Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

Вписанная окружность

Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Содержание
  1. Свойства вписанной окружности
  2. В треугольник
  3. В четырехугольник
  4. Примеры вписанной окружности
  5. Верные и неверные утверждения
  6. Окружность вписанная в угол
  7. Все формулы для радиуса вписанной окружности
  8. Радиус вписанной окружности в треугольник
  9. Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
  10. Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
  11. Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения
  12. Описанная и вписанная окружности треугольника
  13. Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности
  14. Вписанные и описанные четырехугольники
  15. Окружность, вписанная в треугольник
  16. Описанная трапеция
  17. Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника
  18. Обобщенная теорема Пифагора
  19. Формула Эйлера для окружностей
  20. Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника
  21. 🔥 Видео

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    • Четырехугольник
      Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    • Многоугольник
      Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

    Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

    Все формулы для радиуса вписанной окружности

    Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

    Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

    Радиус вписанной окружности в треугольник

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    a , b , c — стороны треугольника

    p — полупериметр, p=( a + b + c )/2

    Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Видео:Задача 6 №27624 ЕГЭ по математике. Урок 71Скачать

    Задача 6 №27624 ЕГЭ по математике. Урок 71

    Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    a — сторона треугольника

    r — радиус вписанной окружности

    Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

    1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    a — равные стороны равнобедренного треугольника

    b — сторона ( основание)

    α — угол при основании

    О — центр вписанной окружности

    r — радиус вписанной окружности

    Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    a — равные стороны равнобедренного треугольника

    b — сторона ( основание)

    h — высота

    О — центр вписанной окружности

    r — радиус вписанной окружности

    Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

    Видео:17 задание ОГЭ по математикеСкачать

    17 задание ОГЭ по математике

    Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

    Содержание:

    Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

    1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

    2. Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностигде Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— радиус вписанной окружности треугольника,

    3. Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностигде R — радиус описанной окружности Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Найдем радиус Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностивневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиПо свойству касательной Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиИз подо­бия прямоугольных треугольников АОЕ и Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(по острому углу) следуетРадиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиТак как Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностито Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиоткуда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Пример:

    Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы: Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Описанная и вписанная окружности треугольника

    Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    На рисунке 90 изображена окружность с ради­усом R и центром Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиописанная около треугольни ка АВС.

    Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

    Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

    Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
    Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

    Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

    Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    На рисунке 92 изображена окружность с цент­ром О и радиусом Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностивписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
    Так как Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии по свойству касательной к окружности Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностито центр вписанной окружности равно­удален от сторон треугольника.

    Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

    Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
    В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

    Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

    Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точ­ку пересечения любых двух из них.

    Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностигде Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— полупериметр треугольника, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Пусть дан треугольник АВС со сторонами Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точ­ку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиРадиусы Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностипроведенные в точки касания, будут высотами этих тре­угольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Следствие:

    Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

    Пример:

    Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
    (рис. 95).

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Решение:

    Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— иско­мый радиус. Поскольку Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(как прямо­угольные с общим острым углом СВК), то , Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиоткуда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    Способ 2 (тригонометрический метод). Из Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(см. рис. 95) Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностииз Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиоткуда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиДальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностикак вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное меж­ду гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиоткуда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    Ответ: Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностисм.
    Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружно­сти, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, про­веденной к основанию, или на ее продолжении».

    Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
    Обратное утверждение докажите самостоятельно.

    Полезно запомнить!
    Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиа высоту, проведенную к основанию, — Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностито получится пропорция Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности.
    Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окруж­ности, описанной около равнобедренного треугольника:

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Пример:

    Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре­угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Решение:

    Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностипо теореме Пифагора Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(см), откуда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— общий) следует:Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. Тогда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиРадиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(см).
    Способ 2 (тригонометрический метод). Из Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(см. рис. 97) Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, из Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиоткуда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

    Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности‘ откуда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности= 3 (см).

    Способ 4 (формула Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности). Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиИз формулы площади треугольника Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиследует: Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    Ответ: 3 см.

    Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

    Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в тре­угольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

    Обратное утверждение докажите самостоятельно.

    Пример:

    Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиего вписанной окружности.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Решение:

    Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

    Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиПоскольку ВК — высота и медиана, то Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиИз Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, откуда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности.
    В Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностикатет ОК лежит против угла в 30°, поэтому Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиВысоту равностороннего треугольника можно найти по формуле Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. Откуда

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Ответ: Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Полезно запомнить!

    Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностито Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиЗначит, сторона равностороннего
    треугольника в Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностираз больше радиуса его описанной окружности.
    Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиразделить на Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

    Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностигде с — гипотенуза.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
    Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностигде с — гипотенуза.
    Теорема доказана.

    Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

    Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, где Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— искомый радиус, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— катеты, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— гипотенуза треугольника.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии гипотенузой Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностикасается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
    Проведем радиусы в точки касания и получим: Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиЧетырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. Тогда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиТак как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиНо Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, т. е. Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, откуда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Следствие: Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности где р — полупериметр треугольника.

    Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Формула Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностив сочетании с формулами Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностидает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

    Пример. Дан прямоугольный треугольник, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиНайти Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности.

    Решение:

    Так как Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностито Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    Из формулы Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиследует Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. По теореме Виета (обратной) Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— посторонний корень.
    Ответ: Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности= 2.

    Пример:

    Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Решение:

    Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— квадрат, то Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    По свойству касательных Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    Тогда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиПо теореме Пифагора

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Следовательно, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    Радиус описанной окружности Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностизначения Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиполучим Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиПо теореме Пифагора Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, т. е. Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиТогда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    Ответ: 5.

    Пример:

    Гипотенуза прямоугольного треугольника Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностирадиус вписанной в него окружности Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиНайти площадь треугольника.

    Решение:

    Способ 1 (геометрический). Пусть в Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностигипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностивписанной окружности, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— высота Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
    Отсюда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностипо катету и гипотенузе.
    Площадь Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиравна сумме удвоенной площади Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии площади квадрата CMON, т. е.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Способ 2 (алгебраический). Из формулы Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиследует Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиРадиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиВозведем части равенства в квадрат: Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиТак как Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиРадиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Способ 3 (алгебраический). Из формулы Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиследует, что Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиИз формулы Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиследует, что Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    Ответ: 40.

    Реальная геометрия:

    Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Вписанные и описанные четырехугольники

    Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

    Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
    Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
    Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

    Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
    Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиДуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиАналогично доказывается, что Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности180°. Теорема доказана.

    Теорема (признак вписанного четырехугольника).
    Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностито около него можно описать окружность.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиили внутри нее в положении Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностито в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
    Тогда сумма Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностине была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

    Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

    Следствия.

    1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

    2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

    3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Докажите эти следствия самостоятельно.

    Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
    Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    откуда AD + ВС = AB + CD.
    Теорема доказана.

    Следствие:

    Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Теорема (признак описанного четырехугольника).
    Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(1)
    Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностикоторый касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(2)

    Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностичто противоречит неравенству треугольника.
    Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

    Следствия.

    1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

    2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

    3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
    Докажите эти следствия самостоятельно.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Для описанного многоугольника справедлива формула Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, где S — его площадь, р — полупериметр, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— радиус вписанной окружности.

    Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Пример:

    Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Решение:

    Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиТак как у ромба все стороны равны , то Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(см).
    Из прямоугольного треугольника АВК находим. что Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиоткуда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиИскомый радиус вписанной окружности Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(см).
    Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностинайдем площадь данного ромба: Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиС другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиПоскольку Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(см), то Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиОтсюда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(см).

    Ответ: Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностисм.

    Пример:

    Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиделит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).
    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Решение:

    Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиНеобходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружноститрапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиТогда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиПо свойству описанного четырехугольника Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиОтсюда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиТак как Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностикак внутренние односторонние углы при Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии секущей CD, то Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(рис. 131). Тогда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— прямоугольный, радиус Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиявляется его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиили Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиВысота Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиописанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиТак как по свой­ству описанного четырехугольника Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностито Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиРадиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    Ответ: 18.
    Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

    Пример:

    Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиНайти величину угла ВАС (рис. 132, а).
    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Решение:

    Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностикак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиВ прямоугольном треугольнике ABM Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиоткуда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Окружность, вписанная в треугольник

    Пример:

    Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Решение:

    Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
    Тогда, если Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностито Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиТак как АВ = AM + МВ, то Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиоткуда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностит. е. Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. После преобразований получим: Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиАналогично: Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиРадиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиРадиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    Ответ: Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиРадиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиРадиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Замечание. Если Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(рис. 141), то Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— частный случай результата задачи 1.

    Описанная трапеция

    Пример:

    Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Решение:

    Площадь трапеции можно найти по формуле Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиПусть в трапеции ABCD основания Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— боковые стороны, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. Известно, что в равнобедренной трапеции Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиРадиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиОтсюда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиОтвет: Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

    Полезно запомнить!

    Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностибоковой стороной с, высотой h, средней линией Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии радиусом Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностивписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

    Теорема.
    Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
    Рис. 143
    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностикак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

    2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностито около него можно описать окружность.
    Опишем около треугольника ABD окружность.
    В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

    «Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности» . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

    Обобщенная теорема Пифагора

    В прямоугольном треугольнике Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностипроведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(рис. 148). Тогда теорема Пифагора Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиможет звучать так: сумма квадратов гипотенуз Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружноститреугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— соответствующие линейные элемен­ты Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностито можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:
    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Действительно, из подобия указанных треугольников Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиоткуда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Пример:

    Пусть Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(см. рис. 148). Найдем Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиПо обобщенной теореме Пифагора Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиотсюда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    Ответ: Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности= 39.

    Формула Эйлера для окружностей

    Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

    Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, и Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). ТогдаРадиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностигде b — боковая сторона, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиРадиус вписанной окружности Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиТак как Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностито Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиИскомое расстояние Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    А теперь найдем d по формуле Эйлера: Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиоткуда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиКак видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

    Запомнить:

    1. Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
    2. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
    3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности
    5. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
    6. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
    7. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностигде Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— полупериметр, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— радиус вписанной окружности.

    Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

    Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— центр окружности, описанной около треугольника Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, поэтому Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности.

    Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

    Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностисуществует точка Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностибудет центром описанной окружности, а отрезки Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— ее радиусами.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    На рисунке 299 изображен произвольный треугольник Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. Проведем серединные перпендикуляры Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностисторон Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностисоответственно. Пусть точка Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— точка пересечения этих прямых. Поскольку точка Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностипринадлежит серединному перпендикуляру Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, то Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. Так как точка Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностипринадлежит серединному перпендикуляру Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, то Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. Значит, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиРадиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, т. е. точка Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиравноудалена от всех вершин треугольника.

    Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

    Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

    Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

    Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

    Точка Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, отрезки Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— радиусы, проведенные в точки касания, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

    Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

    Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностисуществует точка Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностибудет центром окружности радиуса г, которая касается сторон Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    На рисунке 301 изображен произвольный треугольник Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. Проведем биссектрисы углов Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— точка их пересечения. Так как точка Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностипринадлежит биссектрисе угла Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, то она равноудалена от сторон Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(теорема 19.2). Аналогично, так как точка Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностипринадлежит биссектрисе угла Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, то она равноудалена от сторон Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. Следовательно, точка Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностиравноудалена от всех сторон треугольника.

    Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

    Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

    Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

    Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, где Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— радиус вписанной окружности, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— катеты, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— гипотенуза.

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Решение:

    В треугольнике Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности(рис. 302) Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, точка Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— центр вписанной окружности, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— точки касания вписанной окружности со сторонами Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностисоответственно.

    Отрезок Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности.

    Так как точка Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— центр вписанной окружности, то Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— биссектриса угла Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружностии Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. Тогда Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности— равнобедренный прямоугольный, Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности. Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

    Радиус вписанной окружности равен двум радиусам описанной окружности

    Рекомендую подробно изучить предметы:
    • Геометрия
    • Аналитическая геометрия
    • Начертательная геометрия
    Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
    • Плоские и пространственные фигуры
    • Взаимное расположение точек и прямых
    • Сравнение и измерение отрезков и углов
    • Первый признак равенства треугольников
    • Треугольники и окружность
    • Площадь треугольника
    • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
    • Окружность и круг

    При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

    Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

    Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

    Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

    Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

    🔥 Видео

    Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

    Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

    Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

    Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Задача 6 №27914 ЕГЭ по математике. Урок 132Скачать

    Задача 6 №27914 ЕГЭ по математике. Урок 132

    Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать

    Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математика

    Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметрСкачать

    Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметр

    Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

    Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

    Задание 16 Часть 3Скачать

    Задание 16  Часть 3

    Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)Скачать

    Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)

    Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

    Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

    СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностейСкачать

    СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностей

    Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

    Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике
    Поделиться или сохранить к себе: