Радианная мера угла вращательное движение по единичной окружности (3 видео)

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №29. Радианная мера угла

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) Понятие тригонометрической окружности;

2) Поворот точки вокруг начала координат;

3) Длина дуги окружности и площадь кругового сектора.

Глоссарий по теме

Окружность – это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиус окружности – отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Дуга окружности – кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками.

Круговой сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами.

Угол в 1 радиан – центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На уроках геометрии мы с вами изучали окружность, её элементы, свойства. Повторим понятие окружности. Это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

На окружности можно выделить дугу. А если рассмотреть круг — часть плоскости, ограниченной окружностью — то можно выделить круговой сектор.

«Окружность бесконечно большого круга и прямая линия – одно и то же» Г. Галилей

Действительно, и окружность и прямая – бесконечны. Рассмотрим окружность радиуса, равному 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической. (рис.1)

Длина этой окружности (в предыдущей задаче велотрека), как мы помним из уроков геометрии, . А учитывая, что R=1, , осями координат она поделена на четыре дуги, которые находятся соответственно в I, II, III и IV координатных четвертях.

Вычислите длину каждой дуги.

Ответ. длина каждой дуги равна части окружности или

Длина полуокружности равна А так как образовался развернутый угол, то 180.

Рассмотрим дугу, равную по длине радиусу единичной окружности. Полученный центральный угол РОМ равен длине дуги МР=R.

рис.3

Определение. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

;

α рад=(180/π α)° (1)

Длину дуги l окружности радиуса R (рис.4)

можно вычислять по формуле(3)

А площадь S кругового сектора радиуса R и дугой рад (рис.5)

находят по формуле: , где (4)

Вернёмся к единичной окружности в координатной плоскости.

Каждая точка этой окружности будет иметь координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1≤ х ≤ 1; -1≤ у ≤ 1.

Введём понятие поворота точки. (рис.2)

Пусть Тогда точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности против часовой стрелки. Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0) до точки В. Говорят, точка В получена из точки А поворотом на угол
Пусть точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности по часовой стрелки . Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0)до точки С. Говорят, точка С получена из точки А поворотом на угол — α.

При повороте на 0 рад точка остаётся на месте.

Давайте рассмотрим такой пример:

при повороте точки М(1;0) на угол получается точка N (0;1). В эту же точку можно попасть из точки М(1;0) при повороте на

угол (рис.6)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Найти градусную меру угла, равного рад.

Решение: Используя формулу (1),

находим .

Так как , то рад, тогда (2)

Ответ: .

Пример 2. Найти радианную меру угла, равного 60.

Вычисляем по формуле (2): рад

рад

При обозначении мер угла, наименование «рад» опускают.

Ответ: рад, рад.

Пример 3. Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её радианная мера .

Решение: Используя формулу (3),

получим:

Ответ: .

Пример 4. Найти площадь сектора, если радиус окружности 10 м, а радианная мера центрального угла .

По формуле (4) вычисляем

Ответ: 45 м 2

Пример 5. Найти координаты точки М, полученной из точки N(1;0) поворотом на угол, равный .

Решение: Абсцисса точки М равна отрезку ОК, ордината отрезку ОТ=МК. Так как то

прямоугольный равнобедренный треугольник ОМК имеет равные катеты и гипотенузу ОМ=R=1. По теореме Пифагора можно найти длины катетов. Они равны Учитывая, что точка М находится в I координатной четверти, её координаты положительны.

На окружности можно найти координаты любой точки.

Ответ:

Видео:Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

лекция. Радианная мера угла. Тема Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа

Название	Тема Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа
Анкор	лекция
Дата	08.03.2021
Размер	439.37 Kb.
Формат файла
Имя файла	Радианная мера угла.docx
Тип	Документы #182619

Подборка по базе: ИДЗ_5 тема_Сегментирование рынка_часть 2_экономика.docx, Логика_Практическое занятие. Тема 5.1.docx, 4 тема 3 доклад.docx, теория государства и права тема 1.docx, Философия Тема 1.2.docx, Экспликация тематического концерта.docx, МДК 01.01 Тема 1.1.2. Судовые электрические приводы.doc, инструкция о мерах ПБ в казарме 334 1 эт.docx, Годовой тематический план занятий с м.doc, тези тема 1.docx

Тема: Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа

Радианная мера угла. Вращательное движение.

Градусная мера.Здесь единицей измерения является градус (обозначение °) – это поворот луча на 1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°.

1/60 часть градуса называется минутой (обозначают 1 ‘ ).

1/60 часть минуты называется секундой (обозначают 1 » ).
Радианная мера .

Радианная мера измерения угла есть отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к радиусу дуги.

Градусная мера угла в 1 радиан равна: Так как дуга длиной πR (полуокружность), стягивает центральный угол в 180°, то дуга длиной R, стягивает угол в π раз меньший, т.е.

Так как π = 3,14, то 1 рад = 57,3°

Если угол содержит α радиан, то его градусная мера равна

Наиболее активные студенты участвуют при решении примеров на поиск радианной и градусной меры угла.
Пример 1.

Найти радианную меру угла равного 1) 30°, 2)135°

1) 30° = 30·π / 180 = π/6

2) 135° = 135·π/180 = 3π/4
Пример 2.

Найти градусную меру угла выраженного в радианах 1) π/3 , 2) 4·π/5

2) 4π/5 = 4·180°/5 = 144°
Практические задания
№ 1: Переведите в радианную меру углы:

1) 45° 4) 100° 7) 215°

2) 15° 5) 200° 8) 150°

3) 72° 6) 360° 9) 330°
№2: Переведите в градусную меру углы:

2 ) 4) 6)

Синус, косинус, тангенс и котангенс числа

Из курса геометрии известны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Они даются как отношение сторон прямоугольного треугольника. Приведем их формулировки.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Там же вводятся обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса – sin, cos, tg и ctg соответственно.

Давайте найдем значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30°,45° и 60°.

Запишем все значения углов в таблицу:

Предлагаю вам алгоритм, благодаря которому вы легко, в течение минуты восстановите в памяти все вышеуказанные значения:
1. Записываем в строчку углы от 0 до 90 градусов. Слева в столбик запишем сначала синус, затем косинус аргумента:

2. Напротив синуса пишем числа от нуля до четырёх (под значениями углов). Напротив косинуса от 4 до 0:

3. Далее извлекаем корень:

Мы получили значения синуса и косинуса углов от 0 до 90 градусов. Далее, зная формулы тангенса и котангенса:

вы сможете найти значения для указанных углов.

Видео:Радианная мера угла. 9 класс.Скачать

Тема 4. Основы тригонометрии

Радианная мера угла. Вращательное движение. Соотношение между градусной и радианной мерами угла.

Начертим окружность радиуса равного единице (окружность произвольного радиуса, но по договоренности он будет равен единице).

Длина окружности l=2πr

Длина половины окружности l/2=π

Угол α – развернутый (равен 180°).

— Данный угол – центральный (так как его вершина совпадает с центром окружности), а это значит, что величина данного угла определяется длиной его дуги, т.е. получаем, что π=180°.

— 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

— 1 радиан – это постоянная величина, как и градус, и она не зависит от радиуса окружности, в которой построена. 1 радиан приближенно равен 57 градусов.

— Радианная и градусная меры взаимосвязаны, угол, представленный в одной мере можно выразить в другой:

π=180°, тогда 1°=π/180.

— Если 1°=π/180, то можно выразить в радианной мере любой угол.

90°= = ; 60°= = ; 45°= = ; 30°= = ; 270°= = ; 360°= =2π.