Радиус окружности описанной около ромба равен

Радиус описанной окружности

Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус описанной окружности для треугольника, квадрата, многоугольника размещены на одной странице.

Формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника (верны для треугольника любого вида):

Радиус окружности описанной около ромба равен

Радиус окружности описанной около ромба равен

Радиус окружности описанной около ромба равен

где a, b, c — длины сторон треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, S — площадь треугольника.

Радиус окружности описанной около ромба равен

у остроугольного треугольника — внутри треугольника;

у прямоугольного — на середине гипотенузы;

у тупоугольного — вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника

Радиус окружности описанной около ромба равен

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:

Радиус окружности описанной около ромба равен

Окружность, описанная около многоугольника

Радиус окружности описанной около ромба равен

Если около многоугольника можно описать окружность, ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Радиус описанной около многоугольника окружности находят как радиус окружности, описанной около треугольника. Для этого берут любые три вершины многоугольника.

Например, для пятиугольника ABCDE можно взять любой из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACD, ACE, ADE, BDE.

Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного многоугольника

Радиус окружности описанной около ромба равен

где a — длина стороны многоугольника, n — количество его сторон.

Частные случаи — правильный треугольник, правильный четырехугольник (то есть квадрат), правильный шестиугольник.

Радиус описанной окружности правильного треугольника

Радиус окружности описанной около ромба равенФормула радиуса описанной окружности для правильного треугольника

Радиус окружности описанной около ромба равен

Если без иррациональности в знаменателе —

Радиус окружности описанной около ромба равен

У правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Радиус окружности описанной около ромба равен

Радиус описанной окружности квадрата

Радиус окружности описанной около ромба равен

Формула радиуса описанной окружности для квадрата

Радиус окружности описанной около ромба равен

Если без иррациональности в знаменателе —

Радиус окружности описанной около ромба равен

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

Радиус окружности описанной около ромба равен

Формула радиуса описанной окружности для правильного шестиугольника

Видео:Задача 6 №27914 ЕГЭ по математике. Урок 132Скачать

Задача 6 №27914 ЕГЭ по математике. Урок 132

Нахождение радиуса вписанной в ромб окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в ромб. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Видео:Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131

Формулы вычисления радиуса вписанной в ромб окружности

Радиус окружности описанной около ромба равен

Через диагонали и сторону

Радиус r вписанной в ромб окружности равняется произведению его диагоналей, деленному на сторону, умноженную на 4.

Радиус окружности описанной около ромба равен

  • d1 и d2 – диагонали ромба;
  • a – сторона ромба.

Через диагонали

Радиус r вписанной в ромб окружности можно найти, зная только длины его обеих диагоналей:

Радиус окружности описанной около ромба равен

Эту формулу можно получить, если сторону a в формуле выше выразить через диагонали (согласно одному из свойств ромба):

Радиус окружности описанной около ромба равен

Через сторону и угол

Радиус окружности описанной около ромба равен

Радиус окружности r, вписанной в ромб, равняется половине произведения его стороны и синуса любого угла.

Радиус окружности описанной около ромба равен

Через высоту

Радиус окружности описанной около ромба равен

Радиус вписанного в ромб круга равняется половине его высоты.

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Примеры задач

Задание 1
Известно, что диагонали ромба равны 6 и 8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в него.

Решение
Применим соответствующую формулу, подставив в нее известные значения:

Радиус окружности описанной около ромба равен

Задание 2
Вычислите радиус вписанного в ромб круга, если его сторона равна 11 см, а один из углов – 30°.

Решение
В данном случае мы можем воспользоваться последней из рассмотренных выше формул:

Видео:Геометрия Один из углов ромба равен 60, а большая диагональ равна 24 см. Найдите радиус окружностиСкачать

Геометрия Один из углов ромба равен 60, а большая диагональ равна 24 см. Найдите радиус окружности

Можно ли описать окружность ромба

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Можно ли описать окружность ромба

Какие из следующих утверждений верны?

1) Около любого ромба можно описать окружность.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около любого ромба можно описать окружность.»— неверно, чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо, чтобы сумма противоположных углов четырёхугольника составляла 180°. Это верно не для любого ромба.

2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.» — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.» — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.» — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

Радиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равен
Рис.1Рис.2

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Признаки ромба

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Основные свойства ромба

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

AC 2 + BD 2 = 4AB 2

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

a =S
ha

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

a =√ S
√ sinα
a =√ S
√ sinβ

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

a =S
2 r

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

a =√ d 1 2 + d 2 2
2

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла ( cos α ) или косинус тупого угла ( cos β ):

a =d 1
√ 2 + 2 cosα
a =d 2
√ 2 — 2 cosβ

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

a =d 1
2 cos ( α /2)
a =d 1
2 sin ( β /2)

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

a =d 2
2 cos ( β /2)
a =d 2
2 sin ( α /2)

8. Формула стороны ромба через периметр:

a =Р
4

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Диагонали ромба

Формулы определения длины диагонали ромба:

d 1 = a √ 2 + 2 · cosα

d 1 = a √ 2 — 2 · cosβ

d 2 = a √ 2 + 2 · cosβ

d 2 = a √ 2 — 2 · cosα

d 1 = 2 a · cos ( α /2)

d 1 = 2 a · sin ( β /2)

d 2 = 2 a · sin ( α /2)

d 2 = 2 a · cos ( β /2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

d 1 =2S
d 2
d 2 =2S
d 1

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

d 1 =2 r
sin ( α /2)
d 2 =2 r
sin ( β /2)

Видео:ЕГЭ Математика Задание 6#27913Скачать

ЕГЭ Математика Задание 6#27913

Периметр ромба

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

Площадь ромба

Формулы определения площади ромба:

4. Формула площади ромба через две диагонали:

S =1d 1 d 2
2

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

S =4 r 2
sinα

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла ( tgα ) или малую диагональ и тангенс тупого угла ( tgβ ):

S =1d 1 2 · tg ( α /2)
2
S =1d 2 2 · tg ( β /2)
2

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Окружность вписанная в ромб

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

r =h
2

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

r =S
2 a

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

r =√ S · sinα
2

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

r =a · sinα
2
r =a · sinβ
2

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

r =d 1 · sin ( α /2)
2
r =d 2 · sin ( β /2)
2

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

r =d 1 · d 2
2√ d 1 2 + d 2 2

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

r =d 1 · d 2
4 a

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Радиус окружности описанной около ромба равен

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Радиус окружности описанной около ромба равенАВС.

Доказать: около Радиус окружности описанной около ромба равенАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Радиус окружности описанной около ромба равенАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Радиус окружности описанной около ромба равен

Точка О равноудалена от вершин Радиус окружности описанной около ромба равенАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Радиус окружности описанной около ромба равенАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Радиус окружности описанной около ромба равен

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Радиус окружности описанной около ромба равен

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Радиус окружности описанной около ромба равенВ = Радиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенАDС, Радиус окружности описанной около ромба равенD = Радиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенАВС, откуда следует Радиус окружности описанной около ромба равенВ + Радиус окружности описанной около ромба равенD = Радиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенАDС + Радиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенАВС = Радиус окружности описанной около ромба равен(Радиус окружности описанной около ромба равенАDС + Радиус окружности описанной около ромба равенАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Радиус окружности описанной около ромба равенАDС + Радиус окружности описанной около ромба равенАВС = 360 0 , тогда Радиус окружности описанной около ромба равенВ + Радиус окружности описанной около ромба равенD = Радиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равен360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Радиус окружности описанной около ромба равенBАD + Радиус окружности описанной около ромба равенBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Радиус окружности описанной около ромба равен

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Радиус окружности описанной около ромба равен

Радиус окружности описанной около ромба равенВСDвнешний угол Радиус окружности описанной около ромба равенСFD, следовательно, Радиус окружности описанной около ромба равенBСD = Радиус окружности описанной около ромба равенВFD + Радиус окружности описанной около ромба равенFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Радиус окружности описанной около ромба равенВFD = Радиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенВАD и Радиус окружности описанной около ромба равенFDE = Радиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Радиус окружности описанной около ромба равенBСD = Радиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенВАD + Радиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенЕF = Радиус окружности описанной около ромба равен(Радиус окружности описанной около ромба равенВАD + Радиус окружности описанной около ромба равенЕF), следовательно, Радиус окружности описанной около ромба равенВСDРадиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенВАD.

Радиус окружности описанной около ромба равенBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Радиус окружности описанной около ромба равенBАD = Радиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенВЕD, тогда Радиус окружности описанной около ромба равенBАD + Радиус окружности описанной около ромба равенBСDРадиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равен(Радиус окружности описанной около ромба равенВЕD + Радиус окружности описанной около ромба равенВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Радиус окружности описанной около ромба равенВЕD + Радиус окружности описанной около ромба равенВАD = 360 0 , тогда Радиус окружности описанной около ромба равенBАD + Радиус окружности описанной около ромба равенBСDРадиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равен360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Радиус окружности описанной около ромба равенBАD + Радиус окружности описанной около ромба равенBСDРадиус окружности описанной около ромба равен180 0 . Но это противоречит условию Радиус окружности описанной около ромба равенBАD + Радиус окружности описанной около ромба равенBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Радиус окружности описанной около ромба равен

По теореме о сумме углов треугольника в Радиус окружности описанной около ромба равенВСF: Радиус окружности описанной около ромба равенС + Радиус окружности описанной около ромба равенВ + Радиус окружности описанной около ромба равенF = 180 0 , откуда Радиус окружности описанной около ромба равенС = 180 0 — ( Радиус окружности описанной около ромба равенВ + Радиус окружности описанной около ромба равенF). (2)

Радиус окружности описанной около ромба равенВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Радиус окружности описанной около ромба равенВ = Радиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенЕF. (3)

Радиус окружности описанной около ромба равенF и Радиус окружности описанной около ромба равенВFD смежные, поэтому Радиус окружности описанной около ромба равенF + Радиус окружности описанной около ромба равенВFD = 180 0 , откуда Радиус окружности описанной около ромба равенF = 180 0 — Радиус окружности описанной около ромба равенВFD = 180 0 — Радиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Радиус окружности описанной около ромба равенС = 180 0 — (Радиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенЕF + 180 0 — Радиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенВАD) = 180 0 — Радиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенЕF — 180 0 + Радиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенВАD = Радиус окружности описанной около ромба равен(Радиус окружности описанной около ромба равенВАDРадиус окружности описанной около ромба равенЕF), следовательно, Радиус окружности описанной около ромба равенСРадиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенВАD.

Радиус окружности описанной около ромба равенА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Радиус окружности описанной около ромба равенА = Радиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равенВЕD, тогда Радиус окружности описанной около ромба равенА + Радиус окружности описанной около ромба равенСРадиус окружности описанной около ромба равенРадиус окружности описанной около ромба равен(Радиус окружности описанной около ромба равенВЕD + Радиус окружности описанной около ромба равенВАD). Но это противоречит условию Радиус окружности описанной около ромба равенА + Радиус окружности описанной около ромба равенС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

🎥 Видео

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

2053 радиус окружности описанной около правильного треугольника равен 56Скачать

2053 радиус окружности описанной около правильного треугольника равен 56

Геометрия, номера 45.1, 46.1 (радиус вписанной окружности)Скачать

Геометрия, номера 45.1, 46.1 (радиус вписанной окружности)

ЕГЭ Математика Задание 6#27914Скачать

ЕГЭ Математика Задание 6#27914

Периметр ромба равен 180, а один из углов равен 30° | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Периметр ромба равен 180, а один из углов равен 30° | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРА

ОГЭ ЗАДАНИЕ 17 СТОРОНА РОМБА РАВНА 9 НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ РОМБАСкачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 17 СТОРОНА РОМБА РАВНА 9 НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ РОМБА
Поделиться или сохранить к себе: