Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в любой треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

1. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна сторона треугольника

Пусть известна сторона a равностороннего треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности.

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности через основание a и боковую сторону b вычисляется из следующей формулы:

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону(1)

Учитывая, что у равностороннего треугольника все стороны равны (( small a=b )), имеем:

( small r=frac cdot sqrt<frac> ) ( small =frac cdot sqrt<frac> ) ( small =frac<large 2 cdot sqrt> )
( small r=frac<large 2 cdot sqrt> )(2)

или, умножив числитель и знаменатель на ( small sqrt ):

( small r=frac<large sqrt> cdot a )(3)

Пример 1. Известна сторона a=17 равностороннего треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся одним из формул (2) и (3). Подставим значения ( small a=17 ) в (3):

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Ответ: Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Видео:Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

2. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна высота треугольника

Пусть известна высота h равностороннего треугольника (Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Выведем формулу стороны равностороннего треугольника через высоту. Из Теоремы Пифагора имеем:

( small h^2+left( frac right) ^2=a^2.)
( small h^2+ frac =a^2; ; ) ( small fraca^2 =h^2; ; ) ( small a^2=frac.)
( small a= frac<large sqrt> .)(4)

Формула радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности по основанию и высоте вычисляется из формулы

( small r= large frac<a+sqrt> )(5)

Подставляя (4) в (5), получим:

( small r= large frac<frac<large sqrt>><frac<large sqrt>+sqrt<frac+4h^2>> ) ( small = large frac<frac<large sqrt>><frac<large sqrt>+sqrt<frac>> ) ( small = large frac<frac<large sqrt>><frac<large sqrt>+frac<large sqrt>> ) ( small = large fracsmall =large frac small cdot h )

То есть, радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности по высоте вычисляется из формулы:

( small r = large frac small cdot h )(6)

Пример 2. Известна высота ( small h=39 ) равностороннего треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (6). Подставим значение ( small h=39 ) в (6):

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Ответ: Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

3. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна площадь треугольника

Пусть известна площадь S равностороннего треугольника (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности вычисляется из следующей формулы:

( small S= 3cdot sqrtr^2.)
( small r^2= large frac<3 cdot sqrt> ) ( small = large frac <sqrt cdot S > )
( small r= large frac <sqrt[4]> small cdot sqrt )(7)

Пример 3. Известна площадь равностороннего треугольника: ( small S=42 . ) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (7). Подставим значение ( small S=42 ) в (7):

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Ответ: Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Все формулы для радиуса вписанной окружности

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Радиус вписанной окружности в треугольник

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

a , b , c — стороны треугольника

p — полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Видео:ЕГЭ 6 номер. Нахождение стороны правильного треугольника по радиусу вписанной окружности.Скачать

ЕГЭ 6 номер. Нахождение стороны правильного треугольника по радиусу вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

a — сторона треугольника

r — радиус вписанной окружности

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

α — угол при основании

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

h — высота

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

Видео:Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторонуСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторонуФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторонуВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону.

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникРадиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону
Равнобедренный треугольникРадиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону
Равносторонний треугольникРадиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону
Прямоугольный треугольникРадиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону.

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону.

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Произвольный треугольник
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону
Равнобедренный треугольник
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону
Равносторонний треугольник
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону
Прямоугольный треугольник
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону
Произвольный треугольник
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону.

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону.

Равнобедренный треугольникРадиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Равносторонний треугольникРадиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникРадиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Видео:Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону– полупериметр (рис. 6).

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

с помощью формулы Герона получаем:

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через его сторону

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

🎬 Видео

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математика

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписаннойСкачать

112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной

Радиус вписанной окружности #математика #егэ #математикапрофиль2023 #fyp #школаСкачать

Радиус вписанной окружности #математика #егэ #математикапрофиль2023 #fyp #школа

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в  равносторонний  треугольник.

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать

Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133
Поделиться или сохранить к себе: