Радиус описанной окружности икосаэдра

Икосаэдр.

Икосаэдр — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, один из тел Платона.

Ранее мы писали о додекаэдре , сейчас поговорим о другом похожем двадцатиграннике – икосаэдре .

Все 20 граней являются равносторонними треугольниками. количество ребер

соответствует 30, количество вершин — 12. Икосаэдр состоит из 59

Все 12 вершин икосаэдра являются вершинами 5 равносторонних

треугольников, значит, сумма углов у вершины = 300°.

Радиус описанной окружности икосаэдра

У икосаэдра 30 ребер. Как и у всех правильных многогранников ребра икосаэдра имеют равную длину,

а грани — равную площадь.

У икосаэдра, как и додекаэдра, 15 осей симметрии, все проходят через

середины противолежащих параллельных ребер. Точка пересечения этих

осей икосаэдра – это и есть его центр симметрии.

Радиус описанной окружности икосаэдра

Так же как и у додекаэдра, у икосаэдра 15 плоскостей симметрии.

Плоскости симметрии проходят через четыре вершины, которые лежат в

одной плоскости, и середины противоположных параллельных ребер.

Пусть длина ребра икосаэдра будет а тогда:

Сумма длин всех ребер:

Площадь икосаэдра:

Радиус описанной окружности икосаэдра

Объем икосаэдра:

Радиус описанной окружности икосаэдра

Радиус вписанной в икосаэдр сферы:

Радиус описанной окружности икосаэдра

Радиус описанной вокруг икосаэдра сферы:

Радиус описанной окружности икосаэдра

Свойства икосаэдра.

  • Каждая из 12 вершин икосаэдра лежит по 3 в 4-х параллельных плоскостях, образуя во всех
  • 10 вершин икосаэдра находятся в 2-х параллельных плоскостях, и образуют в них 2 правильных

5-ти угольника, а оставшиеся 2 — противоположны друг другу и находятся в 2-х концах диаметра

описанной вокруг икосаэдра сферы, который перпендикулярен параллельным плоскостям.

  • Икосаэдр возможно вписать в куб, тогда 6 взаимо-перпендикулярных ребер икосаэдра будут

находиться соответственно на 6-ти гранях куба, оставшиеся 24 ребра находятся внутри куба, все 12

вершин икосаэдра будут находиться на ше6-ти гранях куба.

  • В икосаэдр можно вписать тетраэдр, таким образом, чтобы 4 вершины тетраэдра станут

совмещены с 4-мя вершинами икосаэдра.

  • Икосаэдр возможно вписать в додекаэдр, тогда вершины икосаэдра совместятся с центрами
  • В икосаэдр возможно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней
  • Усечённый икосаэдр можнополучить, срезав 12 вершин с образованием граней вида правильных

5-ти угольников. Тогда количество вершин нового многогранника увеличится в 5 раз (12×5=60), 20

треугольных граней становятся правильными шестиугольниками (количество граней

теперь 20+12=32), а рёбер — 30+12×5=90.

  • Сделать икосаэдра можно из 20 тетраэдров.
  • Нельзя сделать икосаэдр из правильных тетраэдров, потому что радиус описанной сферы вокруг

икосаэдра и длина бокового ребра (вершины-центр такой сборки) тетраэдра меньше ребра икосаэдра.

Усечённый икосаэдр.

Усечённый икосаэдр — это многогранник, который состоит из 12 правильных 5-ти угольников и 20

правильных 6-ти угольников. У усеченного икосаэдра икосаэдрический тип симметрии.

Примеры икосаэдров в мире:

  • Обычный футбольный мяч является усечённым икосаэдром.
  • Капсиды большинства вирусов (например, бактериофаги, мимивирус).
Радиус описанной окружности икосаэдра
Молекула фуллерена C60 — усечённый икосаэдр.Радиус описанной окружности икосаэдра

Развертка икосаэдра.

Радиус описанной окружности икосаэдра

Как сделать икосаэдр.

Способ № 1 Икосаэдр из заготовки

Распечатываем готовое изображение развертки икосаэдра, вырезаем и склеиваем по границам. Далее

на ваше усмотрение окрашиваете в любой цвет и украшаете.

Способ № 2 Икосаэдр своими руками

Вам понадобится бумага, карандаш, линейка (удобней будет циркуль), ножницы, клей ПВА (или другой).

При помощи линейки, циркуля и карандаша рисуем на бумаге несколько треугольников (как на рисунке

ниже). Чтоб было легче, можете нарисовать 5 параллелограммов, а после каждый прямоугольник

разделить на 4 равносторонних треугольника. Далее вырезаем, оставив места для склейки и

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Икосаэдр

Радиус описанной окружности икосаэдра

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Икоси» означает двадцать, «хедра» — означает грань (Икосаэдр – двадцатигранник).

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Поэтому на вопрос — «что такое икосаэдр?», можно дать следующее определение: » Икосаэдр это геометрическое тело из двадцати граней, каждая их которых — правильный треугольник «.

Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел .
Икосаэдр имеет следующие характеристики:

  • Тип грани – правильный треугольник;
  • Число сторон у грани – 3;
  • Общее число граней – 20;
  • Число рёбер, примыкающих к вершине – 5;
  • Общее число вершин – 12;
  • Общее число рёбер – 30.

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300° (60° x 5).
Икосаэдр имеет центр симметрии — центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Видео:Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

Математические характеристики икосаэдра

Радиус описанной окружности икосаэдра

Икосаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы икосаэдра

Радиус описанной окружности икосаэдра

где a — длина стороны.

Радиус описанной окружности икосаэдра

Сфера может быть вписана внутрь икосаэдра.

Радиус вписанной сферы икосаэдра

Радиус описанной окружности икосаэдра

Радиус описанной окружности икосаэдра

Радиус описанной окружности икосаэдра

Для наглядности площадь поверхности икосаэдра можно представить в виде площади развёртки.

Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон икосаэдра (это площадь правильного треугольника) умноженной на 20. Либо воспользоваться формулой:

Радиус описанной окружности икосаэдра

Радиус описанной окружности икосаэдра

Объем икосаэдра определяется по следующей формуле:

Радиус описанной окружности икосаэдра

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Вариант развертки

Икосаэдр можно изготовить самостоятельно. Бумага или картон самый подходящий вариант. Для сборки потребуется бумажная развёртка — единая деталь с линиями сгибов.

Радиус описанной окружности икосаэдра

Древнегреческий философ Платон ассоциировал икосаэдр с «земным» элементом вода, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали голубой цвет.

Радиус описанной окружности икосаэдра

Заметим, что это не единственный вариант развертки.

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf и распечатать на листе формата А4:
— если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере — цветная развертка
— если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон — развертка

Кроме того, существуют два классических варианта окраски многогранника, когда каждая из соседних граней окрашена в свой цвет. Либо используется определенное количество цветов раскраски, причем одинаковые цвета не граничат друг с другом.

Представляем Вашему вниманию два варианта окраски 20 граней икосаэдра с использованием пяти цветов.

Икосаэдр


Икосаэдр – (от греческого ico — шесть и hedra — грань) правильный выпуклый многогранник, составленный из 20 правильных треугольников. Каждая из 12 вершин икосаэдра является вершиной 5 равносторонних треугольников, поэтому сумма углов при вершине равна 300 . Если принять длину ребра за а , то получим следующие формулы:

Радиус описанной сферы

Радиус вписанной сферы

Элементы симметрии додекаэдра

Правильный икосаэдр имеет 15 осей симметрии , каждая из которых проходит через середины противоположных параллельных ребер. Точка пересечения всех осей симметрии икосаэдра является его центром симметрии .

Плоскостей симметрии также 15 . Плоскости симметрии проходят через четыре вершины, лежащие в одной плоскости, и середины противолежащих параллельных ребер.

🌟 Видео

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

#203. Правильные многогранники: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдрСкачать

#203. Правильные многогранники: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

Пра́вильный икоса́эдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «основание») - одно из Платоновых телСкачать

Пра́вильный икоса́эдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «основание») - одно из Платоновых тел

Платоновы тела: Тетраэдр, Куб, Октаэдр, Икосаэдр, ДодекаэдрСкачать

Платоновы тела: Тетраэдр, Куб, Октаэдр, Икосаэдр, Додекаэдр

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Платоновы тела - ИкосаэдрСкачать

Платоновы тела - Икосаэдр
Поделиться или сохранить к себе: