АЕ = Радиус вписанной окружности в цилиндр= Радиус вписанной окружности в цилиндр— искомое расстояние между прямыми ОО 1 и АВ 1 .

Обозначим ∠ ( OO 1 ; AB 1 ) = ϕ , M = AB 1 ∩ A 1 B. Для нахождения угла ϕ проведём в грани ABB 1 A 1 прямую KK 1 || OO 1 . Тогда ϕ = ∠ ( OO 1 ; AB 1 ) = ∠ ( KK 1 ; AB 1 ) . Так как KK 1 || OO 1 , OO 1 ⟂ ( ABC ) , то MK ⟂ AB. Поэтому △ АKМ — прямоугольный. В этом треугольнике АK = Радиус вписанной окружности в цилиндр, KМ = Радиус вписанной окружности в цилиндр. Значит, tg ϕ = Радиус вписанной окружности в цилиндр= Радиус вписанной окружности в цилиндр, откуда ϕ = arctg Радиус вписанной окружности в цилиндр.

Ответ: б) Радиус вписанной окружности в цилиндр, arctg Радиус вписанной окружности в цилиндр.

Радиус вписанной окружности в цилиндрВо многих пособиях по геометрии за площадь боковой поверхности цилиндра принимают предел последовательности площадей боковых поверхностей правильных вписанных в цилиндр (или описанных около цилиндра) n- угольных призм при n → + ∞ .

Действительно, S бок. пов. призм = h • P осн. призм , где Р осн. призм — периметр основания призмы, h — длина её высоты. Для правильных вписанных в цилиндр призм h — постоянная величина, равная длине высоты цилиндра, а предел последовательности периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность (основание цилиндра), равен длине этой окружности. Таким образом, мы вновь получаем: S бок = 2 π Rh. Радиус вписанной окружности в цилиндр

17.5. Объём цилиндра

Напомним принятое нами соглашение, основанное на принципе Кавальери.

«Пусть даны два тела и плоскость. Если каждая плоскость, параллельная данной плоскости и пересекающая одно из данных тел, пересекает также и другое, причём площади сечений, образованных при пересечении обоих тел, относятся как m : n, то и объёмы этих тел относятся как m : n ».

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Расположим цилиндр, имеющий высоту h и радиус основания R, и прямоугольный параллелепипед с рёбрами h, R, R так, чтобы их основания находились на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно h (рис. 162). Каждая плоскость, параллельная данным плоскостям и пересекающая цилиндр, пересекает также прямоугольный параллелепипед, причём площади образованных при пересечении обоих тел сечений относятся как π • R 2 : R 2 = π : 1. Тогда и для объёмов этих тел справедливо: V цил : V парал = π : 1 или V цил : ( R 2 • h ) = π : 1, откуда

V цил = π • R 2 • h.

Если цилиндр высотой h пересечь плоскостью, параллельной его оси, то этот цилиндр разобьётся на два тела (рис. 163). Объёмы этих тел относятся как площади сегментов, образовавшихся в основании цилиндра (докажите это на основании принципа Кавальери). Следовательно, объём каждого из этих тел может быть вычислен по формуле

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Любая плоскость, проведённая через середину оси цилиндра, разбивает этот цилиндр на два равновеликих тела (рис. 164), объём V каждого из которых равен половине объёма данного цилиндра, т. е. V = Радиус вписанной окружности в цилиндрπ • R 2 • h.

Попробуйте, исходя из этой формулы, доказать, что в таком случае объём каждой части цилиндра (см. рис. 164) может быть вычислен по формуле:

V= Радиус вписанной окружности в цилиндрπ • R 2 • ( a + b ),

Радиус вписанной окружности в цилиндр

где a и b — длины отрезков, на которые образующая цилиндра делится секущей плоскостью.

Видео:ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2Скачать

ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2

Как найти радиус вписанной окружности в цилиндре

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Материалы

Радиус вписанной окружности в цилиндр

a — сторона шестиугольника

Формула радиуса вписанной окружности в шестиугольник, ( r ):

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Калькулятор — вычислить, найти радиус вписанной окружности в шестиугольник

Радиус вписанной окружности в цилиндр

a — сторона многоугольника

N — количество сторон многоугольника

Формула радиуса вписанной окружности в правильный многоугольник, ( r ):

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Калькулятор — вычислить, найти радиус вписанной окружности в правильный многоугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол

Радиус вписанной окружности в цилиндр

a — сторона ромба

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали ( r ) :

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол ( r ) :

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол ( r ) :

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону ( r ) :

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус вписанной окружности в цилиндр

2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты

Радиус вписанной окружности в цилиндр

a — сторона ромба

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в ромб ( r ) :

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус вписанной окружности в цилиндр

a — сторона квадрата

Формула радиуса вписанной окружности в квадрат (r):

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус вписанной окружности в цилиндр

с — нижнее основание

b — верхнее основание

a — боковые стороны

Формула радиуса вписанной окружности равнобочной трапеции ( r ):

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Калькулятор — вычислить, найти радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

Радиус вписанной окружности в цилиндр

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

α — угол при основании

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус вписанной окружности в цилиндр

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

Радиус вписанной окружности в цилиндр

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус вписанной окружности в цилиндр

a — сторона треугольника

r — радиус вписанной окружности

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Калькулятор — вычислить, найти радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Радиус вписанной окружности в цилиндр

a , b — катеты треугольника

с — гипотенуза

Формула радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник ( r ):

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Калькулятор — вычислить, найти радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник

Радиус вписанной окружности в цилиндр

a , b , c — стороны треугольника

p — полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Калькулятор — вычислить, найти радиус вписанной окружности в треугольник

Видео:Цилиндр - расчёт площади, объёма.Скачать

Цилиндр - расчёт площади, объёма.

Все формулы для радиуса вписанной окружности

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Видеоурок по математике "Цилиндр"

Радиус вписанной окружности в треугольник

Радиус вписанной окружности в цилиндр

a , b , c — стороны треугольника

p — полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Радиус вписанной окружности в цилиндр

a — сторона треугольника

r — радиус вписанной окружности

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Видео:Цилиндр, конус, шар, 6 классСкачать

Цилиндр, конус, шар, 6 класс

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

Радиус вписанной окружности в цилиндр

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

α — угол при основании

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус вписанной окружности в цилиндр

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

Радиус вписанной окружности в цилиндр

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

Видео:Призма и цилиндр. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Призма и цилиндр. Практическая часть. 11 класс.

Радиус вписанной окружности

Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус вписанной в треугольник и в многоугольник окружности, размещены на одной странице.

Радиус вписанной в многоугольник окружности

Если в многоугольник можно вписать окружность, то формула для вычисления радиуса вписанной окружности:

Радиус вписанной окружности в цилиндр

где p — полупериметр, то есть полусумма длин всех сторон этого многоугольника.

Радиус вписанной окружности в цилиндрНапример, для пятиугольника со сторонами a, b, c, d, e радиус вписанной окружности находится по формуле

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус вписанной в треугольник окружности

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Формула для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности (верна для треугольника любого вида)

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус вписанной окружности в цилиндр

где a, b, c — стороны треугольника.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

Радиус вписанной окружности в цилиндрФормула для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

Радиус вписанной окружности в цилиндр

где a и b — катеты, c — гипотенуза.

Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник

Формула радиуса вписанной в правильный многоугольник окружности

Радиус вписанной окружности в цилиндр

где a — сторона многоугольника, n — количество сторон.

Частные случаи — правильный (равносторонний) треугольник, правильный четырехугольник (квадрат) и правильный шестиугольник.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник

Радиус вписанной окружности в цилиндрФормула радиуса вписанной окружности для правильного треугольника:

Радиус вписанной окружности в цилиндр

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности вдвое меньше радиуса описанной окружности:

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус окружности, вписанной в квадрат

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Формула радиуса вписанной в квадрат окружности:

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник

Радиус вписанной окружности в цилиндр

Формула радиуса вписанной в правильный шестиугольник окружности:

Радиус вписанной окружности в цилиндр

где a — сторона правильного шестиугольника.

Для любого многоугольника центр вписанной окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.

Видео:11 класс, 32 урок, Объем цилиндраСкачать

11 класс, 32 урок, Объем цилиндра

5 Comments

Почему для квадрата не подходит формула S=pr

Вполне подходит. Полупериметр p=2а, r=a/2, откуда S=2a∙(a/2)=a².

Огромное спасибо этому сайту!Всё просто, понятно и правильно.

Радиус вписанной окружности это есть высота правильного многоугольника? Работает ли это для всех многоугольников?

💥 Видео

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Объем цилиндра. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Объем цилиндра. Практическая часть. 11 класс.

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Радиус вписанной окружности #математика #егэ #огэ #огэ2023 #математикапрофиль2023 #fyp #школаСкачать

Радиус вписанной окружности #математика #егэ #огэ #огэ2023 #математикапрофиль2023 #fyp #школа

ЦИЛИНДР | 9 класс геометрия Атанасян | задачи 1215 1217Скачать

ЦИЛИНДР | 9 класс геометрия Атанасян  | задачи 1215 1217

11 класс. Геометрия. Объем цилиндраСкачать

11 класс. Геометрия. Объем цилиндра

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

9 класс, 41 урок, ЦилиндрСкачать

9 класс, 41 урок, Цилиндр

25. Окружность, круг, шар, цилиндр. Математика 5 классСкачать

25. Окружность, круг, шар, цилиндр. Математика 5 класс

ЕГЭ. Профильная математика, задание 3Скачать

ЕГЭ. Профильная математика, задание 3
Поделиться или сохранить к себе: